Baryzentrische Unterteilung

In der Mathematik ist baryzentrische Unterteilung ein Verfahren, um Simplizes (Dreiecke, Tetraeder …) in kleinere Simplizes zu zerlegen.

Baryzentrum

Seien $u_{0},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {R} ^{N}$ Punkte in allgemeiner Lage. Für einen Punkt

$u=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}u_{j}$ mit $\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}=1$

werden die Zahlen $\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{n}$ als baryzentrische Koordinaten von $u$ bezüglich $u_{0},\ldots ,u_{n}$ bezeichnet. (Diese Zerlegung ist eindeutig, wenn die Punkte in allgemeiner Lage sind.)

Für einen $n$-Simplex mit Ecken $u_{0},\ldots ,u_{n}$ bezeichnet man als Baryzentrum den Punkt

$b:={\frac {1}{n+1}}\sum _{j=0}^{n}u_{j}.$

In diesem Punkt sind also alle baryzentrischen Koordinaten gleich ${\frac {1}{n+1}}$.

Zum Beispiel ist das Baryzentrum eines 0-Simplex das 0-Simplex selbst, das Baryzentrum eines 1-Simplex ist der Mittelpunkt der Strecke, das Baryzentrum eines 2-Simplex ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.

Baryzentrische Unterteilung

Baryzentrische Unterteilung eines 3-Simplex

Vier iterierte baryzentrische Unterteilungen eines 2-Simples

Die baryzentrische Unterteilung von Simplizes wird wie folgt definiert. Die baryzentrische Unterteilung eines 0-Simplex ist das 0-Simplex selbst. Wenn die baryzentrische Unterteilung von (n-1)-Simplizes bereits definiert ist, definiert man die baryzentrische Unterteilung eines n-Simplizes als bestehend aus den n-Simplizes, die von dem Baryzentrum des n-Simplexes und den (n-1)-Simplizes in den baryzentrischen Unterteilungen der $n+1$ Randflächen aufgespannt werden.

Die baryzentrische Unterteilung eines 1-Simplex besteht also aus den beiden 1-Simplizes, die vom Mittelpunkt und einem der beiden Eckpunkte der Strecke aufgespannt werden. Die baryzentrische Unterteilung eines 2-Simplex besteht aus den sechs 2-Simplizes, die vom Baryzentrum (dem Schwerpunkt des Dreiecks), einem Seitenmittelpunkt und einem benachbarten Eckpunkt aufgespannt werden.

Die baryzentrische Unterteilung eines n-Simplex besteht aus $(n+1)!$ n-Simplizes. Der Durchmesser jedes dieser Simplizes ist höchstens ${\frac {n}{n+1}}$ mal der Durchmesser des ursprünglichen Simplex.

Als iterierte baryzentrische Unterteilung bezeichnet man die mehrmalige Anwendung der baryzentrischen Unterteilung auf einen Simplizialkomplex.

Anwendungen in der Topologie

• Iterierte baryzentrische Unterteilung wird verwendet im Beweis des simplizialen Approximationssatzes und damit beim Beweis der Äquivalenz von simplizialer und singulärer Homologie.
• Für eine offene Überdeckung eines metrischen Raumes $X$ und eine Homologieklasse $c\in H_{*}(X)$ kann man mittels hinreichend häufiger baryzentrischer Unterteilung eines $c$ repräsentierenden Zyklus beweisen, dass sich $c$ repräsentieren lässt durch einen Zyklus, dessen Simplizes alle in (mindestens) einer der offenen Mengen der Überdeckung enthalten sind. Dies ist ein wesentlicher Schritt im Beweis des Ausschneidungssatzes und der Mayer-Vietoris-Sequenz.

Literatur

• A. Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press 2002, ISBN 0-521-79540-0/pbk