(79,27,9)-Blockplan
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Der (79,27,9)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 79 × 79 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 27 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 9 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 79, k = 27, λ = 9), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 79, k = 27, λ = 9 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 79 Blöcken und 79 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 27 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 9 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 27 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 9 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es existieren mindestens 1463 nichtisomorphe 2-(79,27,9) - Blockpläne[1]. Acht dieser Lösungen sind:
- Lösung 1 (dual zur Lösung 2) mit der Signatur 13·4, 39·6, 13·9, 13·12, 1·78. Sie enthält 689 Ovale der Ordnung 3.
- Lösung 2 (dual zur Lösung 1) mit der Signatur 13·12, 13·15, 13·21, 39·24, 1·312. Sie enthält 13 Ovale der Ordnung 4.
- Lösung 3 (dual zur Lösung 4) mit der Signatur 26·3, 13·4, 13·9, 1·13, 26·18. Sie enthält 390 Ovale der Ordnung 3.
- Lösung 4 (dual zur Lösung 3) mit der Signatur 52·27, 26·45, 1·546. Sie enthält 13 Ovale der Ordnung 4.
- Lösung 5 (dual zur Lösung 6) mit der Signatur 13·4, 65·9, 1·13. Sie enthält 468 Ovale der Ordnung 3.
- Lösung 6 (dual zur Lösung 5) mit der Signatur 26·51, 26·69, 26·162, 1·572. Sie enthält 39 Ovale der Ordnung 4.
- Lösung 7 (dual zur Lösung 8) mit der Signatur 52·9, 26·20, 1·312. Sie enthält 13 Ovale der Ordnung 4.
- Lösung 8 (dual zur Lösung 7) mit der Signatur 52·9, 26·32, 1·312. Sie enthält 13 Ovale der Ordnung 4.
Liste der Blöcke
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 2 3 5 11 15 16 18 24 29 30 31 33 34 37 42 43 44 46 47 50 55 57 63 71 77 79 1 3 4 6 12 16 17 19 25 30 31 32 34 35 38 43 44 45 47 48 51 56 58 64 67 72 78 1 4 5 7 13 17 18 20 26 31 32 33 35 36 39 44 45 46 48 49 52 57 59 65 68 73 79 1 5 6 8 14 18 19 21 27 32 33 34 36 37 40 45 46 47 49 50 53 58 60 66 67 69 74 1 2 6 7 9 15 19 20 22 28 33 34 35 37 38 41 46 47 48 50 51 54 59 61 68 70 75 1 3 7 8 10 16 20 21 23 29 34 35 36 38 39 42 47 48 49 51 52 55 60 62 69 71 76 1 4 8 9 11 17 21 22 24 30 35 36 37 39 40 43 48 49 50 52 53 56 61 63 70 72 77 1 5 9 10 12 18 22 23 25 28 31 36 37 38 40 41 44 49 50 51 53 57 62 64 71 73 78 1 6 10 11 13 19 23 24 26 28 29 32 37 38 39 41 42 45 50 51 52 58 63 65 72 74 79 1 7 11 12 14 20 24 25 27 29 30 33 38 39 40 42 43 46 51 52 53 59 64 66 67 73 75 1 2 8 12 13 15 21 25 26 28 30 31 34 39 40 41 43 44 47 52 53 54 60 65 68 74 76 1 3 9 13 14 16 22 26 27 28 29 31 32 35 40 41 42 44 45 48 53 55 61 66 69 75 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61 66 67 68 70 71 74 79 3 6 7 8 9 12 18 24 26 31 37 39 41 42 43 45 46 49 54 56 62 67 68 69 71 72 75 6 12 14 17 20 21 22 23 26 29 30 31 33 34 37 45 51 53 55 57 63 68 69 70 72 73 76 2 7 13 18 21 22 23 24 27 30 31 32 34 35 38 41 46 52 56 58 64 69 70 71 73 74 77 3 8 14 15 19 22 23 24 25 31 32 33 35 36 39 42 