(85,21,5)-Blockplan
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Der (85,21,5)-Blockplan ist ein spezieller Symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 85 × 85 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 21 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 5 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 85, k = 21, λ = 5), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 85, k = 21, λ = 5 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 85 Blöcken und 85 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 21 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 5 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 21 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 5 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es existieren mindestens 213964 nichtisomorphe 2-(85,21,5) - Blockpläne[1]. Zwei dieser Lösungen sind:
- Lösung 1 mit der Signatur 85·84. Sie enthält 3570 Ovale der Ordnung 2.
- Lösung 2 mit der Signatur 73·20, 6·21, 1·22, 5·84. Sie enthält 72 Ovale der Ordnung 4.
Liste der Blöcke
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
- Lösung 1
1 2 8 12 20 23 25 26 28 30 41 42 50 59 66 72 73 76 78 82 85 1 2 3 9 13 21 24 26 27 29 31 42 43 51 60 67 73 74 77 79 83 2 3 4 10 14 22 25 27 28 30 32 43 44 52 61 68 74 75 78 80 84 3 4 5 11 15 23 26 28 29 31 33 44 45 53 62 69 75 76 79 81 85 1 4 5 6 12 16 24 27 29 30 32 34 45 46 54 63 70 76 77 80 82 2 5 6 7 13 17 25 28 30 31 33 35 46 47 55 64 71 77 78 81 83 3 6 7 8 14 18 26 29 31 32 34 36 47 48 56 65 72 78 79 82 84 4 7 8 9 15 19 27 30 32 33 35 37 48 49 57 66 73 79 80 83 85 1 5 8 9 10 16 20 28 31 33 34 36 38 49 50 58 67 74 80 81 84 2 6 9 10 11 17 21 29 32 34 35 37 39 50 51 59 68 75 81 82 85 1 3 7 10 11 12 18 22 30 33 35 36 38 40 51 52 60 69 76 82 83 2 4 8 11 12 13 19 23 31 34 36 37 39 41 52 53 61 70 77 83 84 3 5 9 12 13 14 20 24 32 35 37 38 40 42 53 54 62 71 78 84 85 1 4 6 10 13 14 15 21 25 33 36 38 39 41 43 54 55 63 72 79 85 1 2 5 7 11 14 15 16 22 26 34 37 39 40 42 44 55 56 64 73 80 2 3 6 8 12 15 16 17 23 27 35 38 40 41 43 45 56 57 65 74 81 3 4 7 9 13 16 17 18 24 28 36 39 41 42 44 46 57 58 66 75 82 4 5 8 10 14 17 18 19 25 29 37 40 42 43 45 47 58 59 67 76 83 5 6 9 11 15 18 19 20 26 30 38 41 43 44 46 48 59 60 68 77 84 6 7 10 12 16 19 20 21 27 31 39 42 44 45 47 49 60 61 69 78 85 1 7 8 11 13 17 20 21 22 28 32 40 43 45 46 48 50 61 62 70 79 2 8 9 12 14 18 21 22 23 29 33 41 44 46 47 49 51 62 63 71 80 3 9 10 13 15 19 22 23 24 30 34 42 45 47 48 50 52 63 64 72 81 4 10 11 14 16 20 23 24 25 31 35 43 46 48 49 51 53 64 65 73 82 5 11 12 15 17 21 24 25 26 32 36 44 47 49 50 52 54 65 66 74 83 6 12 13 16 18 22 25 26 27 33 37 45 48 50 51 53 55 66 67 75 84 7 13 14 17 19 23 26 27 28 34 38 46 49 51 52 54 56 67 68 76 85 1 8 14 15 18 20 24 27 28 29 35 39 47 50 52 53 55 57 68 69 77 2 9 15 16 19 21 25 28 29 30 36 40 48 51 53 54 56 58 69 70 78 3 10 16 17 20 22 26 29 30 31 37 41 49 52 54 55 57 59 70 71 79 4 11 17 18 21 23 27 30 31 32 