(70,24,8)-Blockplan
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Der (70,24,8)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 70 × 70 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 24 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 8 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 70, k = 24, λ = 8), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 70, k = 24, λ = 8 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 70 Blöcken und 70 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 24 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 8 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 24 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 8 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es existieren mindestens 28 nichtisomorphe 2-(70,24,8) - Blockpläne[1][2]. Zwei dieser Lösungen sind:
- Lösung 1 (dual zur Lösung 2) mit der Signatur 56·1, 14·12. Sie enthält 224 Ovale der Ordnung 3.
- Lösung 2 (dual zur Lösung 1) mit der Signatur 56·12, 14·16. Sie enthält 224 Ovale der Ordnung 3.
Liste der Blöcke
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
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- Lösung 2
1 4 6 7 8 11 13 14 15 18 20 21 29 32 36 42 48 49 53 55 57 62 67 70 1 2 5 7 8 9 12 14 15 16 19 21 30 33 36 37 43 49 54 56 58 63 64 68 1 2 3 6 8 9 10 13 15 16 17 20 31 34 37 38 43 44 50 55 57 59 65 69 2 3 4 7 9 10 11 14 16 17 18 21 32 35 38 39 44 45 51 56 58 60 66 70 1 3 4 5 8 10 11 12 15 17 18 19 29 33 39 40 45 46 50 52 59 61 64 67 2 4 5 6 9 11 12 13 16 18 19 20 30 34 40 41 46 47 51 53 60 62 65 68 3 5 6 7 10 12 13 14 17 19 20 21 31 35 41 42 47 48 52 54 61 63 66 69 1 4 6 7 8 11 13 14 22 25 27 28 34 35 39 41 43 46 50 56 60 63 64 69 3 5 6 7 10 12 13 14 24 26 27 28 33 34 38 40 45 49 55 56 59 62 68 70 1 2 5 7 8 9 12 14 22 23 26 28 29 35 40 42 44 47 50 51 57 61 65 70 1 3 4 5 8 10 11 12 22 24 25 26 31 32 36 38 43 47 53 54 57 60 66 68 1 2 3 6 8 9 10 13 22 23 24 27 29 30 36 41 45 48 51 52 58 62 64 66 2 3 4 7 9 10 11 14 23 24 25 28 30 31 37 42 46 49 52 53 59 63 65 67 2 4 5 6 9 11 12 13 23 25 26 27 32 33 37 39 44 48 54 55 58 61 67 69 2 3 5 8 15 18 20 21 22 23 24 26 30 32 34 38 39 42 46 56 61 62 63 69 1 9 10 12 15 22 32 33 34 35 37 39 41 42 45 48 53 54 59 60 62 63 65 70 5 8 9 10 16 19 21 24 27 28 29 35 38 39 41 42 43 44 46 48 53 55 67 68 2 8 10 12 16 17 20 25 26 27 36 41 44 49 50 52 53 56 60 61 62 63 67 70 1 2 3 12 20 21 25 27 29 32 35 40 43 45 46 47 49 51 53 55 58 59 63 69 1 3 5 9 18 20 25 28 31 33 34 36 41 42 46 50 51 54 55 56 58 66 67 70 3 8 9 12 17 18 19 23 25 28 30 32 34 35 48 49 52 55 57 60 64 68 69 70 3 4 6 9 15 16 19 21 23 24 25 27 31 33 35 36 39 40 47 50 57 62 63 70 4 5 7 10 15 16 17 20 24 25 26 28 29 32 34 37 40 41 48 51 57 58 63 64 1 5 6 11 16 17 18 21 22 25 26 27 30 33 35 38 41 42 49 52 57 58 59 65 2 6 7 12 15 17 18 19 23 26 27 28 29 31 34 36 39 42 43 53 58 59 60 66 1 3 7 13 16 18 19 20 22 24 27 28 30 32 35 36 37 40 44 54 59 60 61 67 1 2 4 14 17 19 20 21 22 23 25 28 29 31 33 37 38 41 45 55 60 61 62 68 4 8 9 14 15 18 20 23 26 27 34 35 37 38 40 41 43 45 47 49 52 54 66 67 1 9 11 14 15 16 19 24 25 26 40 42 43 48 51 52 55 56 59 60 61 62 66 69 1 2 7 11 19 20 24 26 31 34 35 