(183,14,1)-Blockplan
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Der (183,14,1)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 183 × 183 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 14 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 1 Eins in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 183, k = 14, λ = 1), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Bezeichnung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dieser symmetrische 2-(183,14,1)-Blockplan wird Projektive Ebene oder Desarguessche Ebene der Ordnung 13 genannt.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 183, k = 14, λ = 1 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 183 Blöcken und 183 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 14 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 1 Punkt.
- Jeder Punkt liegt auf genau 14 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 1 Block verbunden.
Existenz und Charakterisierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es existiert (bis auf Isomorphie) mindestens ein 2-(183,14,1) - Blockplan[1]. Diese Lösung ist:
- Lösung 1 mit der Signatur 183·4004
Liste der Blöcke
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 1 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 1 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 1 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 1 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 1 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 1 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 1 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 1 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 1 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 1 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 1 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 2 15 28 41 54 67 80 93 106 119 132 145 158 171 2 16 29 42 55 68 81 94 107 120 133 146 159 172 2 17 30 43 56 69 82 95 108 121 134 147 160 173 2 18 31 44 57 70 83 96 109 122 135 148 161 174 2 19 32 45 58 71 84 97 110 123 136 149 162 175 2 20 33 46 59 72 85 98 111 124 137 150 163 176 2 21 34 47 60 73 86 99 112 125 138 151 164 177 2 22 35 48 61 74 87 100 113 126 139 152 165 178 2 23 36 49 62 75 88 101 114 127 140 153 166 179 2 24 37 50 63 76 89 102 115 128 141 154 167 180 2 25 38 51 64 77 90 103 116 129 142 155 168 181 2 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 2 27 40 53 66 79 92 105 118 131 144 157 170 183 3 15 29 43 57 71 85 99 113 127 141 155 169 183 3 16 30 46 64 76 83 105 106 126 143 151 166 175 3 17 33 44 60 78 90 97 107 119 140 157 165 180 3 18 38 47 58 74 92 104 111 121 132 154 159 179 3 19 37 52 61 72 88 94 118 125 135 145 168 173 3 20 31 51 66 75 86 102 108 120 139 149 158 182 3 21 40 45 65 68 89 100 116 122 134 153 163 171 3 22 28 42 59 79 82 103 114 130 136 148 167 177 3 23 35 41 56 73 81 96 117 128 144 150 162 181 3 24 39 49 54 70 87 95 110 131 142 146 164 176 3 25 34 53 63 67 84 101 109 124 133 156 160 178 3 26 36 48 55 77 80 98 115 123 138 147 170 174 3 27 32 50 62 69 91 93 112 129 137 152 161 172 4 15 30 44 58 72 86 100 114 128 142 156 170 172 4 16 33 51 63 70 92 93 113 130 