Benutzer:Anjolo/RC-Glied

Berechnung der Ströme und Spannungen bei der Ladung bzw. Entladung des Kondensators

Bezeichnungen ( siehe erstes Bild): $U_{e}$ ist die Eingangsspannung (die beim Ladevorgang konstant und größer als Null, beim Entladevorgang immer gleich Null ist). $U_{R}$ ist die Spannung über dem Widerstand $R$, und $U_{a}(t)$ ist die momentane Spannung über dem Kondensator $C$ und $I(t)$ die momentane Stromstärke, die überall im Kreis dieselbe ist. Das $U_{a}(t)$ aus der Zeichnung wird im Folgenden durchgängig durch $U_{C}(t)$ ersetzt, damit der Bezug zum Kondensator $C$ deutlich bleibt. Außerdem wird stillschweigend vorausgesetzt, das in der Zeichnung der Uhrzeigersinn die positive Stromflussrichtung ist). Die Lösung findet in drei Schritten statt:

1) Herleitung von $I(t)$ allgemein,
2) Herleitung von $U_{C}(t)$ allgemein,

    Anpassung von $I(t)$ und $U_{C}(t)$ an
3a) den Ladevorgang,
3b) den Entladevorgang.

1) Herleitung von ${\boldsymbol {I(t}})$ allgemein
Nach der Kirchhoffschen Maschenregel gilt

$U_{R}+U_{C}=U_{e}$		(Gl. 1)

Aus der Definition der Kapazität $C={\frac {Q}{U}}$, wobei Q die momentane Ladung des Kondensators ist, folgt $U_{C}(t)={\frac {Q(t)}{C}}$. Außerdem gilt nach dem Ohmschen Gesetz $U_{R}=R\cdot I(t).$

Damit wird aus (1):

$R\cdot I(t)+{\frac {Q(t)}{C}}=U_{e}.$

Die Gleichung wird nach der Zeit abgeleitet, wobei zu beachten ist, dass $U_{e}$ konstant, also ${\frac {\mathrm {d} U_{e}}{\mathrm {d} t}}=0$  ist.

$R\cdot {\frac {\mathrm {d} I(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} Q(t)}{C\cdot \mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} U_{e}}{\mathrm {d} t}}=0$

Mit $\mathrm {d} Q(t)=I(t)\cdot \mathrm {d} t$ (die Änderung der Ladung ist das Produkt aus Stromstärke und Zeitintervall) erhält man:

$R\cdot {\frac {\mathrm {d} I(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {I(t)\cdot \mathrm {d} t}{C\cdot \mathrm {d} t}}=0.$

Das lässt sich gegen $\mathrm {d} t$ kürzen und zum Schluss noch durch $R$ teilen:

${\frac {\mathrm {d} I(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {I(t)}{R\cdot C}}=0.$		(Gl. 2)

Das ist eine homogene, lineare gewöhnliche Differentialgleichung (DGL) mit konstanten Koeffizienten, welche durch die Exponentialfunktion

$I(t)=A\cdot \mathrm {e} ^{\lambda t}$		(Gl. 3)

gelöst wird. Darin sind die Konstanten $A$ und $\lambda$ noch unbestimmt. $\lambda$ ist eine für die Schaltung typische Größe und kann gleich berechnet werden, $A$ kann erst später bestimmt werden, weil es von den Anfangsbedingungen abhängt, die für den Lade- und Entladevorgang unterschiedlich sind.

Bestimmung von $\lambda$

(Gl. 3) wird nach der Zeit abgeleitet: ${\frac {\mathrm {d} I(t)}{\mathrm {d} t}}=A\cdot \lambda \cdot \mathrm {e} ^{\lambda t}$ und zusammen mit $I(t)$ aus (Gl. 3) in (GL. 2) eingesetzt:

$A\cdot \lambda \cdot \mathrm {e} ^{\lambda t}+{\frac {A\cdot \mathrm {e} ^{\lambda t}}{RC}}=0.$

Weil $A$ und $\mathrm {e} ^{\lambda t}$ beide ungleich Null sind, kann man gegen $A\cdot \mathrm {e} ^{\lambda t}$ kürzen: $\lambda +{\frac {1}{RC}}=0$

und erhält

$\lambda =-{\frac {1}{RC}}.$

Das wird in (Gl. 3) eingesetzt und ergibt die allgemeine Lösung der Diffentialgleichung (Gl. 2):

$I(t)=A\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{RC}}}.$		(Gl.4)

Das ist die allgemeine Gleichung für den Stromverlauf. Der Parameter A wird später aus den jeweiligen Anfangsbedingungen für den Lade- bzw. Entlade-Vorgang bestimmt.

