Archimedischer Kreis

Zwillingskreise des Archimedes. Der große Halbkreis hat den Durchmesser 1, BC = 1-r, und AB = r = AB/AC

In der Geometrie ist ein Archimedischer Kreis ein mithilfe eines Arbelos konstruierbarer Kreis, der kongruent zu den Zwillingskreisen des Archimedes ist. Normiert man den Arbelos so, dass der Durchmesser des äußeren (größten) Halbkreises 1 beträgt, und bezeichnet den Radius eines der beiden kleineren Halbkreise mit $r$, so ergibt sich für den Radius eines archimedischen Kreises $\rho$

$\rho ={\frac {1}{2}}r\left(1-r\right)$,

Es sind über 60 verschiedene Konstruktionsmöglichkeiten archimedischer Kreise bekannt.

Die ersten Konstruktionen archimedischer Kreise sind die im dem griechischen Mathematiker Archimedes zugeschriebenen Buch der Lemmata konstruierten Zwillingskreise.

Beispiele archimedischer Kreise

Bankoff triplet circle (blau)

Bankoff quadruplet circle (blau)

Schoch-Gerade (cyanfarben) und Schoch-Kreis W15

Schoch-Kreis W15 (hellgrün) und Beispiel eines Woo-Kreises (darüber)

Power-Kreise

Bankoff-Kreise

Der amerikanische Zahnarzt und Mathematiker Leon Bankoff entdeckte in den Jahren 1954 und 1974 die nach ihm benannten Bankoff-Kreise. Da diese nach den archimedischen Zwillingen historisch der dritte und der vierte der archimedischen Kreise waren, werden sie im Englischen auch Bankoff triplet circle (auf Deutsch etwa: „Bankoffs Drillings-Kreis“) und Bankoff quadruplet circle („Bankoffs Vierlings-Kreis“) genannt.

Schoch-Kreise und Schoch-Gerade

1978 entdeckte der Deutsche Thomas Schoch ein Dutzend weiterer archimedischer Kreise, die so genannten Schoch-Kreise, die 1998 publiziert wurden. Zudem konstruierte er die Schoch-Gerade. Diese wird mithilfe zweier weiterer Kreise mit Mittelpunkt $A$ beziehungsweise $B$ ($K_{1}$ und $K_{2}$) und dem größten Halbkreis des Arbelos ($K_{3}$) konstruiert. Tangential zu diesen Bögen wird der Kreis mit Mittelpunkt $A_{1}$ konstruiert. Die Lotgerade durch $A_{1}$ auf $AB$ ist die Schoch-Gerade.

Woo-Kreise

Peter Y. Woo gelang es mithilfe der Schoch-Geraden, eine Familie unendlich vieler archimedischer Kreise zu finden, die so genannten Woo-Kreise. Er zeigte: ist $m$ eine positive reelle Zahl und werden zwei sich in $C$ tangierende Kreise mit Mittelpunkt auf der Grundlinie des Arbelos und dem $m$-fachen Radius der beiden kleineren Arbelos-Kreise konstruiert (in der Abbildung der rote und der blaue Kreis), so ist der tangential zu diesen beiden Kreisen liegende Kreis mit Mittelpunkt auf der Schoch-Geraden kongruent zu den archimedischen Zwillingskreisen, also ein archimedischer Kreis.

Power-Kreise

Im Sommer 1998 präsentierte Frank Power vier weitere archimedische Kreise, die so genannten Power-Kreise, die im Englischen auch als Archimedes’ quadruplets bezeichnet werden. Sie werden folgendermaßen konstruiert: Sind $r_{1}$ und $r_{2}$ die Radien der beiden kleinen Arbelos-Kreise, $D$ der Mittelpunkt des Halbkreises mit Radius $r_{1}$, $E$ der senkrecht zu $AC$ über $D$ auf dem Kreis liegende Punkt, und $H$ der Mittelpunkt der Strecke $AC$, so sind die beiden $HE$ in $E$ tangierenden Kreise, die zudem den äußeren Arbelos-Kreis tangieren, zwei der vier Power-Kreise. Die beiden anderen Power-Kreise werden analog mit dem Halbkreis mit Radius $r_{2}$ konstruiert.