(31,15,7)-Blockplan

Der (31,15,7)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 31 × 31 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 15 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 7 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 31, k = 15, λ = 7), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Bezeichnung

Dieser symmetrische 2-(31,15,7)-Blockplan wird Hadamard-Blockplan der Ordnung 8 genannt.

Eigenschaften

Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 31, k = 15, λ = 7 und damit folgende Eigenschaften:

Er besteht aus 31 Blöcken und 31 Punkten.
Jeder Block enthält genau 15 Punkte.
Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 7 Punkten.
Jeder Punkt liegt auf genau 15 Blöcken.
Je 2 Punkte sind durch genau 7 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung

Es existieren mindestens 22478260 nichtisomorphe 2-(31,15,7) - Blockpläne^[1]. Sechs dieser Lösungen sind:

Lösung 1 mit der Signatur 31·120. Sie enthält 465 Ovale der Ordnung 2.
Lösung 2 mit der Signatur 31·560. Sie enthält 465 Ovale der Ordnung 2.
Lösung 3 mit der Signatur 24·24, 7·64. Sie enthält 465 Ovale der Ordnung 2.
Lösung 4 mit der Signatur 6·24, 16·36, 6·56, 3·96. Sie enthält 465 Ovale der Ordnung 2.
Lösung 5 (dual zur Lösung 6) mit der Signatur 7·24, 16·42, 7·72, 1·112. Sie enthält 465 Ovale der Ordnung 2.
Lösung 6 (dual zur Lösung 5) mit der Signatur 14·36, 14·52, 3·112. Sie enthält 465 Ovale der Ordnung 2.

Liste der Blöcke

Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

Lösung 1

  1   2   3   4   6   7   9  10  14  17  22  23  24  26  28
  2   3   4   5   7   8  10  11  15  18  23  24  25  27  29
  3   4   5   6   8   9  11  12  16  19  24  25  26  28  30
  4   5   6   7   9  10  12  13  17  20  25  26  27  29  31
  1   5   6   7   8  10  11  13  14  18  21  26  27  28  30
  2   6   7   8   9  11  12  14  15  19  22  27  28  29  31
  1   3   7   8   9  10  12  13  15  16  20  23  28  29  30
  2   4   8   9  10  11  13  14  16  17  21  24  29  30  31
  1   3   5   9  10  11  12  14  15  17  18  22  25  30  31
  1   2   4   6  10  11  12  13  15  16  18  19  23  26  31
  1   2   3   5   7  11  12  13  14  16  17  19  20  24  27
  2   3   4   6   8  12  13  14  15  17  18  20  21  25  28
  3   4   5   7   9  13  14  15  16  18  19  21  22  26  29
  4   5   6   8  10  14  15  16  17  19  20  22  23  27  30
  5   6   7   9  11  15  16  17  18  20  21  23  24  28  31
  1   6   7   8  10  12  16  17  18  19  21  22  24  25  29
  2   7   8   9  11  13  17  18  19  20  22  23  25  26  30
  3   8   9  10  12  14  18  19  20  21  23  24  26  27  31
  1   4   9  10  11  13  15  19  20  21  22  24  25  27  28
  2   5  10  11  12  14  16  20  21  22  23  25  26  28  29
  3   6  11  12  13  15  17  21  22  23  24  26  27  29  30
  4   7  12  13  14  16  18  22  23  24  25  27  28  30  31
  1   5   8  13  14  15  17  19  23  24  25  26  28  29  31
  1   2   6   9  14  15  16  18  20  24  25  26  27  29  30
  2   3   7  10  15  16  17  19  21  25  26  27  28  30  31
  1   3   4   8  11  16  17  18  20  22  26  27  28  29  31
  1   2   4   5   9  12  17  18  19  21  23  27  28  29  30
  2   3   5   6  10  13  18  19  20  22  24  28  29  30  31
  1   3   4   6   7  11  14  19  20  21  23  25  29  30  31
  1   2   4   5   7   8  12  15  20  21  22  24  26  30  31
  1   2   3   5   6   8   9  13  16  21  22  23  25  27  31

