Disheptaeder

Ein Disheptaeder

Drahtgittermodell eines Disheptaeders

Ein Disheptaeder (auch Antikuboktaeder) ist ein Polyeder, das aus denselben Flächen wie das Kuboktaeder, also denen eines Hexaeders (Kubus) und eines Oktaeders, besteht. In dem Alternativnamen (Anti-Kubooktaeder) stecken entsprechend die Wörter Kubus und Oktaeder. Des Weiteren ist es als Johnson-Körper J₂₇ (Dreiecksdoppelkuppel (verdrehtes Kuboktaeder)) bekannt.

Der Dualkörper des Disheptaeders ist die Voronoi-Zelle einer Kugel in der hexagonal dichtesten Kugelpackung des Typs AB und füllt den Raum als Element einer Parkettierung vollständig, wie auch ihr Gegenstück, das Rhombendodekaeder, das die Voronoi-Zelle für die Kugelpackung Typ ABC und der Dualkörper des Kuboktaeders ist.

Beschreibung

Man erhält ein Disheptaeder aus einem Kuboktaeder durch Schnitt entlang der Ebene, die eine umlaufende Kante zwischen Hexaeder und Oktaederflächen bildet, und anschließende Verdrehung beider Hälften um 180° gegeneinander. Dadurch besitzen im Disheptaeder jeweils 3 Gruppen von je 2 Hexader- und 2 Oktaeder-Flächen eine gemeinsame Kante. Die vorherige Schnittebene wird zu einer Spiegelebene des Körpers.

Mit 14 Flächen (8 gleichseitige Dreiecke und 6 Quadrate), 12 Ecken und 24 Kanten gleicher Länge wird der eulersche Polyedersatz $e+f-k=2$ genau wie beim Kuboktaeder erfüllt.

Formeln

Körpernetz eines Disheptaeders

Größen eines Disheptaeders mit Kantenlänge a
Volumen	$V={\frac {5}{3}}\,a^{3}{\sqrt {2}}$
Oberflächeninhalt	$A_{O}=2a^{2}(3+{\sqrt {3}})$
Umkugelradius	$\,R=a$
Kantenkugelradius	$r={\frac {a}{2}}{\sqrt {3}}$
3D-Kantenwinkel  = 120°	$\cos \,\gamma =-{\frac {1}{2}}$

Vorkommen

Das Disheptaeder findet in der Strukturchemie und Kristallographie als Koordinationspolyeder (z. B. in der hexagonal dichtesten Kugelpackung hcp) Verwendung. Die zugehörige Koordinationszahl ist (genau wie beim Kuboktaeder) 12; der Grenzradienquotient ist ebenfalls 1.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Disheptaeder. In: MathWorld (englisch).
• beuth-hochschule.de (PDF) S. 7