Äschighalijew debütierte im September 2009 in Peking im Shorttrack-Weltcup und belegte dabei den 55. Platz über 1500 m. Anfang Februar 2011 holte er bei den Winter-Asienspielen in Astana die Bronzemedaille mit der Staffel. Bei den Olympischen Winterspielen 2014 in Sotschi errang er den fünften Platz mit der Staffel. Zu Beginn der Saison 2016/17 kam er in Calgary mit dem Platzierungen acht und vier jeweils über 500 m erstmals unter den ersten Zehn im Einzelweltcup. Beim folgenden Weltcup in Salt Lake City holte er über 500 m seinen ersten Weltcupsieg. Zudem wurde er dort Dritter mit der Staffel. Im weiteren Saisonverlauf erreichte er mit fünf Top-Zehn-Platzierungen, darunter Platz drei mit der Staffel und Platz zwei über 500 m in Minsk, den zweiten Platz in Weltcup über 500 m. Bei der Winter-Universiade 2017 in Almaty holte er die Bronzemedaille mit der Staffel[1] und die Silbermedaille über 500 m. Im März 2017 wurde er bei den Shorttrack-Weltmeisterschaften in Rotterdam Sechster mit der Staffel. Bei den Olympischen Winterspielen 2018 in Pyeongchang errang er den neunten Platz über 500 m und den achten Rang mit der Staffel. In der Saison 2018/19 erreichte er mit dem dritten Platz über 500 m in Almaty und dem zweiten Rang über 500 m in Calgary, den achten Platz im Weltcup über 500 m. In der folgenden Saison wurde er in Salt Lake City und in Dordrecht jeweils Dritter über 500 m und belegte damit den dritten Gesamtrang.
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