Lösung 2

  1   2   3   4   6   7   9  12  13  19  20  21  24  28  30
  2   3   4   5   7   8  10  13  14  20  21  22  25  29  31
  1   3   4   5   6   8   9  11  14  15  21  22  23  26  30
  2   4   5   6   7   9  10  12  15  16  22  23  24  27  31
  1   3   5   6   7   8  10  11  13  16  17  23  24  25  28
  2   4   6   7   8   9  11  12  14  17  18  24  25  26  29
  3   5   7   8   9  10  12  13  15  18  19  25  26  27  30
  4   6   8   9  10  11  13  14  16  19  20  26  27  28  31
  1   5   7   9  10  11  12  14  15  17  20  21  27  28  29
  2   6   8  10  11  12  13  15  16  18  21  22  28  29  30
  3   7   9  11  12  13  14  16  17  19  22  23  29  30  31
  1   4   8  10  12  13  14  15  17  18  20  23  24  30  31
  1   2   5   9  11  13  14  15  16  18  19  21  24  25  31
  1   2   3   6  10  12  14  15  16  17  19  20  22  25  26
  2   3   4   7  11  13  15  16  17  18  20  21  23  26  27
  3   4   5   8  12  14  16  17  18  19  21  22  24  27  28
  4   5   6   9  13  15  17  18  19  20  22  23  25  28  29
  5   6   7  10  14  16  18  19  20  21  23  24  26  29  30
  6   7   8  11  15  17  19  20  21  22  24  25  27  30  31
  1   7   8   9  12  16  18  20  21  22  23  25  26  28  31
  1   2   8   9  10  13  17  19  21  22  23  24  26  27  29
  2   3   9  10  11  14  18  20  22  23  24  25  27  28  30
  3   4  10  11  12  15  19  21  23  24  25  26  28  29  31
  1   4   5  11  12  13  16  20  22  24  25  26  27  29  30
  2   5   6  12  13  14  17  21  23  25  26  27  28  30  31
  1   3   6   7  13  14  15  18  22  24  26  27  28  29  31
  1   2   4   7   8  14  15  16  19  23  25  27  28  29  30
  2   3   5   8   9  15  16  17  20  24  26  28  29  30  31
  1   3   4   6   9  10  16  17  18  21  25  27  29  30  31
  1   2   4   5   7  10  11  17  18  19  22  26  28  30  31
  1   2   3   5   6   8  11  12  18  19  20  23  27  29  31

Lösung 3

  2   4   6   8  10  12  14  16  18  20  22  24  26  28  30
  1   4   5   8   9  12  13  16  17  20  21  24  25  28  29
  3   4   7   8  11  12  15  16  19  20  23  24  27  28  31
  1   2   3   8   9  10  11  16  17  18  19  24  25  26  27
  2   5   7   8  10  13  15  16  18  21  23  24  26  29  31
  1   6   7   8   9  14  15  16  17  22  23  24  25  30  31
  3   5   6   8  11  13  14  16  19  21  22  24  27  29  30
  1   2   3   4   5   6   7  16  17  18  19  20  21  22  23
  2   4   7   9  11  13  14  16  18  20  23  25  27  29  30
  1   4   5  10  11  14  15  16  17  20  21  26  27  30  31
  3   4   6   9  10  13  15  16  19  20  22  25  26  29  31
  1   2   3  12  13  14  15  16  17  18  19  28  29  30  31
  2   5   6   9  11  12  15  16  18  21  22  25  27  28  31
  1   6   7  10  11  12  13  16  17  22  23  26  27  28  29
  3   5   7   9  10  12  14  16  19  21  23  25  26  28  30
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15
  2   4   6   8  10  12  14  17  19  21  23  25  27  29  31
  1   4   5   8   9  12  13  18  19  22  23  26  27  30  31
  3   4   7   8  11  12  15  17  18  21  22  25  26  29  30
  1   2   3   8   9  10  11  20  21  22  23  28  29  30  31
  2   5   7   8  10  13  15  17  19  20  22  25  27  28  30
  1   6   7   8   9  14  15  18  19  20  21  26  27  28  29
  3   5   6   8  11  13  14  17  18  20  23  25  26  28  31
  1   2   3   4   5   6   7  24  25  26  27  28  29  30  31
  2   4   7   9  11  13  14  17  19  21  22  24  26  28  31
  1   4   5  10  11  14  15  18  19  22  23  24  25  28  29
  3   4   6   9  10  13  15  17  18  21  23  24  27  28  30
  1   2   3  12  13  14  15  20  21  22  23  24  25  26  27
  2   5   6   9  11  12  15  17  19  20  23  24  26  29  30
  1   6   7  10  11  12  13  18  19  20  21  24  25  30  31
  3   5   7   9  10  12  14  17  18  20  22  24  27  29  31