38 42 50 53 55 56 58 60 71 72 80 5 12 18 19 22 24 28 31 32 33 39 43 51 54 56 57 59 61 72 73 81 6 13 19 20 23 25 29 32 33 34 40 44 52 55 57 58 60 62 73 74 82 7 14 20 21 24 26 30 33 34 35 41 45 53 56 58 59 61 63 74 75 83 8 15 21 22 25 27 31 34 35 36 42 46 54 57 59 60 62 64 75 76 84 9 16 22 23 26 28 32 35 36 37 43 47 55 58 60 61 63 65 76 77 85 1 10 17 23 24 27 29 33 36 37 38 44 48 56 59 61 62 64 66 77 78 2 11 18 24 25 28 30 34 37 38 39 45 49 57 60 62 63 65 67 78 79 3 12 19 25 26 29 31 35 38 39 40 46 50 58 61 63 64 66 68 79 80 4 13 20 26 27 30 32 36 39 40 41 47 51 59 62 64 65 67 69 80 81 5 14 21 27 28 31 33 37 40 41 42 48 52 60 63 65 66 68 70 81 82 6 15 22 28 29 32 34 38 41 42 43 49 53 61 64 66 67 69 71 82 83 7 16 23 29 30 33 35 39 42 43 44 50 54 62 65 67 68 70 72 83 84 8 17 24 30 31 34 36 40 43 44 45 51 55 63 66 68 69 71 73 84 85 1 9 18 25 31 32 35 37 41 44 45 46 52 56 64 67 69 70 72 74 85 1 2 10 19 26 32 33 36 38 42 45 46 47 53 57 65 68 70 71 73 75 2 3 11 20 27 33 34 37 39 43 46 47 48 54 58 66 69 71 72 74 76 3 4 12 21 28 34 35 38 40 44 47 48 49 55 59 67 70 72 73 75 77 4 5 13 22 29 35 36 39 41 45 48 49 50 56 60 68 71 73 74 76 78 5 6 14 23 30 36 37 40 42 46 49 50 51 57 61 69 72 74 75 77 79 6 7 15 24 31 37 38 41 43 47 50 51 52 58 62 70 73 75 76 78 80 7 8 16 25 32 38 39 42 44 48 51 52 53 59 63 71 74 76 77 79 81 8 9 17 26 33 39 40 43 45 49 52 53 54 60 64 72 75 77 78 80 82 9 10 18 27 34 40 41 44 46 50 53 54 55 61 65 73 76 78 79 81 83 10 11 19 28 35 41 42 45 47 51 54 55 56 62 66 74 77 79 80 82 84 11 12 20 29 36 42 43 46 48 52 55 56 57 63 67 75 78 80 81 83 85 1 12 13 21 30 37 43 44 47 49 53 56 57 58 64 68 76 79 81 82 84 2 13 14 22 31 38 44 45 48 50 54 57 58 59 65 69 77 80 82 83 85 1 3 14 15 23 32 39 45 46 49 51 55 58 59 60 66 70 78 81 83 84 2 4 15 16 24 33 40 46 47 50 52 56 59 60 61 67 71 79 82 84 85 1 3 5 16 17 25 34 41 47 48 51 53 57 60 61 62 68 72 80 83 85 1 2 4 6 17 18 26 35 42 48 49 52 54 58 61 62 63 69 73 81 84 2 3 5 7 18 19 27 36 43 49 50 53 55 59 62 63 64 70 74 82 85 1 3 4 6 8 19 20 28 37 44 50 51 54 56 60 63 64 65 71 75 83 2 4 5 7 9 20 21 29 38 45 51 52 55 57 61 64 65 66 72 76 84 3 5 6 8 10 21 22 30 39 46 52 53 56 58 62 65 66 67 73 77 85 1 4 6 7 9 11 22 23 31 40 47 53 54 57 59 63 66 67 68 74 78 2 5 7 8 10 12 23 24 32 41 48 54 55 58 60 64 67 68 69 75 79 3 6 8 9 11 13 24 25 33 42 49 55 56 59 61 65 68 69 70 76 80 4 7 9 10 12 14 25 26 34 43 50 56 57 60 62 66 69 70 71 77 81 5 8 10 11 13 15 26 27 35 44 51 57 58 61 63 67 70 71 72 78 82 6 9 11 12 14 16 27 28 36 45 52 58 59 62 64 68 71 72 73 79 83 7 10 12 13 15 17 28 29 37 46 53 59 60 63 65 69 72 73 74 80 84 8 11 13 14 16 18 29 30 38 47 54 60 61 64 66 70 73 74 75 81 85 1 9 12 14 15 17 19 30 31 39 48 55 61 62 65 67 71 74 75 76 82 2 10 13 15 16 18 20 31 32 40 49 56 62 63 66 68 72 75 76 77 83 3 11 14 16 17 19 21 32 33 41 50 57 63 64 67 69 73 76 77 78 84 4 12 15 17 18 20 22 33 34 42 51 58 64 65 68 70 74 77 78 79 85 1 5 13 16 18 19 21 23 34 35 43 52 59 65 66 69 71 75 78 79 80 2 6 14 17 19 20 22 24 35 36 44 53 60 66 67 70 72 76 79 80 81 3 7 15 18 20 21 23 25 36 37 45 54 61 67 68 71 73 77 80 81 82 4 8 16 19 21 22 24 26 37 38 46 55 62 68 69 72 74 78 81 82 83 5 9 17 20 22 23 25 27 38 39 47 56 63 69 70 73 75 79 82 83 84 6 10 18 21 23 24 26 28 39 40 48 57 64 70 71 74 76 80 83 84 85 1 7 11 19 22 24 25 27 29 40 41 49 58 65 71 72 75 77 81 84 85
