Arithmetisch-geometrisches Mittel

Plot des arithmetisch-geometrischen Mittels $\operatorname {agm} (1,x)$ (in dunkelblau)

In der Mathematik bezeichnet man als arithmetisch-geometrisches Mittel zweier positiver reeller Zahlen eine gewisse Zahl, die zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel liegt.

Definition

Es seien $a$ und $b$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Ausgehend von ihnen werden induktiv zwei Folgen $a_{n}$ und $b_{n}$ mit

$a_{0}=a$

(1a)

$b_{0}=b$

(1b)

definiert:

$a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}$

(2)

(arithmetisches Mittel)

$b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}$

(3)

(geometrisches Mittel)

Die Folgen $a_{n}$ und $b_{n}$ konvergieren gegen einen gemeinsamen Grenzwert $M(a,b)$, der als arithmetisch-geometrisches Mittel von $a$ und $b$ bezeichnet wird.

Dass die beiden Grenzwerte tatsächlich existieren und darüber hinaus sogar noch gleich sind, wird weiter unten in „Wichtige Eigenschaften“ gezeigt.

Einfaches Beispiel

Sei

$a_{0}=4$ und $b_{0}=9$

(4a,b)

Dann ist

$a_{1}={\frac {4+9}{2}}=6{,}5$ und $b_{1}={\sqrt {4\cdot 9}}=6$

(5)

$a_{2}=6{,}25\,$ und $b_{2}\approx 6{,}245\,$

(6)

$a_{3}\approx b_{3}\approx M(a,b)\approx 6{,}2475\,$

(7)

Einfache Eigenschaften

Für zwei nichtnegative Werte $a$ und $b$ gilt:

$M(a,b)=M(b,a)\,$

(10)

$M(ta,tb)=t\cdot M(a,b)$ für $t\geq 0$

(11)

Das heißt, das arithmetisch-geometrische Mittel ist – wie jede Mittelwertfunktion – symmetrisch und homogen vom Grad 1 in seinen beiden Variablen $a$ und $b$.

$\min\{a,b\}\leq {\sqrt {ab}}\leq M(a,b)\leq {\frac {a+b}{2}}\leq \max\{a,b\}$

(12)

Gleichheit gilt dabei genau für $a=b$

$M(a,b)=M\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}}\right)$

(13)

Wichtige Eigenschaften

• Monotonie: Für zwei positive Startwerte $0<b_{0}<a_{0}$ gilt nach der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel stets auch $b_{n}<a_{n}$. Die Folge $b_{0},b_{1},b_{2},\dotsc$ ist also monoton wachsend und durch $a_{0}$ nach oben beschränkt, deshalb konvergiert sie gegen einen Grenzwert $\beta$. Andererseits ist die Folge $a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc$ monoton fallend und nach unten beschränkt, das heißt, sie konvergiert gegen einen Grenzwert $\alpha$. Oder anders geschrieben:

$b_{0}<b_{1}<\dotsb <b_{n}<b_{n+1}<\dotsb <\beta \leq \alpha <\dotsb <a_{n+1}<a_{n}<\dotsb <a_{1}<a_{0}.$

(14)

Geht man nun in der Definitionsgleichung $a_{n+1}=(a_{n}+b_{n})/2$ zum Grenzwert über (das ist erlaubt, weil alle Grenzwerte existieren), dann erhält man $\alpha =(\alpha +\beta )/2$, woraus $\alpha =\beta$ folgt. Somit sind die beiden Grenzwerte gleich und es ist $\alpha =\beta =M(a,b)$ das arithmetisch-geometrische Mittel.

• Konvergenzgeschwindigkeit: Sei

$c_{n}:={\sqrt {{a}_{n}^{2}-{b}_{n}^{2}}}$

(15)

Wegen der Abschätzung

$c_{n+1}={\frac {1}{2}}(a_{n}-b_{n})={\frac {{c}_{n}^{2}}{4{a}_{n+1}}}\leq {\frac {{c}_{n}^{2}}{M(a,b)}}$

(16)

liegt ein Verfahren mit quadratischer Konvergenz vor.

Alternative Darstellung

Man kann beide Folgen auch voneinander "entkoppeln": Sei

$a_{0}=a$, $b_{0}=b$, $a_{1}={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}$ und $b_{1}={\sqrt {a_{0}b_{0}}}$.

(21)

Dann kann man die obigen Gleichungen umformen zu:

$a_{n}={\frac {a_{n-1}\;+{\sqrt {(2a_{n-1}-a_{n-2})\cdot a_{n-2}}}}{2}}$

(22)

$b_{n}={\sqrt {\frac {b_{n-1}\cdot (b_{n-1}^{2}+b_{n-2}^{2})}{2b_{n-2}}}}$

(23)

Historisches

Das arithmetisch-geometrische Mittel wurde unabhängig voneinander von den Mathematikern Carl Friedrich Gauß und zuvor schon von Adrien-Marie Legendre entdeckt. Sie nutzten es, um die Bogenlänge von Ellipsen, also elliptische Integrale, näherungsweise zu berechnen. Gauß etwa notierte zum Zusammenhang zwischen dem arithmetisch-geometrischen Mittel und dem elliptischen Integral 1. Gattung (Bogenlänge einer Lemniskate) die Gleichung

${\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {2}})}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}$

(24)

in sein Mathematisches Tagebuch.