2) Herleitung von ${\boldsymbol {U_{C}}}$ allgemein
Nach dem Ohmschen Gesetz ist $U_{R}=R\cdot I(t)$ und mit (Gl. 4) ergibt sich daraus

$U_{R}=R\cdot A\cdot \mathrm {e} ^{\frac {t}{RC}}.$		(Gl. 5)

Nach (Gl. 1) ist $U_{C}=U_{e}-U_{R}.$ Setzt man hier das $U_{R}$ ein, erhält man:

$U_{C}(t)=U_{e}-R\cdot A\cdot \mathrm {e} ^{\frac {t}{RC}}.$		(Gl. 6)

Das ist die allgemeine Gleichung für den Spannungsverlauf am Kondensator.

3 a) Ladevorgang
Der Kondensator ist anfangs völlig entladen, $U_{C}(0)=0.$ Nach (Gl. 1) ist $U_{e}=U_{R}(0)+U_{C}(0)=U_{R}(0).$

Aus (Gl. 5) gewinnt man so

$U_{e}=U_{R}(0)=R\cdot A\cdot \mathrm {e} ^{\frac {0}{RC}}=R\cdot A$

und damit $A={\frac {U_{e}}{R}}.$

$A$ wird erst in (Gl. 4) eingesetzt

$I(t)=A\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{RC}}}=I(t)={\frac {U_{e}}{R}}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{RC}}}.$

und man erhält die Gleichung für den Stromverlauf bei dem Ladevorgang.

Zum Zweiten wird $A$ auch in (Gl. 6) eingesetzt

$U_{C}(t)=U_{e}-R\cdot {\frac {U_{e}}{R}}\cdot \mathrm {e} ^{\frac {t}{RC}},$

wo man noch gegen $R$ kürzt und $U_{e}$ vorklammert und so die Gleichung für den Spannungsverlauf am Kondensator beim Ladevorgang erhält:

$U_{C}(t)=U_{e}\cdot \left(1-\mathrm {e} ^{\frac {t}{RC}}\right).$

3 a) Entladung

Der Kondensator ist zuerst auf eine Anfangsspannung $U_{a}$ aufgeladen, d. h. $U_{C}(0)=U_{a},$ und zum Zeitpunkt $t=0$ fällt die Eingangsspannung auf Null. Nach (Gl. 1) ist jetzt $U_{R}+U_{C}=0,$ also $U_{R}=-U_{C}.$

Mit $U_{C}(0)=U_{a}$ und nach dem ohmschen Gesetz ist

$I(0)={\frac {U_{R}(0)}{R}}=-{\frac {U_{C}(0)}{R}}=-{\frac {U_{a}}{R}}.$

Andererseits ist nach (Gl. 4):

$I(0)=A\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {0}{RC}}}=A$

und aus den beiden letzten Gleichungen folgt $A=-{\frac {U_{a}}{R}}.$

Dies setzt man in (Gl. 4) ein und erhält die Gleichung für den Stromverlauf bei der Entladung:

$I(t)=-{\frac {U_{a}}{R}}\cdot \mathrm {e} ^{\frac {t}{RC}}.$

Das negative Vorzeichen rührt daher, dass schon zu Anfang dieser Herleitung der Uhrzeigersinn als die positive Stromflussrichtung voraus gesetzt wurde. Bei der Entladung fließt der Strom aber gegen den Uhrzeigersinn, also in negative Richtung.

$A$ wird auch in (Gl. 6) eingesetzt, wobei $U_{e}=0$ zu beachten ist) und man erhält die Gleichung für den Spannungsverlauf am Kondensator bei der Entladung:

$U_{C}(t)=U_{a}\cdot \mathrm {e} ^{\frac {t}{RC}}.=$