138 153 162 173 4 17 31 47 65 77 84 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107 130 134 152 164 183 5 26 29 51 54 72 89 97 112 121 144 148 166 178 5 27 36 43 65 67 86 103 111 126 135 146 162 180 6 15 32 46 60 74 88 102 116 130 144 146 160 174 6 16 37 44 66 67 87 104 112 127 136 147 163 181 6 17 39 51 58 68 80 101 118 126 141 150 161 177 6 18 35 53 65 72 82 93 115 120 140 155 164 175 6 19 33 49 55 79 86 96 106 129 134 154 169 178 6 20 36 47 63 69 81 100 110 119 143 148 168 183 6 21 29 50 61 77 83 95 114 124 132 157 162 182 6 22 40 43 64 75 91 97 109 128 138 145 159 176 6 23 34 42 57 78 89 105 111 123 142 152 158 173 6 24 31 48 56 71 92 103 107 125 137 156 166 171 6 25 28 45 62 70 85 94 117 121 139 151 170 180 6 26 38 41 59 76 84 99 108 131 135 153 165 172 6 27 30 52 54 73 90 98 113 122 133 149 167 179 7 15 33 47 61 75 89 103 117 131 133 147 161 175 7 16 31 53 54 74 91 99 114 123 134 150 168 180 7 17 38 45 55 67 88 105 113 128 137 148 164 182 7 18 40 52 59 69 80 102 107 127 142 151 162 178 7 19 36 42 66 73 83 93 116 121 141 156 165 176 7 20 34 50 56 68 87 97 106 130 135 155 170 179 7 21 37 48 64 70 82 101 111 119 144 149 169 172 7 22 30 51 62 78 84 96 115 125 132 146 163 183 7 23 29 44 65 76 92 98 110 129 139 145 160 177 7 24 35 43 58 79 90 94 112 124 143 153 158 174 7 25 32 49 57 72 81 104 108 126 138 157 167 171 7 26 28 46 63 71 86 95 118 122 140 152 159 181 7 27 39 41 60 77 85 100 109 120 136 154 166 173 8 15 34 48 62 76 90 104 118 120 134 148 162 176 8 16 40 41 61 78 86 101 110 121 137 155 167 174 8 17 32 42 54 75 92 100 115 124 135 151 169 181 8 18 39 46 56 67 89 94 114 129 138 149 165 183 8 19 29 53 60 70 80 103 108 128 143 152 163 179 8 20 37 43 55 74 84 93 117 122 142 157 166 177 8 21 35 51 57 69 88 98 106 131 136 156 159 180 8 22 38 49 65 71 83 102 112 119 133 150 170 173 8 23 31 52 63 79 85 97 116 126 132 147 164 172 8 24 30 45 66 77 81 99 111 130 140 145 161 178 8 25 36 44 59 68 91 95 113 125 144 154 158 175 8 26 33 50 58 73 82 105 109 127 139 146 168 171 8 27 28 47 64 72 87 96 107 123 141 153 160 182 9 15 35 49 63 77 91 105 107 121 135 149 163 177 9 16 28 48 65 73 88 97 108 124 142 154 161 183 9 17 29 41 62 79 87 102 111 122 138 156 168 175 9 18 33 43 54 76 81 101 116 125 136 152 170 182 9 19 40 47 57 67 90 95 115 130 139 150 166 172 9 20 30 42 61 71 80 104 109 129 144 153 164 180 9 21 38 44 56 75 85 93 118 123 143 146 167 178 9 22 36 52 58 70 89 99 106 120 137 157 160 181 9 23 39 50 66 72 84 103 113 119 134 151 159 174 9 24 32 53 64 68 86 98 117 127 132 148 165 173 9 25 31 46 55 78 82 100 112 131 141 145 162 179 9 26 37 45 60 69 92 96 114 126 133 155 158 176 9 27 34 51 59 74 83 94 110 128 140 147 169 171 10 15 36 50 64 78 92 94 108 122 136 150 164 178 10 16 35 52 60 75 84 95 111 129 141 148 170 171 10 17 28 49 66 74 89 98 109 125 143 155 162 172 10 18 30 41 63 68 88 103 112 123 139 157 169 176 10 19 34 44 54 77 82 102 117 126 137 153 159 183 10 20 29 48 58 67 91 96 116 131 140 151 167 173 10 21 31 43 62 72 80 105 110 130 133 154 165 181 10 22 39 45 57 76 86 93 107 124 144 147 168 179 10 23 37 53 59 71 90 100 106 121 138 146 161 182 10 24 40 51 55 73 85 104 114 119 135 152 160 175 10 25 33 42 