Der Algorithmus von Samuelson-Berkowitz (nach Paul A. Samuelson und S. Berkowitz) ist ein Verfahren, das für beliebige quadratische Eingabematrizen die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von ermittelt, d. h. insbesondere auch die Determinante von . Im Gegensatz etwa zum Algorithmus von Faddejew-Leverrier sind die Voraussetzungen weniger restriktiv: Als Eingabe sind auch Matrizen zulässig, deren Einträge Elemente eines beliebigen kommutativen Rings mit Einselement sind, da das Verfahren völlig ohne Divisionen auskommt.
Wir bezeichnen mit
- die -Einheitsmatrix
- die -Submatrix von bestehend aus den ersten Zeilen und Spalten
- das charakteristische Polynom von , wobei
- der Zeilenvektor mit den Komponenten mit
- der Spaltenvektor mit den Komponenten mit
und betrachten folgende Partitionierung von :
Die grundlegende Idee des Verfahrens besteht darin, das charakteristische Polynom von
rekursiv zu berechnen.
Mit der obigen Notation gilt zunächst
wobei die Adjunkte von bezeichnet (Begründung: Entwicklung nach letzter Zeile mittels Entwicklungssatz von Laplace, vgl.[1]).
Wenn man dies auf die Matrix überträgt, dann erhält man speziell für das charakteristische Polynom von :
Außerdem kann man leicht zeigen, dass sich die Adjunkte in (*) folgendermaßen schreiben lässt (siehe z. B.[1]):
Hierin sind die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von .
Wir erhalten nun die gewünschte rekursive Darstellung für das charakteristische Polynom von (in der Literatur Formel von Samuelson genannt), indem wir die beiden obigen Beziehungen (*) und (**) zusammenfügen:
Um einen effektiven und leichter lesbaren Algorithmus formulieren zu können, transferieren wir nun die Formel von Samuelson in Matrix-Schreibweise.
Dazu ordnen wir einem Polynom vom Grad
den Koeffizientenvektor
sowie die folgende Toeplitz-Matrix (die zugleich eine untere Dreiecksmatrix ist) zu:
Genauer ist also der Eintrag an der Position von gegeben durch
Definiert man nun noch das Polynom durch
dann lässt sich die Formel von Samuelson in der folgenden kompakten Form darstellen (vgl.[2] und [3]):
Durch sukzessives Anwenden dieses Prinzips erhält man folgende zentrale Aussage (siehe [2] und [3]):
Mit , also
gilt:
- Die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von für sind gegeben durch:
- Insbesondere erhalten wir, falls , die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von durch:
Damit kann man nun folgenden Algorithmus formulieren (vgl.[4]):
*
*
Der Algorithmus berechnet nicht nur die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von , sondern
darüber hinaus auch in jedem Schleifendurchlauf für die Untermatrix .
Die grundlegende Idee des Verfahrens wurde zuerst 1942 von Paul A. Samuelson beschrieben und publiziert.[5] Der Algorithmus in der oben präsentierten und heute gebräuchlichen Form geht auf Berkowitz[3] (parallele Version) und Abdeljaoued[2] (Beschreibung als serielles Verfahren) zurück, weswegen man manchmal auch die Bezeichnung Samuelson-Berkowitz-Abdeljaoued-Algorithmus (SBA-Algorithmus) in der Literatur findet.[4]
Da im oben formulierten Verfahren nur endliche Schleifen auftreten, ist klar, dass der Algorithmus terminiert.
Die partielle Korrektheit folgt aus der Formel von Samuelson und der daraus abgeleiteten algebraischen
Top-Level-Formulierung in Matrix-Vektor-Form (s. o., vgl. z. B.[1]). Genauer gesprochen
beruht die Korrektheit auf folgender Schleifeninvariante: Am Ende des -ten Schleifendurchlaufs
enthält der Vektor die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von
(Formulierung als Nachbedingung).
