Approximative Pivotstatistik

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Eine approximative Pivotstatistik ist eine Folge von Funktionen in der mathematischen Statistik, die zur Konstruktion von approximativen Konfidenzbereichen verwendet wird. Sie bildet somit das asymptotische Pendant zur Pivotstatistik, welche zur Konstruktion von (nichtapproximativen) Konfidenzbereichen verwendet wird.

Rahmenbedingungen

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Für seien Messräume und Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf . Sei ein weiterer Messraum sowie

die zu schätzende Funktion.

In den meisten Fällen handelt es sich bei den Messräumen und den Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen um -fache Produktmodelle. Typisches Beispiel hierfür wäre und als Wahrscheinlichkeitsmaß ein entsprechendes Produktmaß eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf .

Eine Folge von Statistiken mit

heißt eine approximative Pivotstatistik für , wenn gilt:

  • Es existiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , so dass die Verteilung von für alle gegen konvergiert. Es ist also
für und für alle .
  • Für alle Mengen ist in enthalten.

Die zweite Bedingung garantiert, dass allen Mengen in sinnvoll Wahrscheinlichkeiten durch die Wahrscheinlichkeitsmaße zugeordnet werden können, das heißt die Verteilung von für alle wohldefiniert ist.

Betrachte ein Bernoulli-Produktmodell, also

versehen mit der Bernoulli-Verteilung zum Parameter .

Das -fache Produktmodell ist dann . Geschätzt werden soll der Parameter der Bernoulli-Verteilung, also ist die zu schätzende Funktion

.

Sei die Stichprobenvariable. Die sind unabhängig identisch verteilt und es ist

eine approximative Pivotstatistik, da sie nach dem Satz von Moivre-Laplace gegen die Standardnormalverteilung konvergiert. Es ist also .