65 69 87 99 118 128 132 149 166 174 10 26 32 47 56 79 83 101 113 120 142 145 163 180 10 27 38 46 61 70 81 97 115 127 134 156 158 177 11 15 37 51 65 79 81 95 109 123 137 151 165 179 11 16 39 47 62 71 82 98 116 128 135 157 158 178 11 17 36 53 61 76 85 96 112 130 142 149 159 171 11 18 28 50 55 75 90 99 110 126 144 156 163 173 11 19 31 41 64 69 89 104 113 124 140 146 170 177 11 20 35 45 54 78 83 103 118 127 138 154 160 172 11 21 30 49 59 67 92 97 117 120 141 152 168 174 11 22 32 44 63 73 80 94 111 131 134 155 166 182 11 23 40 46 58 77 87 93 108 125 133 148 169 180 11 24 38 42 60 72 91 101 106 122 139 147 162 183 11 25 29 52 56 74 86 105 115 119 136 153 161 176 11 26 34 43 66 70 88 100 107 129 132 150 167 175 11 27 33 48 57 68 84 102 114 121 143 145 164 181 12 15 38 52 66 68 82 96 110 124 138 152 166 180 12 16 34 49 58 69 85 103 115 122 144 145 165 182 12 17 40 48 63 72 83 99 117 129 136 146 158 179 12 18 37 42 62 77 86 97 113 131 143 150 160 171 12 19 28 51 56 76 91 100 111 127 133 157 164 174 12 20 32 41 65 70 90 105 114 125 141 147 159 178 12 21 36 46 54 79 84 104 107 128 139 155 161 173 12 22 31 50 60 67 81 98 118 121 142 153 169 175 12 23 33 45 64 74 80 95 112 120 135 156 167 183 12 24 29 47 59 78 88 93 109 126 134 149 170 181 12 25 39 43 61 73 92 102 106 123 140 148 163 172 12 26 30 53 57 75 87 94 116 119 137 154 162 177 12 27 35 44 55 71 89 101 108 130 132 151 168 176 13 15 39 53 55 69 83 97 111 125 139 153 167 181 13 16 36 45 56 72 90 102 109 131 132 152 169 177 13 17 35 50 59 70 86 104 116 123 133 145 166 183 13 18 29 49 64 73 84 100 118 130 137 147 158 180 13 19 38 43 63 78 87 98 114 120 144 151 161 171 13 20 28 52 57 77 92 101 112 128 134 146 165 175 13 21 33 41 66 71 91 94 115 126 142 148 160 179 13 22 37 47 54 68 85 105 108 129 140 156 162 174 13 23 32 51 61 67 82 99 107 122 143 154 170 176 13 24 34 46 65 75 80 96 113 121 136 157 168 172 13 25 30 48 60 79 89 93 110 127 135 150 159 182 13 26 40 44 62 74 81 103 106 124 141 149 164 173 13 27 31 42 58 76 88 95 117 119 138 155 163 178 14 15 40 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 14 16 32 43 59 77 89 96 118 119 139 156 164 179 14 17 37 46 57 73 91 103 110 120 132 153 170 178 14 18 36 51 60 71 87 105 117 124 134 145 167 172 14 19 30 50 65 74 85 101 107 131 138 148 158 181 14 20 39 44 64 79 88 99 115 121 133 152 162 171 14 21 28 53 58 78 81 102 113 129 135 147 166 176 14 22 34 41 55 72 92 95 116 127 143 149 161 180 14 23 38 48 54 69 86 94 109 130 141 157 163 175 14 24 33 52 62 67 83 100 108 123 144 155 159 177 14 25 35 47 66 76 80 97 114 122 137 146 169 173 14 26 31 49 61 68 90 93 111 128 136 151 160 183 14 27 29 45 63 75 82 104 106 125 142 150 165 174
Zyklische Darstellung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.
- Lösung 1
1 13 20 21 23 44 61 72 77 86 90 116 122 169
Orthogonale Lateinische Quadrate (MOLS)
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Diese Projektive Ebene der Ordnung 13 ist äquivalent mit diesen 12 MOLS der Ordnung 13:
Oval
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung dieses Blockplans:
- Lösung 1
1 2 15 29 44 64 69 102 112 131 143 149 165 176
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.