Überauflösbare Gruppe

Überauflösbare Gruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Es handelt sich um eine Verschärfung der Auflösbarkeit einer Gruppe.

Definition

Eine Gruppe $G$ heißt überauflösbar, falls es Normalteiler $G_{i}\vartriangleleft G$ gibt mit

$\{1\}=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_{n}=G$,

so dass alle Faktorgruppen $G_{i+1}/G_{i}$ zyklisch sind.

Der wesentliche Unterschied zur Auflösbarkeit liegt darin, dass wir hier nicht nur fordern, dass $G_{i}$ ein Normalteiler in $G_{i+1}$ ist, um die Faktorgruppen bilden zu können, sondern die stärkere Forderung stellen, dass die $G_{i}$ sogar Normalteiler in $G$ sind. Überauflösbarkeit ist daher ein stärkerer Begriff als Auflösbarkeit.

Beispiele

• Trivialer Weise ist jede zyklische Gruppe überauflösbar. Damit sind die Gruppen $\mathbb {Z} _{n}$ und $\mathbb {Z}$ überauflösbar, sowie endliche direkte Summen aus solchen.
• Endlich erzeugte nilpotente Gruppen sind überauflösbar.
• Die symmetrische Gruppe S₃ ist überauflösbar aber nicht nilpotent, denn

$\{(1)\}\vartriangleleft \{(1),(123),(132)\}\vartriangleleft S_{3}$

erfüllt offenbar die Definition, aber da die Gruppe $S_{3}$ triviales Zentrum hat, kann sie nicht nilpotent sein.

• Die unendliche Diedergruppe ist überauflösbar aber nicht nilpotent.
• Die alternierende Gruppe A₄ ist auflösbar aber nicht überauflösbar.

Eigenschaften

• Überauflösbare Gruppen sind auflösbar, wie zur Definition bereits bemerkt wurde.
• Überauflösbare Gruppen sind polyzyklisch.
• Überauflösbare Gruppen genügen der Maximalbedingung, das heißt jede nicht-leere Menge von Untergruppen enthält eine maximale Untergruppe. Daraus folgt, dass jede Untergruppe endlich erzeugt ist. Insbesondere sind überauflösbare Gruppen stets endlich erzeugt.
• Die definierende Reihe von Normalteilern einer überauflösbaren Gruppe ist nicht eindeutig bestimmt. Durch geeignete Operationen kann man sogar zu einer Reihe $\{1\}=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \ldots \vartriangleleft G_{n}=G$ übergehen, deren Faktoren $G_{i+1}/G_{i}$ wie folgt angeordnet sind: zunächst kommen alle zu $\mathbb {Z} _{p}$ mit ungerader Primzahl p isomorphen Faktoren, und zwar in absteigender Reihenfolge, dann alle zu $\mathbb {Z}$ isomorphen Faktoren und schließlich alle zu $\mathbb {Z} _{2}$ isomorphen Faktoren.
• Ist $G$ überauflösbar, so ist die Fitting-Untergruppe $\mathrm {Fit} (G)$ nilpotent und die Faktorgruppe $G/\mathrm {Fit} (G)$ ist endlich und abelsch.

Vererbungseigenschaften

• Untergruppen und homomorphe Bilder überauflösbarer Gruppen sind wieder überauflösbar.
• Die Umkehrung gilt nicht, die Klasse der überauflösbaren Gruppen ist nicht gegenüber Erweiterungen abgeschlossen. Die alternierende Gruppe $A_{4}$ enthält einen zur Kleinschen Vierergruppe isomorphen Normalteiler $V$. Dann sind $V$ und $A_{4}/V\cong \mathbb {Z} _{3}$ überauflösbar, $A_{4}$ selbst ist aber nicht überauflösbar.
• Bestimmte Erweiterungen allerdings sind überauflösbar: Ist $G$ eine Gruppe mit einem zyklischen Normalteiler $N$, so dass $G/N$ überauflösbar ist, so ist $G$ überauflösbar.
• Endliche direkte Summen überauflösbarer Gruppen sind wieder überauflösbar.
• Unendliche direkte Summen sind in der Regel nicht überauflösbar. So ist $\oplus _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {Z} _{2}$ nicht überauflösbar, denn diese Gruppe genügt nicht der Maximalbedingung.

Endliche Gruppen

Für endliche Gruppen bestehen einige äquivalente Charakterisierungen, für die folgende Begriffe benötigt werden. $\Phi (G)$ bezeichne die Frattinigruppe der Gruppe $G$. Unter einer maximalen Kette in $G$ versteht man eine Kette $\{1\}=M_{0}<M_{1}<\ldots <M_{n}=G$ von Untergruppen, so dass jedes $M_{i}$ maximale Untergruppe in $M_{i+1}$ ist für $0\leq i<n$, die Zahl n heißt die Länge dieser Kette.

Für eine endliche Gruppe $G$ sind äquivalent:

• $G$ ist überauflösbar.
• (B. Huppert) Jede maximale Untergruppe hat eine Primzahl als Index.
• $G/\Phi (G)$ ist überauflösbar.
• (K. Iwasawa) Je zwei maximale Ketten in $G$ haben dieselbe Länge.

Für endliche Gruppen gelten die Implikationen

zyklisch   $\Rightarrow$   abelsch   $\Rightarrow$   nilpotent   $\Rightarrow$   überauflösbar   $\Rightarrow$   auflösbar.

Das obige Beispiel $\oplus _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {Z} _{2}$ zeigt, dass für unendliche Gruppen aus abelsch nicht notwendig überauflösbar folgt.