(41,16,6)-Blockplan
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Der (41,16,6)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 41 × 41 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 16 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 6 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 41, k = 16, λ = 6), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 41, k = 16, λ = 6 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 41 Blöcken und 41 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 16 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 6 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 16 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 6 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es existieren mindestens 115307 nichtisomorphe 2-(41,16,6) - Blockpläne[1][2]. Zwei dieser Lösungen sind:
- Lösung 1 (dual zur Lösung 2) mit der Signatur 15·27, 15·33, 5·36, 5·39, 1·45. Sie enthält 235 Ovale der Ordnung 3.
- Lösung 2 (dual zur Lösung 1) mit der Signatur 20·3, 1·30, 5·33, 15·34. Sie enthält 160 Ovale der Ordnung 3.
Liste der Blöcke
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 4 6 7 13 15 16 21 27 28 29 30 31 32 36 38 41 5 7 8 11 14 17 22 26 28 29 30 32 33 37 39 41 1 8 9 12 15 18 23 26 27 29 30 33 34 38 40 41 2 9 10 11 13 19 24 26 27 28 30 34 35 36 39 41 3 6 10 12 14 20 25 26 27 28 29 31 35 37 40 41 3 5 9 11 12 17 18 19 20 21 26 31 32 36 38 41 1 4 10 12 13 16 18 19 20 22 27 32 33 37 39 41 2 5 6 13 14 16 17 19 20 23 28 33 34 38 40 41 1 3 7 14 15 16 17 18 20 24 29 34 35 36 39 41 2 4 8 11 15 16 17 18 19 25 30 31 35 37 40 41 1 2 8 10 14 16 22 23 24 25 26 31 32 36 38 41 2 3 6 9 15 17 21 23 24 25 27 32 33 37 39 41 3 4 7 10 11 18 21 22 24 25 28 33 34 38 40 41 4 5 6 8 12 19 21 22 23 25 29 34 35 36 39 41 1 5 7 9 13 20 21 22 23 24 30 31 35 37 40 41 6 7 9 13 14 15 18 19 22 25 26 31 32 34 39 40 7 8 10 11 14 15 19 20 21 23 27 32 33 35 36 40 6 8 9 11 12 15 16 20 22 24 28 31 33 34 36 37 7 9 10 11 12 13 16 17 23 25 29 32 34 35 37 38 6 8 10 12 13 14 17 18 21 24 30 31 33 35 38 39 3 4 5 11 12 14 16 23 24 27 30 31 32 34 39 40 1 4 5 12 13 15 17 24 25 26 28 32 33 35 36 40 1 2 5 11 13 14 18 21 25 27 29 31 33 34 36 37 1 2 3 12 14 15 19 21 22 28 30 32 34 35 37 38 2 3 4 11 13 15 20 22 23 26 29 31 33 35 38 39 1 2 4 8 9 10 17 20 21 28 29 31 32 34 39 40 2 3 5 6 9 10 16 18 22 29 30 32 33 35 36 40 1 3 4 6 7 10 17 19 23 26 30 31 33 34 36 37 2 4 5 6 7 8 18 20 24 26 27 32 34 35 37 38 1 3 5 7 8 9 16 19 25 27 28 31 33 35 38 39 1 3 6 8 11 13 18 19 20 23 24 25 28 29 30 32 2 4 7 9 12 14 16 19 20 21 24 25 26 29 30 33 3 5 8 10 13 15 16 17 20 21 22 25 26 27 30 34 1 4 6 9 11 14 16 17 18 21 22 23 26 27 28 35 2 5 7 10 12 15 17 18 19 22 23 24 27 28 29 31 1 2 6 7 11 12 17 20 22 25 27 30 36 38 39 40 2 3 7 8 12 13 16 18 21 23 26 28 36 37 39 40 3 4 8 9 13 14 17 19 22 24 27 29 36 37 38 40 4 5 9 10 14 15 18 20 23 25 28 30 36 37 38 39 1 5 6 10 11 15 16 19 21 24 26 29 37 38 39 40
