(40,13,4)-Blockplan
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Der (40,13,4)-Blockplan ist ein spezieller Symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 40 × 40 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 13 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 4 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 40, k = 13, λ = 4), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 40, k = 13, λ = 4 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 40 Blöcken und 40 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 13 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 4 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 13 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 4 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es existieren mindestens 1108800 nichtisomorphe 2-(40,13,4) - Blockpläne[1]. Zwei dieser Lösungen sind:
- Lösung 1 mit der Signatur 40·13. Sie enthält 780 Ovale der Ordnung 2.
- Lösung 2 mit der Signatur 36·4, 4·13. Sie enthält 594 Ovale der Ordnung 3.
Liste der Blöcke
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 2 3 5 6 9 14 15 18 20 25 27 35 2 3 4 6 7 10 15 16 19 21 26 28 36 3 4 5 7 8 11 16 17 20 22 27 29 37 4 5 6 8 9 12 17 18 21 23 28 30 38 5 6 7 9 10 13 18 19 22 24 29 31 39 6 7 8 10 11 14 19 20 23 25 30 32 40 1 7 8 9 11 12 15 20 21 24 26 31 33 2 8 9 10 12 13 16 21 22 25 27 32 34 3 9 10 11 13 14 17 22 23 26 28 33 35 4 10 11 12 14 15 18 23 24 27 29 34 36 5 11 12 13 15 16 19 24 25 28 30 35 37 6 12 13 14 16 17 20 25 26 29 31 36 38 7 13 14 15 17 18 21 26 27 30 32 37 39 8 14 15 16 18 19 22 27 28 31 33 38 40 1 9 15 16 17 19 20 23 28 29 32 34 39 2 10 16 17 18 20 21 24 29 30 33 35 40 1 3 11 17 18 19 21 22 25 30 31 34 36 2 4 12 18 19 20 22 23 26 31 32 35 37 3 5 13 19 20 21 23 24 27 32 33 36 38 4 6 14 20 21 22 24 25 28 33 34 37 39 5 7 15 21 22 23 25 26 29 34 35 38 40 1 6 8 16 22 23 24 26 27 30 35 36 39 2 7 9 17 23 24 25 27 28 31 36 37 40 1 3 8 10 18 24 25 26 28 29 32 37 38 2 4 9 11 19 25 26 27 29 30 33 38 39 3 5 10 12 20 26 27 28 30 31 34 39 40 1 4 6 11 13 21 27 28 29 31 32 35 40 1 2 5 7 12 14 22 28 29 30 32 33 36 2 3 6 8 13 15 23 29 30 31 33 34 37 3 4 7 9 14 16 24 30 31 32 34 35 38 4 5 8 10 15 17 25 31 32 33 35 36 39 5 6 9 11 16 18 26 32 33 34 36 37 40 1 6 7 10 12 17 19 27 33 34 35 37 38 2 7 8 11 13 18 20 28 34 35 36 38 39 3 8 9 12 14 19 21 29 35 36 37 39 40 1 4 9 10 13 15 20 22 30 36 37 38 40 1 2 5 10 11 14 16 21 23 31 37 38 39 2 3 6 11 12 15 17 22 24 32 38 39 40 1 3 4 7 12 13 16 18 23 25 33 39 40 1 2 4 5 8 13 14 17 19 24 26 34 40
- Lösung 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 2 3 4 32 33 34 35 36 37 38 39 40 1 5 6 7 14 15 16 23 24 25 32 33 34 1 5 6 7 17 18 19 26 27 28 35 36 37 1 5 6 7 20 21 22 29 30 31 38 39 40 1 8 9 10 14 15 16 26 27 28 38 39 40 1 8 9 10 17 18 19 29 30 31 32 33 34 1 8 9 10 20 21 22 23 24 25 35 36 37 1 11 12 13 14 15 16 29 30 31 35 36 37 1 11 12 13 17 18 19 23 24 25 38 39 40 1 11 12 13 20 21 22 26 27 28 32 33 34 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 2 5 8 11 15 18 21 24 27 30 33 36 39 2 5 8 11 16 19 22 25 28 31 34 37 40 2 6 9 12 14 17 20 24 27 30 34 37 40 2 6 9 12 15 18 21 25 28 31 32 35 38 2 6 9 12 16 19 22 23 26 29 33 36 39 2 7 10 13 14 17 20 25 28 31 33 36 39 2 7 10 13 15 18 21 23 26 29 34 37 40 2 7 10 13 16 19 22 24 27 30 32 35 38 3 5 10 12 14 19 21 25 27 29 32 37 39 3 5 10 12 15 17 22 24 26 31 33 35 40 3 5 10 12 16 18 20 23 28 30 34 36 38 3 6 8 13 14 19 21 23 28 30 33 35 40 3 6 8 13 15 17 22 25 27 29 34 36 38 3 6 8 13 16 18 20 24 26 31 32 37 39 3 7 9 11 14 19 21 24 26 31 34 36 38 3 7 9 11 15 17 22 23 28 30 32 37 39 3 7 9 11 16 18 20 25 27 29 33 35 40 4 5 9 13 14 18 22 23 27 31 33 37 38 4 5 9 13 15 19 20 24 28 29 34 35 39 4 5 9 13 16 17 21 25 26 30 32 36 40 4 6 10 11 14 18 22 25 26 30 34 35 39 4 6 10 11 15 19 20 23 27 31 32 36 40 4 6 10 11 16 17 21 24 28 29 33 37 38 4 7 8 12 14 18 22 24 28 29 32 36 40 4 7 8 12 15 19 20 25 26 30 33 37 38 4 7 8 12 16 17 21 23 27 31 34 35 39
Inzidenzmatrix
