Akbulut-Korken

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In der Mathematik kommen Akbulut-Korken in der Theorie 4-dimensionaler Mannigfaltigkeiten vor. Insbesondere werden sie bei der Konstruktion exotischer 4-dimensionaler Räume (‘s) verwendet.

Während für topologische 4-Mannigfaltigkeiten der h-Kobordismus-Satz gilt, ist dies für differenzierbare 4-Mannigfaltigkeiten nicht der Fall. Stattdessen gilt aber der folgende Satz von Cynthia L. Curtis, Michael Freedman, Wu-Chung Hsiang, Robert Stong:[1]

In jedem 5-dimensionalen h-Kobordismus zwischen 4-dimensionalen Mannigfaltigkeiten und gibt es kompakte, zusammenziehbare 4-dimensionale Untermannigfaltigkeiten mit Rand und einen in als Untermannigfaltigkeit mit Rand enthaltenen (kompakten und zusammenziehbaren) h-Kobordismus zwischen und , so dass außerhalb von ein trivialer Kobordismus ist, es also einen Diffeomorphismus
gibt. kann so gewählt werden, dass es diffeomorph zur Vollkugel ist, dass einfach zusammenhängend ist und dass es einen Diffeomorphismus gibt, dessen Einschränkung auf den Rand eine Involution ist.

Zwei h-kobordante 4-Mannigfaltigkeiten müssen also nicht diffeomorph sein, man kann aber aus gewinnen durch Ausschneiden einer kompakten, zusammenziehbaren Untermannigfaltigkeit und Wiedereinkleben mittels einer Involution von .

Die 4-Mannigfaltigkeit ist homöomorph, aber nicht diffeomorph zur Vollkugel und wird als ein Akbulut-Korken bezeichnet. Er ist nach Selman Akbulut benannt.[2][3]

Jeder Akbulut-Korken kann in einen exotischen eingebettet werden. Genauer kann man im obigen Satz einen enthaltenden und außerhalb von trivialen, offenen, h-Kobordismus finden, der homöomorph zu ist.

  • A. Scorpan: The wild world of 4-manifolds, Amer. Math. Soc. 2005, ISBN 978-0-8218-3749-8
  • Robert Gompf, Andras Stipsicz: 4-manifolds and Kirby calculus, American Mathematical Society 1999

Einzelnachweise

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  1. Curtis, Freedman, Hsiang, Stong: A decomposition theorem for h-cobordant smooth simply-connected compact 4-manifolds, Inventiones Mathematicae, Band 126, 1996, S. 343–348
  2. S. Akbulut, A Fake compact contractible 4-manifold, Journal of Differential Geometry, Band 33, 1991, S. 335–356
  3. S. Akbulut, An exotic 4-manifold, Journal of Differential Geometry, Band 33, 1991, S. 357–361, Project Euclid