Bandknoten

Eine Scheibe mit zwei Bandsingularitäten

In der Mathematik bezeichnet man einen Knoten als Bandknoten, wenn er eine Scheibe berandet, deren Selbstschnitte nur aus Bandsingularitäten bestehen.

Definition

Der Knoten $9_{41}$ in einer Darstellung als Bandknoten

Ein Bandknoten ist ein als Rand einer immersierten Kreisscheibe $f\colon D^{2}\to S^{3}$ eingebetteter Knoten $K=f(S^{1})$, wobei die Immersion der Kreisscheibe die folgende Eigenschaft hat: jede Komponente des Selbstschnitts ist ein Intervall $A\subset f(D^{2})$, für das $f^{-1}(A)$ aus zwei Intervallen in $D^{2}$ besteht, von denen wiederum eines vollständig im Inneren von $D^{2}$ liegt. Die Abbildungen zeigen Beispiele mit zwei bzw. drei Bandsingularitäten.

Slice-Ribbon-Vermutung

Jeder Bandknoten ist ein Scheibenknoten. Eine Vermutung von Ralph Fox besagt, dass auch umgekehrt jeder (glatte) Scheibenknoten ein Bandknoten ist (eine Vermutung von 1961, siehe Literatur).

Literatur

• Ralph Fox: Some problems in knot theory, Topology of 3-manifolds and related topics (Proc. The Univ. of Georgia Institute, 1961), Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, S. 168–176.

Weblinks

• Ribbon Knot (MathWorld)