47 53 57 59 65 70 71 72 74 75 78 2 4 9 16 20 23 24 25 26 32 33 34 36 37 40 41 43 48 58 60 66 71 72 73 75 76 79 3 5 10 17 21 24 25 26 27 28 33 34 35 37 38 42 44 49 54 59 61 67 72 73 74 76 77 4 6 11 15 18 22 25 26 27 29 34 35 36 38 39 43 45 50 55 60 62 68 73 74 75 77 78 5 7 12 15 16 19 23 26 27 30 35 36 37 39 40 44 46 51 56 61 63 69 74 75 76 78 79 6 8 13 15 16 17 20 24 27 28 31 36 37 38 40 45 47 52 57 62 64 67 70 75 76 77 79 7 9 14 15 16 17 18 21 25 28 29 32 37 38 39 46 48 53 58 63 65 67 68 71 76 77 78 2 8 10 16 17 18 19 22 26 29 30 33 38 39 40 41 47 49 59 64 66 68 69 72 77 78 79 3 9 11 17 18 19 20 23 27 28 30 31 34 39 40 42 48 50 54 60 65 67 69 70 73 78 79 4 10 12 15 18 19 20 21 24 28 29 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9 14 17 20 21 23 24 25 29 35 40 41 44 45 46 47 50 56 59 60 62 63 64 68 74 79 2 4 10 18 21 22 24 25 26 28 30 36 42 45 46 47 48 51 57 60 61 63 64 65 67 69 75
- Lösung 2
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75 77 79 1 5 11 13 14 18 24 26 27 29 32 33 42 45 46 54 56 57 62 63 65 67 69 70 75 76 78 6 9 10 12 13 14 16 18 24 30 32 33 34 38 40 48 49 52 56 58 59 60 64 66 74 75 78 2 7 10 11 13 14 17 19 25 28 31 33 34 35 39 49 50 53 54 57 59 60 61 65 75 76 79 2 3 8 11 12 14 18 20 26 29 32 34 35 36 40 41 50 51 55 58 60 61 62 66 67 76 77 2 3 4 9 12 13 19 21 27 28 30 33 35 36 37 42 51 52 54 56 59 61 62 63 68 77 78 3 4 5 10 13 14 15 20 22 29 31 34 36 37 38 43 52 53 55 57 60 62 63 64 69 78 79 2 4 5 6 11 14 16 21 23 30 32 35 37 38 39 41 44 53 56 58 61 63 64 65 67 70 79 2 3 5 6 7 12 17 22 24 31 33 36 38 39 40 41 42 45 57 59 62 64 65 66 67 68 71 3 4 6 7 8 13 18 23 25 28 32 34 37 39 40 42 43 46 54 58 60 63 65 66 68 69 72 4 5 7 8 9 14 19 24 26 28 29 33 35 38 40 43 44 47 54 55 59 61 64 66 69 70 73 2 5 6 8 9 10 20 25 27 28 29 30 34 36 39 44 45 48 54 55 56 60 62 65 70 71 74 3 6 7 9 10 11 15 21 26 29 30 31 35 37 40 45 46 49 55 56 57 61 63 66 71 72 75 4 7 8 10 11 12 16 22 27 28 30 31 32 36 38 46 47 50 54 56 57 58 62 64 72 73 76 5 8 9 11 12 13 15 17 23 29 31 32 33 37 39 47 48 51 55 57 58 59 63 65 73 74 77 6 9 10 12 13 14 16 18 24 35 36 39 43 45 46 47 51 53 61 62 65 69 71 72 73 77 79 2 7 10 11 13 14 17 19 25 36 37 40 41 44 46 47 48 52 62 63 66 67 70 72 73 74 78 2 3 8 11 12 14 18 20 26 28 37 38 42 45 47 48 49 53 54 63 64 68 71 73 74 75 79 2 3 4 9 12 13 19 21 27 29 38 39 41 43 46 48 49 50 55 64 65 67 69 72 74 75 76 3 4 5 10 13 14 15 20 22 30 39 40 42 44 47 49 50 51 56 65 66 68 70 73 75 76 77 2 4 5 6 11 14 16 21 23 28 31 40 43 45 48 50 51 52 54 57 66 69 71 74 76 77 78 2 3 5 6 7 12 17 22 24 28 29 32 44 46 49 51 52 53 54 55 58 70 72 75 77 78 79 3 4 6 7 8 13 18 23 25 29 30 33 41 45 47 50 52 53 55 56 59 67 71 73 76 78 79 4 5 7 8 9 14 19 24 26 30 31 34 41 42 46 48 51 53 56 57 60 67 68 72 74 77 79 2 5 6 8 9 10 20 25 27 31 32 35 41 42 43 47 49 52 57 58 61 67 68 69 73 75 78 3 6 7 9 10 11 15 21 26 32 33 36 42 43 44 48 50 53 58 59 62 68 69 70 74 76 79 4 7 8 10 11 12 16 22 27 33 34 37 41 43 44 45 49 51 59 60 63 67 69 70 71 75 77 5 8 9 11 12 13 15 17 23 34 35 38 42 44 45 46 50 52 60 61 64 68 70 71 72 76 78 3 5 11 19 22 23 25 26 27 30 