Übergangsgraph

Ein einfacher Übergangsgraph mit zwei Knoten. Die Adjazenzmatrix des Graphen ist $A={\begin{bmatrix}0.3&0.7\\0.4&0.6\\\end{bmatrix}}$. Da alle Einträge größer als 0 sind und alle Zeilensummen 1, ergeben ist sie zeilenstochastisch.

Übergangsgraphen sind spezielle gerichtete Graphen mit Kantengewichten, die eine Verbindung zwischen Stochastik und Graphentheorie schlagen. Sie eignen sich besonders zur anschaulichen Darstellung von zeitdiskreten homogenen Markow-Ketten.

Definition

Ein gerichteter und kantengewichteter Graph $G$ heißt Übergangsgraph, wenn für jeden Knoten $i$ die Kantengewichte der von $i$ ausgehenden Kanten größer 0 sind und sich zu 1 aufsummieren:

$\sum _{j\in N_{G}^{+}(i)}c_{ij}=1$.

Dabei ist $N_{G}^{+}(i)$ die Nachfolgermenge von Knoten $i$, also die Menge aller Knoten, die durch von $i$ ausgehende Kanten erreicht werden können.

Äquivalent dazu ist, dass der Graph $G$ Adjazenzgraph einer zeilenstochastischen Matrix ist.

Verwendung

Übergangsgraphen dienen zur anschaulichen Darstellung von homogenen Markow-Ketten mit endlichem Zustandsraum in diskreter Zeit. Dabei entspricht jeder Knoten einem Zustand des Systems und die Kantengewichte sind die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Zuständen. Dann ist $c_{ij}$ genau die Wahrscheinlichkeit, vom Zustand $i$ in den Zustand $j$ zu wechseln. Einige Eigenschaften der Markow-Kette finden sich direkt im Übergangsgraph wieder:

• Der Übergangsgraph ist genau dann stark zusammenhängend, wenn die Markow-Kette irreduzibel ist.
• Der Zustand $j$ ist von dem Zustand $i$ aus erreichbar, wenn es einen $i-j$-Pfad im Übergangsgraph gibt.
• Zwei Zustände i und j kommunizieren genau dann, wenn sowohl ein $i-j$-Pfad als auch ein $j-i$-Pfad im Übergangsgraph existiert.
• Ist der Übergangsgraph bipartit, so hat jeder Zustand der Markow-Kette gerade Periode.
• Ist der Übergangsgraph bipartit und zusammenhängend, so hat die Markow-Kette gerade Periode.

Anwendungsbeispiel

Mit Hilfe von Übergangsgraphen lässt sich das Wahl- und Kaufverhalten visualisieren. Dargestellt werden die prozentuale Zahl von Wieder- und Wechselwählern. Bezogen auf die obigen Abbildung würden 60 % der Partei bzw. dem Produkt A treu bleiben und 40 % zu Partei bzw. Produkt E wechseln. Die Zahl der Wiederwähler bei Partei bzw. Produkt E liegt bei 30 %, die Zahl der Wechselwähler bei 70 %. Allerdings wird der Übergangsgraph schon ab vier Parteien bzw. Produkten recht unübersichtlich.

Literatur

• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274. 
• Marion Patyna, Klaus Schilling: Lineare Algebra: Mehrstufige Prozesse – Matrizenrechnung, Eins Verlag Köln, 1. Auflage 2011, S. 104–118, ISBN 978-3-427-04440-6.