- Lösung 2
1 4 8 10 12 16 23 24 25 27 29 31 32 35 37 41 1 5 9 11 12 13 24 25 26 27 28 30 33 36 37 38 1 6 7 10 13 14 22 25 26 28 29 31 32 34 38 39 1 2 8 11 14 15 22 23 26 27 29 30 33 35 39 40 1 3 7 9 15 16 22 23 24 28 30 31 34 36 40 41 1 2 6 9 13 15 17 19 21 28 29 30 32 35 37 41 1 2 3 10 14 16 17 18 20 29 30 31 33 36 37 38 1 3 4 11 12 15 18 19 21 27 30 31 32 34 38 39 1 4 5 7 13 16 17 19 20 27 28 31 33 35 39 40 1 5 6 8 12 14 18 20 21 27 28 29 34 36 40 41 1 3 5 7 11 14 18 19 20 22 24 26 32 35 37 41 1 4 6 7 8 15 19 20 21 22 23 25 33 36 37 38 1 2 5 8 9 16 17 20 21 23 24 26 32 34 38 39 1 3 6 9 10 12 17 18 21 22 24 25 33 35 39 40 1 2 4 10 11 13 17 18 19 23 25 26 34 36 40 41 2 8 9 10 11 12 19 20 22 28 31 33 34 35 38 41 3 7 9 10 11 13 20 21 23 27 29 34 35 36 37 39 4 7 8 10 11 14 17 21 24 28 30 32 35 36 38 40 5 7 8 9 11 15 17 18 25 29 31 32 33 36 39 41 6 7 8 9 10 16 18 19 26 27 30 32 33 34 37 40 2 7 13 14 15 16 18 21 24 25 27 33 34 35 38 41 3 8 12 14 15 16 17 19 25 26 28 34 35 36 37 39 4 9 12 13 15 16 18 20 22 26 29 32 35 36 38 40 5 10 12 13 14 16 19 21 22 23 30 32 33 36 39 41 6 11 12 13 14 15 17 20 23 24 31 32 33 34 37 40 3 4 5 6 7 12 17 23 26 29 30 33 34 35 38 41 2 4 5 6 8 13 18 22 24 30 31 34 35 36 37 39 2 3 5 6 9 14 19 23 25 27 31 32 35 36 38 40 2 3 4 6 10 15 20 24 26 27 28 32 33 36 39 41 2 3 4 5 11 16 21 22 25 28 29 32 33 34 37 40 2 6 7 11 12 16 17 19 21 22 24 26 27 29 31 36 2 3 7 8 12 13 17 18 20 22 23 25 27 28 30 32 3 4 8 9 13 14 18 19 21 23 24 26 28 29 31 33 4 5 9 10 14 15 17 19 20 22 24 25 27 29 30 34 5 6 10 11 15 16 18 20 21 23 25 26 28 30 31 35 2 5 7 10 12 15 18 19 23 24 28 29 37 38 39 40 3 6 8 11 13 16 19 20 24 25 29 30 38 39 40 41 2 4 7 9 12 14 20 21 25 26 30 31 37 39 40 41 3 5 8 10 13 15 17 21 22 26 27 31 37 38 40 41 4 6 9 11 14 16 17 18 22 23 27 28 37 38 39 41 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Inzidenzmatrix
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . O . O O . . . . . O . O O . . . . O . . . . . O O O O O O . . . O . O . . O . . . . O . O O . . O . . O . . O . . . . O . . . O . O O O . O O . . . O . O . O O . . . . . . O O . . O . . O . . O . . . . O . . O O . O O . . O O . . . O . O O . O . . . . . . O O O . O . . . . . O . . . . O . O O O . O . . . O O O . . O . O . . O . . O . . . O . O . O . . . . . O . . . . O O O O O . O . . . O . O . . O O . . O . O . . . O . O O . . . . O O O O O . . . . O . . . . O O . . . O . O . . O O . . O . . . . . O . O O . . O . O O O . O . . . . O . . . . O O . . . O . O . O . O . . O O . . . . . . O O . O O . O O . . O . . . . O . . . . O O . . . O . O O O . O . . . O . . . . . . O O O O O . O . . . O . . . . O . . . . O O O . . O . O . O . O . . . O . . O . . . O O O O O . . . . . O . . . . O O . . . O . O . . O O O O . . . . . O . O . . . O . O . . . . . O O O O O . . . . O O . . . O . O . . O . O O . . O . . O . . . . . O . O . . . O . O O O . O . . . . O O . . . O . O . O . . O O . . O . . O O . . . . . . O . . O O . O O . . O . . . . O O . . . O . O O . . . O O O . O . . . O . . . . . . O . O O O . O . . . O . . . . O O O . . O . O O . . . O . O . O . . . O . . . . . . O O O O O . . . . . O O . . . O . O . . O O . . . . . O O . O . . . O O O . . O O . . O . . O O . . . . O O . O . . . . O O . . . . . . . O O . O O . . O O . . . O O O . O . . . O . . . . O O . O O . . . O . . . . . . O . O O . O O . . O O . . . O . O . O . . . O . . O . O O . O O . . . . . . . . . . O . O O O O O . . O O . . . . . O . O . . . O . . O . O O . O O . . . . . . . . O . O . O . O O O . . O O . . O . . O . . . . . O O . O . O . . O O . . . . O O O . . . . . O O . O . O . . . . . . O O . . O . . O O O . O . . . . O O . O . . O O . . . . . . O O . O . O . . . . . . O O O . O . . . O O . O O . . . O . O O . . O . . . . . O . O O . . . O . . O . . . O . O . O . O . O O . O O . . . . O O O . . . . . . . . O . O O . . . O . O O . . . . . O . O . O . O O . O O . . . . O O O . . . . . . O . O . O . . . . O . O O . . O . . O . O . O . O . . O O . . O O . O . . . O O O . . . . . . O . . O O . . . . . . O O . O O . O . . . . O O . . O O . O O . . O O . . . . . O . O . . . O . . . . . . O O . O O . O O . . . O . O . O O . O O . . O . . . . . . O . O . . . O . . O . . . O O . O O . O O . . . . . O . O O O O O . . . . . . . . . O . O . . . O . O O . . . . O . O O . O O . . . O . O . O . O O O . . . . . . O . . O . . . . . O . O O . . O . O . O . . O O . . O . O . . O . O . . O . O . . . . O O O . . O O O . . O O O . O . . . . . . . . . . O . O . . O . O . . O . O . O . . O O O . . O O O . . O O . . O . . . . . . . . . . O . O . . O . O . . O . O O O . . O O O . . O O O . . O . . . O . . . . . . . O . . O . O . . O . O . . O . O O O . . O O O . . O O O . . . . . . O . . . . . . . O . . O . O . . O . O . . O . O O O . . O O O . . O O O . O . . . . . . . . . . O O . . . O O . . . O O . . . . O . . O . O . . O . O . . O . . . . . O . O O O . . O O . . . O O . . . O O . . O . O . . O . O . . O . O . . . . . . . O O . O O . . . O O . . . O O . . . O O . . O . O . . O . O . . O . O . . . . . . O O O . O . . . . O O . . . O O . . . O O . . O . O . . O . O . . O . O . . . . . O O O O . . O . . . O O . . . O O . . . O O . . O . O . . O . O . . O . . . . . . . O O O O .
