Annihilator (Mathematik)

Es gibt zwei Begriffsbildungen der Mathematik, die mit dem Wort Annullator (oder auch Annihilator) bezeichnet werden.

Annullator im Kontext von Formen

Der Annullatorraum ist eine Verallgemeinerung des orthogonalen Komplements auf Vektorräumen, in denen der Dualraum nicht über ein Skalarprodukt mit dem Raum selbst identifiziert werden kann.

Definition

Sei $V$ ein Vektorraum, $V^{*}$ der zugehörige Dualraum und $S$ eine Teilmenge von $V$ . Dann heißt

S^{0}=\lbrace f\in V^{*}\mid f(x)=0{\text{ für alle }}x\in S\rbrace \subseteq V^{*}

der Annullator von $S$ .

Eigenschaften des Annullators

$S^{0}$ ist ein Untervektorraum des Dualraums $V^{*}$ . Deshalb spricht man auch vom Annullatorraum.
$S^{0}=\langle S\rangle ^{0}$ , wobei $\langle S\rangle$ der von $S$ erzeugte Unterraum ist.
Ist $S_{1}\subseteq S_{2}$ , so ist $S_{1}^{0}\supseteq S_{2}^{0}$ .
Ist $V$ endlichdimensional und $U$ ein Unterraum von $V$ , so gilt $\dim U^{0}=\dim V-\dim U$ . In diesem Fall sind $V$ und der Bidualraum $V^{**}$ kanonisch isomorph und es gilt $\left(U^{0}\right)^{0}=U$ , wobei $V$ und $V^{**}$ miteinander identifiziert worden sind.