39 44 45 46 48 49 50 52 54 57 58 62 68 1 2 5 10 18 21 27 28 31 37 39 40 47 48 49 56 57 60 62 64 65 66 67 69 2 10 11 13 16 23 29 33 34 35 36 38 40 42 46 49 54 55 57 60 61 63 64 66 3 11 12 14 17 24 29 30 34 35 36 37 39 41 43 47 55 56 57 58 61 62 65 67 4 8 12 13 18 25 29 30 31 35 37 38 40 42 44 48 50 56 58 59 62 63 66 68 5 9 13 14 19 26 29 30 31 32 36 38 39 41 45 49 50 51 57 59 60 63 67 69 6 8 10 14 20 27 30 31 32 33 37 39 40 42 43 46 51 52 57 58 60 61 68 70 7 8 9 11 21 28 31 32 33 34 36 38 40 41 44 47 52 53 58 59 61 62 64 69 2 4 7 8 17 19 24 27 30 32 33 40 41 42 45 50 53 54 55 56 57 65 66 69 6 9 10 11 15 17 20 22 25 28 29 30 36 39 40 42 44 45 47 49 54 56 68 69 7 10 11 12 16 18 21 22 23 26 30 31 36 37 40 41 43 45 46 48 50 55 69 70 1 11 12 13 15 17 19 23 24 27 31 32 37 38 41 42 44 46 47 49 51 56 64 70 2 12 13 14 16 18 20 24 25 28 32 33 36 38 39 42 43 45 47 48 50 52 64 65 3 8 13 14 17 19 21 22 25 26 33 34 36 37 39 40 44 46 48 49 51 53 65 66 4 9 10 13 18 19 20 22 24 26 29 31 33 35 43 49 53 56 58 61 64 65 69 70 2 8 11 14 16 17 18 22 24 27 29 31 33 34 47 48 51 54 59 63 67 68 69 70 3 9 11 13 17 18 21 26 27 28 37 42 43 45 50 51 53 54 57 61 62 63 64 68 4 10 12 14 15 18 19 22 27 28 36 38 44 46 51 52 54 55 57 58 62 63 65 69 5 8 11 13 16 19 20 22 23 28 37 39 45 47 52 53 55 56 57 58 59 63 66 70 6 9 12 14 17 20 21 22 23 24 38 40 46 48 50 53 54 56 57 58 59 60 64 67 7 8 10 13 15 18 21 23 24 25 39 41 47 49 50 51 54 55 58 59 60 61 65 68 1 4 7 9 17 20 26 27 30 36 38 39 46 47 48 55 59 61 63 64 65 66 68 70 2 3 4 13 15 21 26 28 29 30 33 41 43 44 46 47 48 52 54 56 57 59 60 70 3 4 5 14 15 16 22 27 30 31 34 42 44 45 47 48 49 50 53 55 58 60 61 64 4 5 6 8 16 17 23 28 31 32 35 36 43 45 46 48 49 51 54 56 59 61 62 65 5 6 7 9 17 18 22 24 29 32 33 37 43 44 46 47 49 50 52 55 60 62 63 66 1 6 7 10 18 19 23 25 30 33 34 38 43 44 45 47 48 51 53 56 57 61 63 67 2 3 6 11 15 19 22 28 32 38 40 41 43 48 49 50 58 61 63 65 66 67 68 70 2 4 6 10 19 21 22 26 32 34 35 36 37 42 47 50 51 52 55 56 59 64 67 68 3 5 7 11 15 20 23 27 29 33 35 36 37 38 48 50 51 52 53 56 60 65 68 69 1 4 6 12 16 21 24 28 29 30 34 37 38 39 49 50 51 52 53 54 61 66 69 70 2 5 7 13 15 17 22 25 30 31 35 38 39 40 43 51 52 53 54 55 62 64 67 70 1 3 6 14 16 18 23 26 29 31 32 39 40 41 44 52 53 54 55 56 63 64 65 68 5 10 11 14 19 20 21 23 25 27 29 30 32 34 43 44 50 54 59 62 64 65 66 70 6 8 11 12 15 20 21 24 26 28 30 31 33 35 44 45 51 55 60 63 64 65 66 67 7 9 12 13 15 16 21 22 25 27 29 31 32 34 45 46 52 56 57 61 65 66 67 68 1 10 13 14 15 16 17 23 26 28 30 32 33 35 46 47 50 53 58 62 66 67 68 69 2 5 6 14 15 18 24 25 35 36 37 41 44 45 46 53 57 59 61 64 66 68 69 70 3 4 7 12 16 20 22 23 33 39 41 42 43 44 49 51 57 59 62 64 66 67 68 69 1 4 5 13 17 21 23 24 34 36 40 42 43 44 45 52 58 60 63 65 67 68 69 70 3 6 7 8 16 19 25 26 29 37 38 42 45 46 47 54 58 60 62 64 65 67 69 70
Oval
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:
- Lösung 1
1 2 6
- Lösung 2
1 16 45
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Zvonimir Janko, Tran van Trung: The existence of a symmetric block design for (70,24,8). In: Mitteilungen aus dem Mathematischen Seminar Giessen. 165, 1984, S. 17–18
- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.