72er-Regel

Exakte Verdopplungszeiten einer Kapitalanlage (gestrichelte Linien) und Näherungen mit der 72er-Regel (kurze Striche mit Zahlen) für verschiedene Zinssätze

Die 72er-Regel ist eine Faustformel aus der Zinsrechnung. Die Regel gibt näherungsweise die Zeit an, in der sich ein zu Zinseszinsen angelegtes Kapital verdoppelt (Verdopplungszeit). Dazu teilt man 72 durch den Zinsfuß, zu dem das Kapitals angelegt wird, daher der Name der Regel.

Die 72er-Regel kann nicht nur auf die Zinsrechnung, sondern auf jede Art exponentiellen Wachstums angewendet werden. Varianten der 72er-Regel sind die 70er-Regel und die 69er-Regel.

Formel

Für die Zeit $t$ (in Jahren), in der sich ein zum (jährlichen) Zinssatz $p\,\%$ (bzw. zum Zinsfuß $p$) angelegtes Kapital verdoppelt, gilt nach der 72er-Regel die Näherung

$t\approx {\frac {72}{p}}$.

Man kann denselben Zusammenhang nutzen, um den Zinsfuß $p$ abzuschätzen, bei dem sich ein Kapital in vorgegebener Zeit $t$ verdoppelt:

$p\approx {\frac {72}{t}}$.

Beispiel

Ein Kapital, das zu 8 % pro Jahr angelegt ist, verdoppelt sich gemäß der 72er-Regel etwa alle

$t\approx {\frac {72}{8}}~{\text{Jahre}}=9~{\text{Jahre}}$.

Ein Kapital verdoppelt sich in einem Zeitraum von $t=12$ Jahren bei einem Zinsfuß von etwa

$p\approx {\frac {72~{\text{Jahre}}}{12~{\text{Jahre}}}}=6$.

Herleitung

Nach der Zinseszinsformel gilt für das Endkapital $K_{t}$ einer festverzinslichen Anlage mit Anfangskapital $K_{0}$ bei einem Zinssatz von $i$ nach einer Laufzeit von $t$ Jahren bei jährlicher Verzinsung

$K_{t}=K_{0}\left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{t}$.

Setzt man nun $K_{t}=2K_{0}$, wendet den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung an und löst nach $t$ auf, ergibt sich die Anzahl der Jahre bis zur Verdopplung als

$t={\frac {\ln(2)}{\ln \left(1+{\frac {p}{100}}\right)}}$.

Für kleine $x>0$ gilt in guter Näherung $\ln(1+x)\approx x$ (siehe Taylor-Reihe). Damit und mit $\ln(2)=0{,}6931\ldots$ erhält man die Näherungsformel

$t\approx {\frac {0{,}6931\ldots }{\frac {p}{100}}}={\frac {69{,}31\ldots }{p}}$.

Nähert man schließlich noch $\ln(2)=0{,}6931\ldots$ durch $0{,}72$, so erhält man die 72er-Regel.

Die Näherung durch $0{,}72$ hat sich in der Praxis bewährt, unter anderem weil die Zahl $72$ viele kleine Teiler aufweist $(72=2^{3}\cdot 3^{2})$.

Varianten

Nähert man hingegen $\ln(2)$ durch $0{,}69$ oder $0{,}70$, so erhält man die Näherungsformeln

$t\approx {\frac {69}{p}}\quad {\text{bzw.}}\quad t\approx {\frac {70}{p}}$,

die in der Literatur 69er-Regel bzw. 70er-Regel genannt werden. Für die 69er-Regel findet sich in der Literatur auch eine Modifikation der Form

$t\approx {\frac {69}{p}}+0{,}35$,

die durch numerische Approximation gefunden wurde. Die Logarithmusfunktion kann damit im Bereich $0<p<35$ mit maximal 0,5-prozentiger Abweichung genähert werden. Wird 0,32 als Wert des Absolutglieds verwendet, betragen die Abweichungen im Bereich $0<p<100$ maximal ein Prozent gegenüber den exakten Verdopplungszeiten.

Für die Herleitung mittels Reihenentwicklung wird die Laurentreihe benötigt (a_-1/x + a₀ + a₁ x + a₂ x² …), speziell die ersten beiden Terme dieser Reihe (n = 2).

Es ergibt sich somit:

$t\approx {\frac {\ln(2)}{\frac {p}{100}}}+{\frac {\ln(2)}{2}}$ mit Zahlenwerten

$t\approx {\frac {69{,}3147}{p}}+0,346574$ bzw. gerundet

$t\approx {\frac {69}{p}}+0,35$.

Genauigkeit

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Relative Genauigkeiten der 72er-Regel sowie ihrer Varianten.

Die folgende Tabelle vergleicht die Abschätzungen gemäß der 72er-, der 70er-, der 69er-Regel und weiteren oben aufgeführten Näherungen mit den tatsächlichen Werten für typische Zinssätze. Eine grafische Darstellung der relativen Genauigkeiten zeigt das Diagramm am rechten Rand.

Zinssatz $i$	Verdopplungs- zeit $t$	72er-Regel	70er-Regel	69er-Regel	Näherung 69/p + 0,35	Näherung 69/p + 0,32
0,25 %	277,605	288,000	280,000	276,000	276,350	276,320
0,5 %	138,976	144,000	140,000	138,000	138,350	138,320
1 %	69,661	72,000	70,000	69,000	69,350	69,320
2 %	35,003	36,000	35,000	34,500	34,850	34,820
3 %	23,450	24,000	23,333	23,000	23,350	23,320
4 %	17,673	18,000	17,500	17,250	17,600	17,570
5 %	14,207	14,400	14,000	13,800	14,150	14,120
6 %	11,896	12,000	11,667	11,500	11,850	11,820
7 %	10,245	10,286	10,000	9,857	10,207	10,177
8 %	9,006	9,000	8,750	8,625	8,975	8,945
9 %	8,043	8,000	7,778	7,667	8,017	7,987
10 %	7,273	7,200	7,000	6,900	7,250	7,220
11 %	6,642	6,545	6,364	6,273	6,623	6,593
12 %	6,116	6,000	5,833	5,750	6,100	6,070
15 %	4,959	4,800	4,667	4,600	4,950	4,920
18 %	4,188	4,000	3,889	3,833	4,183	4,153
20 %	3,802	3,600	3,500	3,450	3,800	3,770
25 %	3,106	2,880	2,800	2,760	3,110	3,080
30 %	2,642	2,400	2,333	2,300	2,650	2,620
40 %	2,060	1,800	1,750	1,725	2,075	2,045
50 %	1,710	1,440	1,400	1,380	1,730	1,700

Geschichte

Eine frühe Erwähnung der 72er-Regel findet sich in Luca Paciolis Summa de arithmetica (Venedig 1494, S. 181). Darin stellt er die Regel im Rahmen einer Diskussion über die Schätzung der Verdopplungszeit einer Investition vor, leitet sie aber nicht her und erklärt sie auch nicht. Dies legt die Vermutung nahe, dass die Regel schon vor Pacioli bekannt war.

Siehe auch

• Zinsrechnung

Literatur

• John J. Spitzer, Sandeep Singh: The rule of 72?. Financial Counseling and Planning 10 [1] (1999).

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Rule of 72. In: MathWorld (englisch).
• Rule of 72. Online-Rechner von moneychimp.com (englisch)