Man kann zeigen[2], dass der Aufwand (Zeitkomplexität) des Algorithmus die Größenordnung hat. Eine genauere Schranke ist gegeben durch die Anzahl der arithmetischen Operationen . Bei der Implementierung des Verfahrens kann man zudem ausnutzen, dass es für die Multiplikation von
Toeplitz-Matrizen effektive Methoden gibt.
Der Algorithmus lässt sich auch sehr gut parallelisieren, genaueres dazu findet man speziell in [3].
Wir betrachten die Matrix
- Wir starten die Rekursion mit den charakteristischen Polynom der Matrix , für das gilt, d. h.
- :
- Wir berechnen nun . Hierzu benötigen wir zunächst die Koeffizienten von :
- :
- Also
- Hieraus resultiert nun die Toeplitz-Matrix
- und damit
- Das charakteristische Polynom von lautet also
- :
- Wir ermitteln die Koeffizienten von :
- :
-
- :
- Also
- und
- Damit erhalten wir
- Das charakteristische Polynom von lautet daher
- :
- Wir ermitteln die Koeffizienten von :
- :
-
- :
-
- :
- Also
- und
- Die finale Matrix-Vektor-Multiplikation liefert nun die Koeffizienten des gesuchten charakteristischen Polynoms der gesamten Matrix :
- Hieraus liest man das gesuchte Endergebnis ab:
- Insbesondere erhält man also für die Determinante von
- J. Abdeljaoued, The Berkowitz algorithm, Maple and computing the characteristic polynomial in an arbitrary commutative ring, MapleTech Vol. 4, No. 3, pp. 21-32, Birkhäuser Boston Basel Berlin, 1997
- Stuart J. Berkowitz: On computing the determinant in small parallel time using a small number of processors, Information Processing Letters, 18, pp. 147-150, 1985, doi:10.1016/0020-0190(84)90018-8
- G. Nakos and Robert M. Williams: A Fast Computation of the Characteristic polynomial, Mathematica in Education and Research, Vol. 9, No. 1, 2000
- Paul A. Samuelson: A method for determining explicitly the characteristic equation, Annals of Mathematical Statistics, 13, pp. 424-429, 1942, doi:10.1214/aoms/1177731540
- Günter Rote: Division-free algorithms for the determinant and the Pfaffian: algebraic and combinatorial approaches , in: Computational Discrete Mathematics, Editor: Helmut Alt, Lecture Notes in Computer Science 2122, Springer-Verlag, 2001, pp. 119-135, Online-Version (PDF; 250 kB)
- Michael Soltys: Berkowitz's Algorithm and Clow Sequences, The Electronic Journal of Linear Algebra (ELA), ISSN 1081-3810, Volume 9, pp. 42-54, April 2002, Online-Version (PDF; 168 kB)
- ↑ a b c Michael Soltys: Berkowitz's Algorithm and Clow Sequences, The Electronic Journal of Linear Algebra (ELA), ISSN 1081-3810, Volume 9, pp. 42-54, April 2002, Online-Version (PDF; 168 kB)
- ↑ a b c d J. Abdeljaoued, The Berkowitz algorithm, Maple and computing the characteristic polynomial in an arbitrary commutative ring, MapleTech Vol. 4, No. 3, pp. 21-32, Birkhäuser Boston Basel Berlin, 1997
- ↑ a b c d Stuart J. Berkowitz: On computing the determinant in small parallel time using a small number of processors, Information Processing Letters, 18, pp. 147-150, 1985, doi:10.1016/0020-0190(84)90018-8
- ↑ a b G. Nakos and Robert M. Williams: A Fast Computation of the Characteristic polynomial, Mathematica in Education and Research, Vol. 9, No. 1, 2000
- ↑ Paul A. Samuelson: A method for determining explicitly the characteristic equation, Annals of Mathematical Statistics, 13, S. 424–429, 1942, doi:10.1214/aoms/1177731540