32 33 34 38 40 48 49 52 61 62 65 69 71 72 73 77 79 4 6 12 15 20 23 24 26 27 28 31 33 34 35 39 49 50 53 62 63 66 67 70 72 73 74 78 5 7 13 15 16 21 24 25 27 29 32 34 35 36 40 41 50 51 54 63 64 68 71 73 74 75 79 6 8 14 15 16 17 22 25 26 28 30 33 35 36 37 42 51 52 55 64 65 67 69 72 74 75 76 2 7 9 16 17 18 23 26 27 29 31 34 36 37 38 43 52 53 56 65 66 68 70 73 75 76 77 3 8 10 15 17 18 19 24 27 30 32 35 37 38 39 41 44 53 54 57 66 69 71 74 76 77 78 4 9 11 15 16 18 19 20 25 31 33 36 38 39 40 41 42 45 54 55 58 70 72 75 77 78 79 5 10 12 16 17 19 20 21 26 28 32 34 37 39 40 42 43 46 55 56 59 67 71 73 76 78 79 6 11 13 17 18 20 21 22 27 28 29 33 35 38 40 43 44 47 56 57 60 67 68 72 74 77 79 7 12 14 15 18 19 21 22 23 28 29 30 34 36 39 44 45 48 57 58 61 67 68 69 73 75 78 2 8 13 16 19 20 22 23 24 29 30 31 35 37 40 45 46 49 58 59 62 68 69 70 74 76 79 3 9 14 17 20 21 23 24 25 28 30 31 32 36 38 46 47 50 59 60 63 67 69 70 71 75 77 2 4 10 18 21 22 24 25 26 29 31 32 33 37 39 47 48 51 60 61 64 68 70 71 72 76 78 3 5 11 19 22 23 25 26 27 35 36 39 43 45 46 47 51 53 56 58 59 60 64 66 74 75 78 4 6 12 15 20 23 24 26 27 36 37 40 41 44 46 47 48 52 54 57 59 60 61 65 75 76 79 5 7 13 15 16 21 24 25 27 28 37 38 42 45 47 48 49 53 55 58 60 61 62 66 67 76 77 6 8 14 15 16 17 22 25 26 29 38 39 41 43 46 48 49 50 54 56 59 61 62 63 68 77 78 2 7 9 16 17 18 23 26 27 30 39 40 42 44 47 49 50 51 55 57 60 62 63 64 69 78 79 3 8 10 15 17 18 19 24 27 28 31 40 43 45 48 50 51 52 56 58 61 63 64 65 67 70 79 4 9 11 15 16 18 19 20 25 28 29 32 44 46 49 51 52 53 57 59 62 64 65 66 67 68 71 5 10 12 16 17 19 20 21 26 29 30 33 41 45 47 50 52 53 54 58 60 63 65 66 68 69 72 6 11 13 17 18 20 21 22 27 30 31 34 41 42 46 48 51 53 54 55 59 61 64 66 69 70 73 7 12 14 15 18 19 21 22 23 31 32 35 41 42 43 47 49 52 54 55 56 60 62 65 70 71 74 2 8 13 16 19 20 22 23 24 32 33 36 42 43 44 48 50 53 55 56 57 61 63 66 71 72 75 3 9 14 17 20 21 23 24 25 33 34 37 41 43 44 45 49 51 54 56 57 58 62 64 72 73 76 2 4 10 18 21 22 24 25 26 34 35 38 42 44 45 46 50 52 55 57 58 59 63 65 73 74 77
Oval
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier sind Beispiele von Ovalen maximaler Ordnung dieses Blockplans (in jeder Zeile ist ein Oval durch die Menge seiner Punkte dargestellt):
- Lösung 1
1 28 67
- Lösung 2 (sämtliche Ovale)
2 15 28 41 3 16 29 42 4 17 30 43 5 18 31 44 6 19 32 45 7 20 33 46 8 21 34 47 9 22 35 48 10 23 36 49 11 24 37 50 12 25 38 51 13 26 39 52 14 27 40 53
- Lösung 3
2 30 59
- Lösung 4 (sämtliche Ovale)
28 41 54 67 29 42 55 68 30 43 56 69 31 44 57 70 32 45 58 71 33 46 59 72 34 47 60 73 35 48 61 74 36 49 62 75 37 50 63 76 38 51 64 77 39 52 65 78 40 53 66 79
- Lösung 5
2 32 79
- Lösung 6
2 15 28 41
- Lösung 7 (sämtliche Ovale)
28 41 54 67 29 42 55 68 30 43 56 69 31 44 57 70 32 45 58 71 33 46 59 72 34 47 60 73 35 48 61 74 36 49 62 75 37 50 63 76 38 51 64 77 39 52 65 78 40 53 66 79
- Lösung 8 (sämtliche Ovale)
28 41 54 67 29 42 55 68 30 43 56 69 31 44 57 70 32 45 58 71 33 46 59 72 34 47 60 73 35 48 61 74 36 49 62 75 37 50 63 76 38 51 64 77 39 52 65 78 40 53 66 79
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.