- Lösung 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 1 2 3 4 5 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 1 2 3 4 5 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 1 2 3 4 5 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 1 6 7 8 9 22 23 24 25 38 39 40 41 54 55 56 57 70 71 72 73 1 6 7 8 9 26 27 28 29 42 43 44 45 58 59 60 61 74 75 76 77 1 6 7 8 9 30 31 32 33 46 47 48 49 62 63 64 65 78 79 80 81 1 6 7 8 9 34 35 36 37 50 51 52 53 66 67 68 69 82 83 84 85 1 10 11 12 13 22 23 24 25 42 43 44 45 62 63 64 65 82 83 84 85 1 10 11 12 13 26 27 28 29 38 39 40 41 66 67 68 69 78 79 80 81 1 10 11 12 13 30 31 32 33 50 51 52 53 54 55 56 57 74 75 76 77 1 10 11 12 13 34 35 36 37 46 47 48 49 58 59 60 61 70 71 72 73 1 14 15 16 17 22 23 24 25 50 51 52 53 58 59 60 61 78 79 80 81 1 14 15 16 17 26 27 28 29 46 47 48 49 54 55 56 57 82 83 84 85 1 14 15 16 17 30 31 32 33 42 43 44 45 66 67 68 69 70 71 72 73 1 14 15 16 17 34 35 36 37 38 39 40 41 62 63 64 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42 47 52 55 60 65 66 70 77 80 83 3 9 12 14 19 23 28 31 34 38 45 48 51 56 59 62 69 73 74 79 84 3 9 12 14 19 24 29 30 35 39 44 49 50 57 58 63 68 72 75 78 85 3 9 12 14 19 25 26 33 36 40 43 46 53 54 61 64 67 71 76 81 82 4 6 12 15 21 22 28 33 35 40 42 49 51 57 59 64 66 71 74 80 85 4 6 12 15 21 23 27 30 36 39 45 46 52 54 60 63 69 72 77 79 82 4 6 12 15 21 24 26 31 37 38 44 47 53 55 61 62 68 73 76 78 83 4 6 12 15 21 25 29 32 34 41 43 48 50 56 58 65 67 70 75 81 84 4 7 13 14 20 22 28 33 35 39 45 46 52 55 61 62 68 70 75 81 84 4 7 13 14 20 23 27 30 36 40 42 49 51 56 58 65 67 73 76 78 83 4 7 13 14 20 24 26 31 37 41 43 48 50 57 59 64 66 72 77 79 82 4 7 13 14 20 25 29 32 34 38 44 47 53 54 60 63 69 71 74 80 85 4 8 10 17 19 22 28 33 35 38 44 47 53 56 58 65 67 72 77 79 82 4 8 10 17 19 23 27 30 36 41 43 48 50 55 61 62 68 71 74 80 85 4 8 10 17 19 24 26 31 37 40 42 49 51 54 60 63 69 70 75 81 84 4 8 10 17 19 25 29 32 34 39 45 46 52 57 59 64 66 73 76 78 83 4 9 11 16 18 22 28 33 35 41 43 48 50 54 60 63 69 73 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26 32 35 38 43 49 52 54 59 65 68 72 74 81 83 5 9 10 15 20 24 27 33 34 39 42 48 53 55 58 64 69 73 75 80 82 5 9 10 15 20 25 28 30 37 40 45 47 50 56 61 63 66 70 76 79 85
Zyklische Darstellung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) für Lösung 1 dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.
- Lösung 1
1 2 8 12 20 23 25 26 28 30 41 42 50 59 66 72 73 76 78 82 85
Oval
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:
- Lösung 1
1 2
- Lösung 2
7 30 53 61
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.