Verfahren von Salamin und Brent

Das nachfolgende Verfahren zur Berechnung der Kreiszahl $\pi$ wurde 1976 unabhängig voneinander von Richard P. Brent und Eugene Salamin publiziert. Es nutzt wesentlich die Erkenntnisse von Gauß über das arithmetisch-geometrische Mittel. Gauß bemerkte zu seiner Zeit allerdings nicht, dass sich damit auch ein schneller Algorithmus zur Berechnung der Zahl $\pi$ konstruieren lässt. Dennoch wird das Verfahren oft auch als Methode von Gauß, Brent und Salamin bezeichnet.

Die Schritte des Verfahrens können folgendermaßen beschrieben werden:

• Initialisierung: Man verwendet als Startwerte

$a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\qquad s_{0}={\frac {1}{2}}\qquad$

(31)

• Schleife: Für

$n=1,2,...$

berechnet man

$a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}}\,$

(32)

$b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}}\,$

(33)

$c_{n}=a_{n}^{2}-b_{n}^{2}\,$

(34)

$s_{n}=s_{n-1}-2^{n}c_{n}\,$

(35)

$p_{n}={\frac {2a_{n}^{2}}{s_{n}}}\,$

(36)

Die Folge der $(p_{n})$ konvergiert quadratisch gegen $\pi$, das heißt, dass mit jedem Durchlaufen der Schleife sich die Zahl der korrekt berechneten Ziffern etwa verdoppelt. Damit konvergiert dieser Algorithmus deutlich schneller gegen $\pi$ als viele klassische Verfahren.

Zahlenbeispiel

Mit den Startwerten

$a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707106781186547\qquad s_{0}={\frac {1}{2}}=0{,}5\qquad$

(37)

berechnet man iterativ:

Index $n$	$a_{n}$	$b_{n}$	$c_{n}$	$s_{n}$	$p_{n}$
$n=0$	1	0,70710 67811 86547		0,5
$n=1$	0,85355 33905 93274	0,84089 64152 53715	0,02144 66094 06726	0,45710 67811 86547	3,18767 26427 12110
$n=2$	0,84722 49029 23494	0,84720 12667 46891	0,00004 00497 56187	0,45694 65821 61801	3,14168 02932 97660
$n=3$	0,84721 30848 35193	0,84721 30847 52765	0,00000 00001 39667	0,45694 65810 44462	3,14159 26538 95460

Nach drei Iterationen erhält man für das arithmetisch-geometrische Mittel den Näherungswert $M(1,1/{\sqrt {2}})\approx a_{3}\approx 0{,}847213084.$

Für die Zahl $\pi$ ergibt sich die Näherung $\pi \approx p_{3}\approx 3{,}141592653.\,$

Beziehung zu elliptischen Integralen

Es gilt:

${\frac {\pi /4}{M(a,b)}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})((a+b)^{2}-(a-b)^{2}t^{2})}}}$

(41)

Die rechte Seite ist ein vollständiges elliptisches Integral erster Art.

Aufgelöst nach $M(a,b)$ entsteht folgender Ausdruck:

$M(a,b)={\frac {\pi }{4}}(a+b)K{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}^{-1}$

(42)

Alternativ kann das arithmetisch-geometrische Mittel auch mit der Jacobischen Thetafunktion dargestellt werden:

$M(a,b)={\frac {1}{2}}(a+b)\vartheta _{00}{\bigl \{}\exp {\bigl [}-\pi K'{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\bigr \}}^{-2}$

(43)

$M(a,b)={\frac {1}{2}}(a+b)\vartheta _{00}{\bigl [}q{\bigl (}{\frac {a-b}{a+b}}{\bigr )}{\bigr ]}^{-2}$

(44)

Somit ist das arithmetisch-geometrische Mittel das Produkt aus dem arithmetischen Mittel und dem Kehrwert des Quadrats von dem Theta-Funktionswert ϑ₀₀ aus dem sogenannten elliptischen Nomen. Das Elliptische Nomen ist der Eulersche Exponentialfunktionswert vom negativen Produkt von der Kreiszahl und dem reellen Halbperiodenverhältnis. Das reelle Halbperiodenverhältnis ist der Quotient des komplementären vollständigen elliptischen Integrals erster Art dividiert durch das zugehörige elliptische Integral erster Art. Die Jacobische Thetafunktion ϑ₀₀(x) ist der Nachfolger vom Doppelten der unendlichen Summe der Potenzen mit x als Basis und den Quadratzahlen ungleich Null als Exponenten.

Literatur

• Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM, A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. John Wiley, New York 1987, ISBN 0-471-31515-X.
• Louis Vessot King: On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals. Cambridge University Press, 1924, archive.org
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0

Weblinks

• David H. Bailey et al. The Quest for Pi (PDF; 119 kB)
• Eric W. Weisstein: Arithmetic-Geometric Mean. In: MathWorld (englisch).