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O . . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . O O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O . . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . O O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O . . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . O O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O . . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . O O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O . . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O O O O . O O . . O . . . . O O . . O . O . . . . O . O . . . . . . . O . . . . . O
- Lösung 2
O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O . . . . . . . . . O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O O O . . . . . . . . . O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O O O O . . . O O O . . . . . . O O O . . . . . . O O O . . . . . . O O O . . . . . . O . . . O O O . . . . . . . . . O O O . . . . . . O O O . . . . . . O O O . . . O . . . O O O . . . . . . . . . . . . O O O . . . . . . O O O . . . . . . O O O O . . . . . . O O O . . . O O O . . . . . . . . . O O O . . . . . . . . . O O O O . . . . . . O O O . . . . . . O O O . . . . . . . . . O O O O O O . . . . . . O . . . . . . O O O . . . . . . . . . O O O O O O . . . . . . . . . O O O . . . O . . . . . . . . . O O O O O O . . . . . . . . . . . . O O O . . . O O O . . . O . . . . . . . . . O O O . . . O O O . . . O O O . . . . . . . . . . . . O O O O . . . . . . . . . O O O . . . . . . O O O . . . O O O . . . O O O . . . . . . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . . O . . O . . O . . O . . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . O . . . O . . O . . O . O . . O . . O . . . O . . O . . O . . . O . . O . . O . O . . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . . O . . O . . O O . . O . . O . . . O . . . O . . O . . O . . . O . . O . . O O . . O . . O . . . O . . O . . O . . O . . . . O . . O . . O O . . O . . O . . . . O . . O . . O . O . . O . . O . . O . . . . O . . O . . O . O . . O . . O . O . . O . . O . . . . O . . O . . O . O . . . . O . . O . . O . . O . . O . . O . O . . O . . O . O . . O . . O . . . . O . O . . . . O . O . O . . . . O . O . . . O . O . O . . O . . . . O . O . . . O . O . . . . O . O . . O . O . . . . O . O . O . . . . O . O . O . . . . O . . O . O . . . . O . O . . . O . O . O . . O . . . . O . O . . . O . O . O . . . . O . . O . O . . . . O O . . . . O . O . O . . . . O . O . . O . O . . . . O . . O . . O . O . . . . O . O . O . . . . O . . O . O . O . . . . O . O . O . . . . O . . O . O . . . . O . . O . O . O . . . O . O . . . . O O . . . . O . O . . . O . . . O . O . O . . O . . . . O . O . . O . O . . . . O . . O . O . O . . . . O . . . O . O . O . . . O . O . . . . O O . . . . O . O . O . . . . O . O . . . O . . . O . O . O . . . . O . O . O . . . . O . O . O . . . O . O . . . . O . . . O O . . . O . . . O O . . . O . . . O O . . . O . . . O . O . . . O O . . . . . O O . . . O . . . O . O . . . O O . . . O . . . O O . . . . O O . . . O . . . . O O . . . O . . . O . . O O . . . O . . . O O . . . O . O . . . O . . . O . . . O . O . . . O O . . O . . . O . . . O . . O O . . . O . . . O O . . . O . . . . O . O . . . O O . . . O . . . O O . . O . . . O . . . O O . . . O . . . O . . . O . O . . . O O . . . . O O . . . O . . O . . . O O . . . O . . . O O . . . . . O . . O O . . . O . O . . . O . . . O . O . . . O O . . O . . . O . . . O . . . O . . O O . . . O . . O . . . O O . . . . O O . . . O . . O . . . O O . . . . . O . . O O . . . O . . . O O . . . O . O . . . O . . . O . . O O . . . O .
Zyklische Darstellung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) für Lösung 1 dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.
- Lösung 1
1 2 3 5 6 9 14 15 18 20 25 27 35
Oval
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:
- Lösung 1
1 2
- Lösung 2
5 14 28
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.