(57,8,1)-Blockplan
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Der (57,8,1)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 57 × 57 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 8 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 1 Eins in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 57, k = 8, λ = 1), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Bezeichnung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dieser symmetrische 2-(57,8,1)-Blockplan wird projektive Ebene oder Desarguessche Ebene der Ordnung 7 genannt.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 57, k = 8, λ = 1 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 57 Blöcken und 57 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 8 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 1 Punkt.
- Jeder Punkt liegt auf genau 8 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 1 Block verbunden.
Existenz und Charakterisierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es existiert (bis auf Isomorphie) genau ein 2-(57,8,1) - Blockplan[1]. Er ist selbstdual und hat die Signatur 57*280. Er enthält 16758 Ovale der Ordnung 8.
Liste der Blöcke
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
1 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 1 16 17 18 19 20 21 22 1 23 24 25 26 27 28 29 1 30 31 32 33 34 35 36 1 37 38 39 40 41 42 43 1 44 45 46 47 48 49 50 1 51 52 53 54 55 56 57 2 9 16 23 30 37 44 51 2 10 17 24 31 38 45 52 2 11 18 25 32 39 46 53 2 12 19 26 33 40 47 54 2 13 20 27 34 41 48 55 2 14 21 28 35 42 49 56 2 15 22 29 36 43 50 57 3 9 20 28 36 38 46 54 3 10 16 29 34 40 49 53 3 11 19 23 31 42 48 57 3 12 17 27 30 39 50 56 3 13 22 25 35 37 47 52 3 14 18 24 33 43 44 55 3 15 21 26 32 41 45 51 4 9 21 29 31 39 47 55 4 10 22 27 33 42 46 51 4 11 16 24 35 41 50 54 4 12 20 23 32 43 49 52 4 13 18 28 30 40 45 57 4 14 17 26 36 37 48 53 4 15 19 25 34 38 44 56 5 9 22 24 32 40 48 56 5 10 20 26 35 39 44 57 5 11 17 28 34 43 47 51 5 12 16 25 36 42 45 55 5 13 21 23 33 38 50 53 5 14 19 29 30 41 46 52 5 15 18 27 31 37 49 54 6 9 17 25 33 41 49 57 6 10 19 28 32 37 50 55 6 11 21 27 36 40 44 52 6 12 18 29 35 38 48 51 6 13 16 26 31 43 46 56 6 14 22 23 34 39 45 54 6 15 20 24 30 42 47 53 7 9 18 26 34 42 50 52 7 10 21 25 30 43 48 54 7 11 20 29 33 37 45 56 7 12 22 28 31 41 44 53 7 13 19 24 36 39 49 51 7 14 16 27 32 38 47 57 7 15 17 23 35 40 46 55 8 9 19 27 35 43 45 53 8 10 18 23 36 41 47 56 8 11 22 26 30 38 49 55 8 12 21 24 34 37 46 57 8 13 17 29 32 42 44 54 8 14 20 25 31 40 50 51 8 15 16 28 33 39 48 52
Inzidenzmatrix
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O O . O . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . O . . . . . . 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Zyklische Darstellung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.
1 2 4 14 33 37 44 53
Orthogonale Lateinische Quadrate (MOLS)
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Diese Projektive Ebene der Ordnung 7 ist äquivalent mit diesen 6 MOLS der Ordnung 7:
Oval
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung dieses Blockplans:
1 2 9 17 26 32 43 55
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.