(7,3,1)-Blockplan
Der (7,3,1)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: Eine leere 7×7-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 3 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 1 Eins in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 7, k = 3, λ = 1), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Bezeichnung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dieser symmetrische 2-(7,3,1)-Blockplan wird Fano-Ebene, Projektive Ebene oder Desarguessche Ebene der Ordnung 2 genannt. Er ist der einzige Hadamard-Blockplan der Ordnung 2 und damit der kleinstmögliche Hadamard-Blockplan.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 7, k = 3, λ = 1 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 7 Blöcken und 7 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 3 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 1 Punkt.
- Jeder Punkt liegt auf genau 3 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 1 Block verbunden.
Existenz und Charakterisierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es existiert (bis auf Isomorphie) genau ein 2-(7,3,1)-Blockplan[1]. Er ist selbstdual und hat die Signatur 7·16. Er enthält 7 Ovale der Ordnung 4.
Liste der Blöcke
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
1 2 3 1 4 5 1 6 7 2 4 6 2 5 7 3 4 7 3 5 6
Inzidenzmatrix
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
O O O . . . . O . . O O . . O . . . . O O . O . O . O . . O . . O . O . . O O . . O . . O . O O .
Zyklische Darstellung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.
1 2 4
Oval
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier sind alle 7 Ovale maximaler Ordnung dieses Blockplans (in jeder Zeile ist ein Oval durch die Menge seiner Punkte dargestellt):
1 2 4 7 1 2 5 6 1 3 4 6 1 3 5 7 2 3 4 5 2 3 6 7 4 5 6 7
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.