Lösung 4

  2   4   6   8  10  12  14  16  18  20  22  24  26  28  30
  1   4   5   8   9  12  13  16  17  20  21  24  25  28  29
  3   4   7   8  11  12  15  16  19  20  23  24  27  28  31
  1   2   3   8   9  10  11  16  17  18  19  24  25  26  27
  2   5   7   8  10  13  15  16  18  21  23  24  26  29  31
  1   6   7   8   9  14  15  16  17  22  23  24  25  30  31
  3   5   6   8  11  13  14  16  19  21  22  24  27  29  30
  1   2   3   4   5   6   7  16  17  18  19  20  21  22  23
  1   2   3  12  13  14  15  16  17  18  19  28  29  30  31
  1   4   6  10  11  13  15  16  17  20  22  26  27  29  31
  1   5   7  10  11  12  14  16  17  21  23  26  27  28  30
  2   4   7   9  11  13  14  16  18  20  23  25  27  29  30
  2   5   6   9  11  12  15  16  18  21  22  25  27  28  31
  3   4   5   9  10  14  15  16  19  20  21  25  26  30  31
  3   6   7   9  10  12  13  16  19  22  23  25  26  28  29
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15
  2   4   6   8  10  12  14  17  19  21  23  25  27  29  31
  1   4   5   8   9  12  13  18  19  22  23  26  27  30  31
  3   4   7   8  11  12  15  17  18  21  22  25  26  29  30
  1   2   3   8   9  10  11  20  21  22  23  28  29  30  31
  2   5   7   8  10  13  15  17  19  20  22  25  27  28  30
  1   6   7   8   9  14  15  18  19  20  21  26  27  28  29
  3   5   6   8  11  13  14  17  18  20  23  25  26  28  31
  1   2   3   4   5   6   7  24  25  26  27  28  29  30  31
  1   2   3  12  13  14  15  20  21  22  23  24  25  26  27
  1   4   6  10  11  13  15  18  19  21  23  24  25  28  30
  1   5   7  10  11  12  14  18  19  20  22  24  25  29  31
  2   4   7   9  11  13  14  17  19  21  22  24  26  28  31
  2   5   6   9  11  12  15  17  19  20  23  24  26  29  30
  3   4   5   9  10  14  15  17  18  22  23  24  27  28  29
  3   6   7   9  10  12  13  17  18  20  21  24  27  30  31

Lösung 5

  2   4   6   8  10  12  14  16  18  20  22  24  26  28  30
  1   4   5   8   9  12  13  16  17  20  21  24  25  28  29
  3   4   7   8  11  12  15  16  19  20  23  24  27  28  31
  1   2   3   8   9  10  11  16  17  18  19  24  25  26  27
  2   5   7   8  10  13  15  16  18  21  23  24  26  29  31
  1   6   7   8   9  14  15  16  17  22  23  24  25  30  31
  3   5   6   8  11  13  14  16  19  21  22  24  27  29  30
  1   2   3   4   5   6   7  16  17  18  19  20  21  22  23
  1   2   4  11  13  14  15  16  17  18  20  27  29  30  31
  1   3   7  10  12  13  14  16  17  19  23  26  28  29  30
  1   5   6  10  11  12  15  16  17  21  22  26  27  28  31
  2   3   5   9  12  14  15  16  18  19  21  25  28  30  31
  2   6   7   9  11  12  13  16  18  22  23  25  27  28  29
  3   4   6   9  10  13  15  16  19  20  22  25  26  29  31
  4   5   7   9  10  11  14  16  20  21  23  25  26  27  30
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15
  2   4   6   8  10  12  14  17  19  21  23  25  27  29  31
  1   4   5   8   9  12  13  18  19  22  23  26  27  30  31
  3   4   7   8  11  12  15  17  18  21  22  25  26  29  30
  1   2   3   8   9  10  11  20  21  22  23  28  29  30  31
  2   5   7   8  10  13  15  17  19  20  22  25  27  28  30
  1   6   7   8   9  14  15  18  19  20  21  26  27  28  29
  3   5   6   8  11  13  14  17  18  20  23  25  26  28  31
  1   2   3   4   5   6   7  24  25  26  27  28  29  30  31
  1   2   4  11  13  14  15  19  21  22  23  24  25  26  28
  1   3   7  10  12  13  14  18  20  21  22  24  25  27  31
  1   5   6  10  11  12  15  18  19  20  23  24  25  29  30
  2   3   5   9  12  14  15  17  20  22  23  24  26  27  29
  2   6   7   9  11  12  13  17  19  20  21  24  26  30  31
  3   4   6   9  10  13  15  17  18  21  23  24  27  28  30
  4   5   7   9  10  11  14  17  18  19  22  24  28  29  31

