Angeordnete Gruppe

In der Gruppentheorie, einer Teildisziplin der Mathematik, ist eine angeordnete Gruppe (engl. left-orderable group) eine Gruppe zusammen mit einer totalen Ordnung „$<$“, die mit der durch die Multiplikation gegebenen Linkstranslation verträglich ist. Bekannte Beispiele sind die Gruppen der ganzen und reellen Zahlen.

Definition

Sei $G$ eine Gruppe. Eine links-invariante Anordnung auf $G$ ist eine totale Ordnung, so dass für alle $a,b,c\in G$ gilt:

$a<b\Longleftrightarrow ca<cb$.

Eine angeordnete Gruppe ist eine Gruppe mit einer links-invarianten Ordnung.

Äquivalent kann man eine links-invariante Ordnung charakterisieren durch eine disjunkte Zerlegung

$G=P\cup N\cup \left\{Id\right\}$

mit $P\cdot P\subset P$ und $P^{-1}=N$.

Die Anordnung ergibt sich aus der Zerlegung via

$a<b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in P$.

Beispiele

• $\mathbb {Z}$ und $\mathbb {R}$ sind angeordnete Gruppen.
• Wenn es in einer Gruppe Torsionselemente (d. h. Elemente endlicher Ordnung) gibt, dann kann die Gruppe keine links-invariante Anordnung haben.
• Jede torsionsfreie abelsche Gruppe ist eine angeordnete Gruppe.
• Freie Gruppen sind angeordnet.
• $SL(2,\mathbb {R} )$ und $SL(2,\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{p}}\right])$ besitzen keine links-invariante Anordnung.
• Satz von Dehornoy: Zopfgruppen sind angeordnet.
• Satz von Rourke-Wiest: Abbildungsklassengruppen von Flächen mit nichtleerem Rand sind angeordnet.
• Satz von Boyer-Rolfsen-Wiest: Fundamentalgruppen $\pi _{1}M$ von kompakten, $P^{2}$-irreduziblen 3-Mannigfaltigkeiten $M$ mit $b_{1}(M)>0$ sind angeordnet.
• Wenn $K$ und $H$ angeordnete Gruppen sind und

$0\rightarrow K\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0$

eine kurze exakte Sequenz ist, dann besitzt $G$ eine links-invariante Anordnung, die mit der von $K$ kompatibel ist und für die die Abbildung $G\rightarrow H$ monoton ist.

• Satz von Burns-Hale: Eine Gruppe $G$ besitzt eine links-invariante Anordnung, wenn es zu jeder endlich erzeugten Untergruppe $H\subset G$ einen surjektiven Homomorphismus $\phi :H\rightarrow L_{H}$ auf eine angeordnete Gruppe $L_{H}\not =1$ gibt. Insbesondere besitzt $G$ eine links-invariante Anordnung, wenn für jede endlich erzeugte Untergruppe $H\subset G$ gilt: $H^{1}(H,\mathbb {Z} )\not =0$.
• Die universelle Überlagerung von $SL(2,\mathbb {R} )$ ist eine angeordnete Gruppe, obwohl $H^{1}(H,\mathbb {Z} )=0$ für alle ihre endlich erzeugten Untergruppen $H$ gilt.
• Eine abzählbare Gruppe besitzt eine links-invariante Anordnung dann und nur dann, wenn sie isomorph zu einer Untergruppe von $Homeo^{+}(\mathbb {R} )$, der Gruppe der orientierungs-erhaltenden Homöomorphismen des $\mathbb {R} ^{1}$, ist.
• Satz von Hölder: Eine Gruppe besitzt eine links-invariante archimedische Anordnung dann und nur dann, wenn sie isomorph zu einer Untergruppe von $\mathbb {R}$ ist.

Bi-invariante Anordnungen

Eine rechts-invariante Anordnung auf einer Gruppe $G$ ist eine totale Ordnung, so dass für alle $a,b,c\in G$ gilt:

$a<b\Longleftrightarrow ac<bc$.

Jede angeordnete Gruppe besitzt auch eine rechts-invariante Anordnung, die aber im Allgemeinen nicht mit der links-invarianten Anordnung übereinstimmt.

Eine bi-invariante Anordnung ist eine Anordnung, die gleichzeitig links- und rechts-invariant ist. Zum Beispiel besitzen torsionsfreie abelsche Gruppen oder die reine Zopfgruppe eine bi-invariante Anordnung.

Siehe auch

• Geordnete abelsche Gruppe

Literatur

• Robert G. Burns, V. W. D. Hale: A note on group rings of certain torsion-free groups. In: Canadian Mathematical Bulletin. Bd. 15, Nr. 3, 1972, S. 441–445, doi:10.4153/CMB-1972-080-3.
• Danny Calegari: Circular groups, planar groups, and the Euler class. In: Cameron Gordon, Yoav Rieck (Hrsg.): Proceedings of the Casson Fest (Arkansas and Texas 2003) (= Geometry & Topology Monographs. Bd. 7, ISSN 1464-8989). University of Warwick – Mathematics Institute, Coventry 2004, S. 431–491, doi:10.2140/gtm.2004.7.431.
• Patrick Dehornoy, Ivan Dynnikov, Dale Rolfsen, Bert Wiest: Why are braids orderable? (= Panoramas et Synthèses. Bd. 14). Société Mathématique de France, Paris 2002, ISBN 2-85629-135-X.

Weblinks

• Clay, Rolfsen: Ordered groups and topology
• Deroin, Neves, Rivas: Groups, Orders and Dynamics