- Lösung 2
O . . O . . . O . O . O . . . O . . . . . . O O O . O . O . O O . . O . O . . . O O . . . O . . . O . O O O . . . . . . . . . . O O O O O . O . . O . . O O O . . . O . . . . O O . . O . . O O . . . . . . . O . . O O . O O . O O . O . . . O O . . O O . . . . . O . . O . . O O . . . . . . O O . . O O . O O . . O . O . . . O O . O . O . . . O . O . . . . . O O . . . . . O O O . . . O . O O . . O . O . . . O O O O . . . O . . O . . . O . O . O . O . O . . . . . . O O O . O . . O . O . . . O O O O . . . . . . O . . . O . O O O . O . . . . . . . . O O O . O . . O O O . . . O . O O . . . . . . O O . . O . . O O . O . . . . . O . . O O O . O . . . O O . . O . . O O . O . . . . . O . . O O . O O . . . . . . O O . . O . O . O . . . O O . O . . . O O . O . . . O . O . . . O . O O . . . . . O O O . . . . O . O . . . O O O . O . O . O . . . O . . O . . . O O O . O . O . O . . . . . O . . O . O . . . O O . . O . O O O . . . . . . O . . . O O O O O . O . . . . . . . O . . O O O . . . O O . . O . . O O . . . . . . O O . . O O . O O . O . . . . . O . O . . . O O . . O . O . . O . . O O . O . . . . O O . . O O . O O . . . . . . . O . O . . . O O . O O . O . . . . . O O . O . . . O O O . . . O . O O . . . . . . . O . O . . . O O . O . . . . . O O O O O . . . . . . O O . O . . . . . O . . O . O O O . . O . . O . . O . . . O . O O O . O . . . . . . O O . O . . . O . O . . . . O O O O . O . . . . . O . . O O . O O . . O . . O . . . O . . O . . . O . O . O . . O O . O . O . . . . . O . O O O . O . . . O . O O . . . . . . O . . . O . O O O . . O . . O . O . . . . . O O O O O . . . . . O . O O . . . . . . O O . . O . O O O . . O . . O . . O . . . . O . . . . . O O O O . O . . O . . O O . O . . . . . O O O . . O . . O . . O . . . . O . . . O . O O O O . O . . . . . O O . O . . . . . O O O O . O . . . . . O . . . . O . . O O . O O . O . O . O . . . O . . O . . O . . O O . O . O . . . . . O . . . . O . O O O . O . . O . O O O . . . . . . O . O O . . O . . O . O . . . . . O . . . . O O O O O . O . . O . . O O . . . . . . O O O O . . O . . O . . . O O O O O . . . . O . . . . O . . . . . O . . O . . O O . . O O O . . O . . O . O . O O O . O . . . . O . . . . O . . . O . O . . . . . O O . . O O O O . O . . . O O . O O . . O . . . . O . . . . O . . . O . O . O . . . O O . . O O . O . O . . O O O . O . . . O . . . . O . . . . O . . . O . O O O . . . O O . . O . . O . O . O O O O . . . . . O . . . . O . . . . O O . . O . . O O . . O O O . . O . . O . . O . . . O O . . . O O . . . O O . O . O O . O . O O . O . O . . . . O . . . . . . O O . . . O O . . . O O . . . O O . O . O O . O . O O . O . O . . . . . . . . . . . O O . . . O O . . . O O . . . O O . O . O O . O . O O . O . O . . . . . . . . . . . O O . . . O O . . . O O . O . O O . O . O O . O . O O . . . O . . . . . . . . . . . O O . . . O O . . . O O . O . O O . O . O O . O . O O . . . O . . . . . . . O . . O . O . . O . O . . O . . O O . . . O O . . . O O . . . . . . . O O O O . . . O . . O . O . . O . O . . O . . O O . . . O O . . . O O . . . . . . . O O O O . O . O . . O . O . . O . O . . . . . O O . . . O O . . . O O . . . . . O . O O O . . O . O . . O . O . . O . O . O . . . O O . . . O O . . . O . . . . . O O . O O . . . O . O . . O . O . . O . O O O . . . O O . . . O O . . . . . . . . O O O . O O O O O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oval
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:
- Lösung 1
1 3 40
- Lösung 2
1 32 33
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Tran van Trung: The existence of symmetric block designs with parameters (41,16,6) and (66,26,10). In: Journal of Combinatorial Theory, Series A. Bd. 33, Nr. 2, 1982, S. 201–204, doi:10.1016/0097-3165(82)90008-5.
- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.