Approximative Pivotstatistik
Eine approximative Pivotstatistik ist eine Folge von Funktionen in der mathematischen Statistik, die zur Konstruktion von approximativen Konfidenzbereichen verwendet wird. Sie bildet somit das asymptotische Pendant zur Pivotstatistik, welche zur Konstruktion von (nichtapproximativen) Konfidenzbereichen verwendet wird.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Rahmenbedingungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für seien Messräume und Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf . Sei ein weiterer Messraum sowie
die zu schätzende Funktion.
In den meisten Fällen handelt es sich bei den Messräumen und den Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen um -fache Produktmodelle. Typisches Beispiel hierfür wäre und als Wahrscheinlichkeitsmaß ein entsprechendes Produktmaß eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf .
Formalisierung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine Folge von Statistiken mit
heißt eine approximative Pivotstatistik für , wenn gilt:
- Es existiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf , so dass die Verteilung von für alle gegen konvergiert. Es ist also
- für und für alle .
- Für alle Mengen ist in enthalten.
Die zweite Bedingung garantiert, dass allen Mengen in sinnvoll Wahrscheinlichkeiten durch die Wahrscheinlichkeitsmaße zugeordnet werden können, das heißt die Verteilung von für alle wohldefiniert ist.
Beispiel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Betrachte ein Bernoulli-Produktmodell, also
versehen mit der Bernoulli-Verteilung zum Parameter .
Das -fache Produktmodell ist dann . Geschätzt werden soll der Parameter der Bernoulli-Verteilung, also ist die zu schätzende Funktion
- .
Sei die Stichprobenvariable. Die sind unabhängig identisch verteilt und es ist
eine approximative Pivotstatistik, da sie nach dem Satz von Moivre-Laplace gegen die Standardnormalverteilung konvergiert. Es ist also .
Quellen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 233–236, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
- Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 144–145, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.