(71,15,3)-Blockplan
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Der (71,15,3)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: Eine leere 71×71-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 15 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 3 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 71, k = 15, λ = 3), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Bezeichnung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dieser symmetrische 2-(71,15,3)-Blockplan wird Triplane der Ordnung 12 genannt.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 71, k = 15, λ = 3 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 71 Blöcken und 71 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 15 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 3 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 15 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 3 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es existieren mindestens 72 nichtisomorphe 2-(71,15,3) - Blockpläne[1]. Eine dieser Lösungen ist:
- Lösung 1 mit der Signatur 8·6, 6·8, 8·12, 24·16, 24·18, 1·1360. Diese Lösung ist nicht selbstdual (die duale Lösung hat die Signatur 32·12, 24·14, 6·16, 8·18, 1·1360).
Liste der Blöcke
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 2 3 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 18 19 20 24 25 26 30 31 32 36 37 38 1 2 3 21 22 23 27 28 29 33 34 35 39 40 41 6 7 8 18 19 20 27 28 29 42 43 44 48 49 50 6 7 8 21 22 23 24 25 26 45 46 47 51 52 53 1 4 5 6 9 18 21 24 27 54 57 60 63 66 69 1 4 5 7 10 20 23 26 29 56 59 62 65 68 71 1 4 5 8 11 19 22 25 28 55 58 61 64 67 70 1 6 9 30 33 36 39 42 45 48 51 55 56 58 59 1 7 10 32 35 38 41 44 47 50 53 54 55 57 58 1 8 11 31 34 37 40 43 46 49 52 54 56 57 59 1 12 15 18 24 33 39 43 47 50 52 61 62 67 68 1 14 17 23 29 32 38 43 45 48 52 63 64 69 70 1 13 16 19 25 34 40 44 45 48 53 60 62 66 68 1 12 15 21 27 30 36 44 46 49 53 64 65 70 71 1 14 17 20 26 35 41 42 46 49 51 60 61 66 67 1 13 16 22 28 31 37 42 47 50 51 63 65 69 71 2 4 9 12 19 23 31 35 42 43 45 53 54 61 71 3 5 10 17 19 21 31 33 44 45 47 49 59 63 67 2 4 11 13 20 21 32 33 43 44 46 51 55 62 69 3 5 9 15 20 22 32 34 42 45 46 50 57 64 68 2 4 10 14 18 22 30 34 42 44 47 52 56 60 70 3 5 11 16 18 23 30 35 43 46 47 48 58 65 66 2 5 9 12 26 28 38 40 47 48 49 51 57 62 70 3 4 10 17 24 28 36 40 43 50 51 53 56 64 66 2 5 11 13 24 29 36 41 45 49 50 52 58 60 71 3 4 9 15 25 29 37 41 44 48 51 52 54 65 67 2 5 10 14 25 27 37 39 46 48 50 53 59 61 69 3 4 11 16 26 27 38 39 42 49 52 53 55 63 68 2 6 15 19 23 38 40 46 50 55 56 60 63 65 67 3 7 14 19 21 36 40 42 52 57 58 61 62 65 69 2 8 16 20 21 36 41 47 48 54 56 61 63 64 68 3 6 12 20 22 37 41 43 53 58 59 60 62 63 70 2 7 17 18 22 37 39 45 49 54 55 62 64 65 66 3 8 13 18 23 38 39 44 51 57 59 60 61 64 71 2 6 15 26 28 31 35 44 52 58 59 64 66 68 69 3 7 14 24 28 31 33 46 48 54 55 60 68 70 71 2 8 16 24 29 32 33 42 53 57 59 65 66 67 70 3 6 12 25 29 32 34 47 49 55 56 61 66 69 71 2 7 17 25 27 30 34 43 51 57 58 63 67 68 71 3 8 13 26 27 30 35 45 50 54 56 62 67 69 70 4 6 14 16 23 25 30 31 33 41 49 50 57 62 64 5 7 12 16 19 27 32 33 35 37 51 52 56 60 64 4 8 12 17 21 26 31 32 34 39 48 50 58 60 65 5 6 13 17 20 28 30 33 34 38 52 53 54 61 65 4 7 13 15 22 24 30 32 35 40 48 49 59 61 63 5 8 14 15 18 29 31 34 35 36 51 53 55 62 63 4 6 13 17 19 29 35 36 37 39 46 47 57 68 70 5 7 13 15 21 25 31 38 39 41 42 43 56 66 70 4 8 14 15 20 27 33 37 38 40 45 47 58 66 71 5 6 14 16 22 26 32 36 39 40 43 44 54 67 71 4 7 12 16 18 28 34 36 38 41 45 46 59 67 69 5 8 12 17 23 24 30 37 40 41 42 44 55 68 69 6 10 11 18 27 31 32 40 41 45 51 61 65 68 70 7 9 11 23 26 33 34 36 37 44 50 61 63 66 70 8 9 10 19 28 30 32 39 41 46 52 62 63 66 71 6 10 11 21 24 34 35 37 38 42 48 62 64 67 71 7 9 11 20 29 30 31 39 40 47 53 60 64 67 69 8 9 10 22 25 33 35 36 38 43 49 60 65 68 69 9 13 14 18 21 23 28 32 37 49 53 56 58 67 68 10 15 16 19 20 23 24 34 39 49 51 54 58 69 70 11 12 14 19 21 22 29 30 38 50 51 54 59 66 68 9 16 17 18 20 21 25 35 40 50 52 55 59 70 71 10 12 13 20 22 23 27 31 36 48 52 55 57 66 67 11 15 17 18 19 22 26 33 41 48 53 56 57 69 71 9 13 14 19 24 26 27 34 41 43 47 55 59 64 65 10 15 16 21 26 28 29 30 37 43 45 55 57 60 61 11 12 14 20 24 25 28 35 39 44 45 56 57 63 65 9 16 17 22 24 27 29 31 38 44 46 56 58 61 62 10 12 13 18 25 26 29 33 40 42 46 54 58 63 64 11 15 17 23 25 27 28 32 36 42 47 54 59 60 62
Inzidenzmatrix
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
O O O . . O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O . . . . . . . . . . . . . . O O O . . . O O O . . . O O O . . . O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O . . . O O O . . . O O O . . . O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O . . . . . . . . . O O O . . . . . . O O O . . . . . . . . . . . . O O O . . . O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O . . . . . . . . . . . . O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O . . . O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . O O O . . O . . . . . . . . O . . O . . O . . O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O . . O O . O . . O . . . . . . . . . O . . O . . O . . O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . O . . O . . O . . O . . O O . . 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Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
- Mirjana Garapić: Some Symmetric (71,15,3) Designs With An Involutory Elation. Glasnik Matematički Vol. 35(55)(2000), 211–214.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.