Äquivarianter Schätzer
Ein äquivarianter Schätzer ist ein spezieller Punktschätzer in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Äquivariante Schätzer zeichnen sich im einfachsten Fall dadurch aus, dass eine Transformation der Daten zu einer identischen Transformation des Schätzwertes führt. Verschiebt man die Daten also um einen gewissen Wert, so ist der Schätzwert ebenso um diesen Wert verschoben.
Für äquivariante Schätzer lassen sich einige Optimalitätsbedingungen leichter zeigen. So sind beispielsweise unter gewissen Zusatzannahmen lokal minimale äquivariante Schätzer immer auch gleichmäßig beste erwartungstreue Schätzer. Wichtige äquivariante Schätzer sind die Pitman-Schätzer.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Gegeben sei ein statistisches Modell mit . Sei eine Gruppe von bijektiven, messbaren Transformationen von nach und es gelte für alle
- .
Dann induziert über den Zusammenhang
eine Gruppe auf .
Des Weiteren sei
Dann heißt ein Punktschätzer
ein äquivarianter Schätzer, wenn
gilt.
Äquivariante Schätzer im Lokationsmodell
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei ein Lokationsmodell, also ein statistisches Modell mit Lokationsklasse , die von dem Wahrscheinlichkeitsmaß erzeugt wird. Sei
- ,
die Gruppe der Translationen in entlang dem Einsvektor um .
Dann gilt wie oben gefordert
für alle . Für gilt dann
- ,
da in der Lokationsklasse liegt. Somit ist die induzierte Gruppe auf gegeben durch die Translationen um .
Demnach ist ein Punktschätzer in diesem Modell genau dann ein äquivarianter Schätzer, wenn
gilt.
Äquivariante Schätzer im Skalenmodell
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ist ein Skalenmodell, also ein statistisches Modell mit Skalenfamilie und ist
die Gruppe (auf ) der Multiplikationen mit einer positiven reellen Zahl, so ist die Gruppe (auf ) ebenfalls die Multiplikation mit einer positiven reellen Zahl. Dies folgt analog zum obigen Fall über die definierenden Eigenschaften der Skalenfamilie. Somit ist im Skalenmodel ein Punktschätzer genau dann ein äquivarianter Schätzer, wenn
ist.
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- M.S. Nikulin: Equivariant estimator. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.