Assoziiertes Primideal

In der kommutativen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein Primideal eines Ringes $R$ assoziiert zu einem Modul $M$ über $R$, wenn es der Annihilator eines Elementes aus $M$ ist.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition

Sei $R$ ein Ring, sei ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ ein Primideal und sei $M$ ein $R$-Modul. Dann heißt ${\mathfrak {p}}$ assoziiert zu $M$, wenn ein $m\in M$ existiert, sodass gilt:

${\mathfrak {p}}=\mathrm {Ann} (m)$.

Es gibt also ein $m$ in $M$, sodass für alle $r$ in $R$ gilt:

$r*m=0\Leftrightarrow r\in {\mathfrak {p}}$

Die Menge der assoziierten Primideale wird mit $\mathrm {Ass} (M)$ bezeichnet.

Sätze

Es gelten folgende Sätze für einen Modul $M$ über einem Ring $R$:

• Ist $U$ ein Untermodul von $M$, so ist

$\mathrm {Ass} (U)\subset \mathrm {Ass} (M)\subset \mathrm {Ass} (U)\cup \mathrm {Ass} (M/U)$

• Ist $M$ nicht der Nullmodul und $R$ noethersch, so ist $\mathrm {Ass} (M)$ nicht leer.
• Ist $R$ noethersch, so ist

$\bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Ass} (M)}{\mathfrak {p}}$

die Menge aller Nullteiler von $M$.

• Ist $M$ endlich erzeugt und $R$ noethersch, so gibt es eine Kette von Untermoduln (eine Kompositionsreihe)

$M=M_{0}\subset M_{1}\subset \dotsc \subset M_{n}=0$

und eine Menge von Primidealen

$\{{\mathfrak {p}}_{i}|0\leq i<n,{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R)\}\supset \mathrm {Ass} (M)$

sodass $M_{i}/M_{i+1}$ isomorph zu $R/p_{i}$ ist. Insbesondere ist in diesem Fall $\mathrm {Ass} (M)$ eine endliche Menge.

• Allgemein: Ist $R$ noethersch und gibt es eine Kompositionsreihe

$M=M_{0}\subset M_{1}\subset \dotsc \subset M_{n}=0$

sodass $M_{i}/M_{i+1}$ isomorph zu $R/{\mathfrak {p}}_{i}$ ist (mit Primidealen ${\mathfrak {p}}_{i}$), so gilt:

$\mathrm {Ass} (M)\subset \{{\mathfrak {p}}_{0},\dotsc ,{\mathfrak {p}}_{n-1}\}\subset \mathrm {Supp} (M)$

Diese drei Mengen besitzen dieselbe minimalen Elemente.

• Daraus folgt insbesondere, dass ein noetherscher Ring nur endlich viele minimale Primideale enthält.

Zusammenhang mit dem Träger

Wenn $R$ ein noetherscher Ring und $M$ ein Modul ungleich dem Nullmodul ist, dann ist der Träger von $M$ die Menge aller Primideale, die Obermenge eines zu $M$ assoziierten Primideals sind.

Literatur

• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969, ISBN 0-2010-0361-9.
• Brüske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut 1989, ISBN 978-3411140411.
• Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-07246-6.
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Matsumura, Hideyuki (1970), Commutative algebra