Lösung 6

  2   4   6   8   9  10  11  16  18  20  22  24  25  26  27
  1   4   5   8   9  12  13  16  17  20  21  24  25  28  29
  3   4   7   8  10  12  14  16  19  20  23  24  26  28  30
  1   2   3   8   9  14  15  16  17  18  19  24  25  30  31
  2   5   7   8  11  12  15  16  18  21  23  24  27  28  31
  1   6   7   8  11  13  14  16  17  22  23  24  27  29  30
  3   5   6   8  10  13  15  16  19  21  22  24  26  29  31
  1   2   3   4   5   6   7  16  17  18  19  20  21  22  23
  2   4   6  12  13  14  15  16  18  20  22  28  29  30  31
  1   4   5  10  11  14  15  16  17  20  21  26  27  30  31
  3   4   7   9  11  13  15  16  19  20  23  25  27  29  31
  1   2   3  10  11  12  13  16  17  18  19  26  27  28  29
  2   5   7   9  10  13  14  16  18  21  23  25  26  29  30
  1   6   7   9  10  12  15  16  17  22  23  25  26  28  31
  3   5   6   9  11  12  14  16  19  21  22  25  27  28  30
  1   2   3   4   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14  15
  2   4   6   8   9  10  11  17  19  21  23  28  29  30  31
  1   4   5   8   9  12  13  18  19  22  23  26  27  30  31
  3   4   7   8  10  12  14  17  18  21  22  25  27  29  31
  1   2   3   8   9  14  15  20  21  22  23  26  27  28  29
  2   5   7   8  11  12  15  17  19  20  22  25  26  29  30
  1   6   7   8  11  13  14  18  19  20  21  25  26  28  31
  3   5   6   8  10  13  15  17  18  20  23  25  27  28  30
  1   2   3   4   5   6   7  24  25  26  27  28  29  30  31
  2   4   6  12  13  14  15  17  19  21  23  24  25  26  27
  1   4   5  10  11  14  15  18  19  22  23  24  25  28  29
  3   4   7   9  11  13  15  17  18  21  22  24  26  28  30
  1   2   3  10  11  12  13  20  21  22  23  24  25  30  31
  2   5   7   9  10  13  14  17  19  20  22  24  27  28  31
  1   6   7   9  10  12  15  18  19  20  21  24  27  29  30
  3   5   6   9  11  12  14  17  18  20  23  24  26  29  31

Inzidenzmatrix

Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung

Lösung 1

O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O . . .
. O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O . .
. . O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O .
. . . O O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O
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O O O . O O . O O . . . O . . O . . . . O O O . O . O . . . O

Lösung 2

O O O O . O O . O . . O O . . . . . O O O . . O . . . O . O .
. O O O O . O O . O . . O O . . . . . O O O . . O . . . O . O
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O O O . O O . O . . O O . . . . . O O O . . O . . . O . O . O

Lösung 3

. O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O .
O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . .
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Lösung 4

. O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O .
O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . .
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Lösung 5

