ω-reguläre Sprache
In der theoretischen Informatik bezeichnet die Klasse der ω-regulären Sprachen eine bestimmte Menge formaler Sprachen aus unendlichen Wörtern. Das Äquivalent im endlichen Fall ist die Klasse der regulären Sprachen.
Der griechische Buchstabe ω (omega) steht hier für die kleinste unendliche Ordinalzahl.
Der Schwerpunkt der Untersuchung ω-regulärer Sprachen liegt in der Automatentheorie. Es lässt sich beispielsweise zeigen, dass die ω-regulären Sprachen genau die Büchi-erkennbaren Sprachen sind.
Unendliche Wörter
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein unendliches Wort ist eine abzählbar unendliche Sequenz von Zeichen aus einem endlichen Alphabet. Über dem Alphabet kann z. B. das unendliche Wort gebildet werden. Mengen von unendlichen Wörtern werden ω-Sprachen genannt.
Formal bedeutet dies:
Sei ein Alphabet, dann ist die Menge aller unendlichen Wörter über definiert als die Menge aller Abbildungen von nach .
Jede Teilmenge von heiße ω-Sprache.
Die ω-regulären Sprachen machen nun eine bestimmte Teilklasse der ω-Sprachen aus.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Definition der ω-regulären Sprachen erfolgt rekursiv. Sei dazu eine reguläre Sprache, die nicht das leere Wort enthält. Dabei bezeichne die positive Hülle von .
Dann ist die Menge aller abzählbar unendlichen Konkatenationen von Wörtern aus .
Es gilt nun:
- ist eine ω-reguläre Sprache.
Seien außerdem zwei ω-reguläre Sprachen, dann gilt weiter:
- und sind ebenfalls ω-reguläre Sprachen.
- Außer den so konstruierten gibt es keine ω-regulären Sprachen.
Für die in der Definition verwendeten Verknüpfungen siehe auch: Formale Sprache#Operationen auf formalen Sprachen
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Dominique Perrin, Jean-Éric Pin: Infinite Words Automata, Semigroups, Logic and Games (= Pure and Applied Mathematics. Bd. 141). Elsevier – Academic Press, Amsterdam u. a. 2004, ISBN 0-12-532111-2.
- Ludwig Staiger: ω-Languages. In: Grzegorz Rozenberg, Arto Salomaa (Hrsg.): Handbook of Formal Languages. Band 3: Beyond Words. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-60649-1, S. 339–387.
- Wolfgang Thomas: Automata on Infinite Objects. In: Jan van Leeuwen (Hrsg.): Handbook of Theoretical Computer Science. Band B: Formal Models and Semantics. Elsevier Science Publishers u. a., Amsterdam u. a. 1990, ISBN 0-444-88074-7, S. 133–192.