Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen

Als Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen oder in Kurzform vermittelnde Ausgleichung werden Verfahren der Ausgleichsrechnung bezeichnet, bei der die gesuchten Größen (Unbekannten) nicht direkt gemessen werden können, sondern jede einzelne Beobachtung eine Funktion dieser Unbekannten ist.

Wenn die Anzahl der Beobachtungen n größer ist als die der Unbekannten u, ist das Problem überbestimmt mit der Redundanz n-u, und die unbekannten Parameter werden so bestimmt, dass die Residuenquadratsumme minimal ist.

Es wird für jede Messung eine Beobachtungsgleichung aufgestellt, welche die gesuchten Größen (Unbekannten) als Parameter enthält. Im Allgemeinen ist der funktionale Zusammenhang nichtlinear, so dass eine Näherungslösung bestimmt und die Beobachtungsgleichungen linearisiert werden müssen. Die Bestimmung der Unbekannten erfolgt durch Inversion eines Systems linearer Normalengleichungen, das sich aus der Minimumsbedingung der Residuen ergibt und die Dimension u × u hat. Als Ergebnis erhält man Zuschläge auf die Näherungslösung, mit denen diese verbessert werden kann. Die Schritte der Linearisierung, Lösung der Normalgleichungen und Verbesserung der Näherungswerte werden so oft wiederholt, bis die Zuschläge klein genug im Verhältnis zur Genauigkeit der Parameter sind (Iteration).

Beispiel

Zwischen zwei Punkten P₁, P₂ eines Vermessungsnetzes am Erdellipsoid sollen die Verbesserungsgleichungen für die gemessene Strecken- bzw. Bogenlänge S und die Azimute A₁, A₂ abgeleitet werden. Die geografischen Breiten/Längen der Punkte seien B₁, B₂, L₁, L₂, die Normalkrümmungsradien des Ellipsoids M₁, M₂, N₁, N₂. Die Änderung der Bogenlänge S durch differentielle Koordinatenänderungen dB, dL ist dann (nach B. Heck, Kapitel 8.2)

dS = −cosA₁ M₁ dB₁ − sinA₁ N₁ cosB₁ dL₁ + cosA₂ M₂ dB₂ + sinA₂ N₂ cosB₂ dL₂.

Nennt man die Nord-Süd- bzw. Ost-West-Punktverschiebungen als neue Unbekannte

dx_i = M_i dB_i , dy_i = N_i cosB_i dL_i

und rechnet man aus Näherungskoordinaten von P₁, P₂ die genäherte Bogenlänge S° bzw. das Azimut A°₁, so erhält man die Verbesserungsgleichung der Bogenlänge

v_S = −cosA₁ dx₁ − sinA₁ dy₁ + cosA₂ dx₂ + sinA₂ dy₂ − (S − S°),

worin nunmehr die Differenz S − S° als Beobachtung zu verstehen ist. Analog erhält man die Verbesserungsgleichung für das gemessene Azimut von P₁ nach P₂ zu

v_A1 = (sinA₁ dx₁ − cosA₁ dy₁ − sinA₂ dx₂ + cosA₂ dy₂) / S° − (A₁ − A°₁).

Aus den Koeffizienten der dx, dy der Verbesserungsgleichungen aller Beobachtungen wird anschließend die quadratische Normalgleichungsmatrix gebildet, deren Inversion zuletzt die gesuchten Koordinatenänderungen dx, dy aller Punkte ergibt. Zu den Näherungskoordinaten addiert, folgen die endgültigen Koordinaten der Messpunkte.

Siehe auch

• Methode der kleinsten Quadrate
• Europanetz, Rahmennetz, Triangulation

Literatur

• Rudolf Ludwig: Methoden der Fehler- und Ausgleichsrechnung, Kap.4 (Ausgleichung vermittelnder und bedingter Beobachtungen). Uni-Text, Verlag Vieweg, Braunschweig 1970
• Gerhard Navratil: Ausgleichungsrechnung I, p. 127–130, TU Wien 2006, PDF
• Bernhard Heck: Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung. Wichmann-Verlag, Karlsruhe 1987 und 2003.