. O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O . O .
O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . .
. . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O
O O O . . . . O O O O . . . . O O O O . . . . O O O O . . . .
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. . O . O O . O . . O . O O . O . . O . O O . O . . O . O O .
O O O O O O O . . . . . . . . O O O O O O O O . . . . . . . .
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O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . .
. O . O . O . O . O . O . O . . O . O . O . O . O . O . O . O
O . . O O . . O O . . O O . . . . O O . . O O . . O O . . O O
. . O O . . O O . . O O . . O . O O . . O O . . O O . . O O .
O O O . . . . O O O O . . . . . . . . O O O O . . . . O O O O
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. . O . O O . O . . O . O O . . O O . O . . O . O O . O . . O
O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O O
O O . O . . . . . . O . O O O . . . O . O O O O O O . O . . .
O . O . . . O . . O . O O O . . . O . O O O . O O . O . . . O
O . . . O O . . . O O O . . O . . O O O . . O O O . . . O O .
. O O . O . . . O . . O . O O . O . . O . O O O . O O . O . .
. O . . . O O . O . O O O . . . O . O O O . . O . O . . . O O
. . O O . O . . O O . . O . O . O O . . O . O O . . O O . O .
. . . O O . O . O O O . . O . . O O O . . O . O . . . O O . O

Lösung 6

. O . O . O . O O O O . . . . O . O . O . O . O O O O . . . .
O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . . O O . .
. . O O . . O O . O . O . O . O . . O O . . O O . O . O . O .
O O O . . . . O O . . . . O O O O O O . . . . O O . . . . O O
. O . . O . O O . . O O . . O O . O . . O . O O . . O O . . O
O . . . . O O O . . O . O O . O O . . . . O O O . . O . O O .
. . O . O O . O . O . . O . O O . . O . O O . O . O . . O . O
O O O O O O O . . . . . . . . O O O O O O O O . . . . . . . .
. O . O . O . . . . . O O O O O . O . O . O . . . . . O O O O
O . . O O . . . . O O . . O O O O . . O O . . . . O O . . O O
. . O O . . O . O . O . O . O O . . O O . . O . O . O . O . O
O O O . . . . . . O O O O . . O O O O . . . . . . O O O O . .
. O . . O . O . O O . . O O . O . O . . O . O . O O . . O O .
O . . . . O O . O O . O . . O O O . . . . O O . O O . O . . O
. . O . O O . . O . O O . O . O . . O . O O . . O . O O . O .
O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . .
. O . O . O . O O O O . . . . . O . O . O . O . . . . O O O O
O . . O O . . O O . . O O . . . . O O . . O O . . O O . . O O
. . O O . . O O . O . O . O . . O O . . O O . . O . O . O . O
O O O . . . . O O . . . . O O . . . . O O O O . . O O O O . .
. O . . O . O O . . O O . . O . O . O O . O . . O O . . O O .
O . . . . O O O . . O . O O . . . O O O O . . . O O . O . . O
. . O . O O . O . O . . O . O . O O . O . . O . O . O O . O .
O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O O
. O . O . O . . . . . O O O O . O . O . O . O O O O O . . . .
O . . O O . . . . O O . . O O . . O O . . O O O O . . O O . .
. . O O . . O . O . O . O . O . O O . . O O . O . O . O . O .
O O O . . . . . . O O O O . . . . . . O O O O O O . . . . O O
. O . . O . O . O O . . O O . . O . O O . O . O . . O O . . O
O . . . . O O . O O . O . . O . . O O O O . . O . . O . O O .
. . O . O O . . O . O O . O . . O O . O . . O O . O . . O . O

Zyklische Darstellung

Es existieren zyklische Darstellungen (Singer-Zyklus) für zwei Lösungen dieses Blockplans, sie sind isomorph zur jeweiligen obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.

Lösung 1

  1   2   3   4   6   7   9  10  14  17  22  23  24  26  28

Lösung 2

  1   2   3   4   6   7   9  12  13  19  20  21  24  28  30

Oval

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:

Lösung 1

  1   2

Lösung 2

  1   2

Lösung 3

  1   2

Lösung 4

  1   2

Lösung 5

  1   2

Lösung 6

  1   2

Literatur

Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.

Einzelnachweise

↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.

[1] Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.

[1]

(31,15,7)-Blockplan

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Bezeichnung

Eigenschaften

Existenz und Charakterisierung

Liste der Blöcke

Inzidenzmatrix

Zyklische Darstellung

Oval

Literatur

Einzelnachweise

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