Benutzer:Antonsusi/Schriftliche Multiplikation

Dieser Artikel ist im Entstehen und noch nicht Bestandteil der freien Enzyklopädie Wikipedia.

Solltest du über eine Suchmaschine darauf gestoßen sein, bedenke, dass der Text noch unvollständig sein und Fehler oder ungeprüfte Aussagen enthalten kann. Wenn du Fragen zum Thema hast, nimm Kontakt mit dem Autor Antonsusi auf.

Schriftliche Multiplikation ist ein Rechenverfahren (Algorithmus), mithilfe dessen eine Multiplikation zweier mehrstelliger Zahlen durch eine schriftliche Darstellung ausgeführt werden kann. Im Folgenden wird das Verfahren für natürliche Zahlen beschrieben. Die Erweiterung auf reelle Zahlen mit endlicher Anzahl an Dezimalstellen erfolgt anschließend.

Vorbetrachtung

Eine natürliche n-stellige Zahl a mit der Ziffernfolge

$a_{n-1}a_{n-2}\dotsb a_{1}a_{0}$

lässt sich als Summe einstelliger Vielfacher von Zehnerpotenzen darstellen:

$a_{n-1}a_{n-2}a_{n-3}\dotsb a_{1}a_{0}=a_{n-1}\cdot 10^{n-1}+a_{n-2}\cdot 10^{n-2}\dotsb a_{1}\cdot 10^{1}+a_{0}\cdot 10^{0}$

$a=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}\cdot 10^{i}$

Die Multiplikation einer n-stelligen Zahl a mit einer m-stelligen Zahl b entspricht also der Multiplikation

$(a_{n-1}\cdot 10^{n-1}+a_{n-2}\cdot 10^{n-2}\dotsb a_{1}\cdot 10^{1}+a_{0}\cdot 10^{0})\cdot (b_{m-1}\cdot 10^{m-1}+b_{m-2}\cdot 10^{m-2}\dotsb b_{1}\cdot 10^{1}+b_{0}\cdot 10^{0})$

$a\cdot b=\left(\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}\cdot 10^{i}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{m-1}b_{k}\cdot 10^{k}\right)$

Fasst man die Produkte der Ziffern mit ihrem Stellenwert als Elemente zweier Vektoren auf, so kann man die Multiplikation als Summe der Elemente des dyadisches Produkts der Vektoren zu einer Matrix auffassen:

${\begin{pmatrix}a_{n-1}\cdot 10^{n-1}\\a_{n-2}\cdot 10^{n-2}\\\dotsb \\a_{1}\cdot 10^{1}\\a_{0}\cdot 10^{0}\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}b_{m-1}\cdot 10^{m-1}\\b_{m-2}\cdot 10^{m-2}\\\dotsb \\b_{1}\cdot 10^{1}\\b_{0}\cdot 10^{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{a_{n-1}b_{m-1}\cdot 10^{n+m-2}}&{a_{n-1}b_{m-2}\cdot 10^{n+m-3}}&\dotsb &{a_{n-1}b_{1}\cdot 10^{n-2}}&{a_{n-1}b_{0}\cdot 10^{n-1}}\\a_{n-2}b_{m-1}\cdot 10^{n+m-3}&a_{n-2}b_{m-2}\cdot 10^{n+m-4}&\dotsb &a_{n-2}b_{1}\cdot 10^{n-3}&a_{n-2}b_{0}\cdot 10^{n-2}\\\dotsb &\dotsb &\dotsb &\dotsb &\dotsb \\a_{1}b_{m-1}\cdot 10^{m}&a_{1}b_{m-2}\cdot 10^{m-2}&\dotsb &a_{1}b_{1}\cdot 10^{2}&a_{1}b_{0}\cdot 10^{1}\\a_{0}b_{m-1}\cdot 10^{m-1}&a_{0}b_{m-2}\cdot 10^{m-2}&\dotsb &a_{0}b_{1}\cdot 10^{1}&a_{0}b_{0}\cdot 10^{0}\end{pmatrix}}$

Hierbei sind alle Elemente das Produkt aus einem kleinen Einmaleins-Ergebnisses und einer Zehnerpotenz. Die Summe aller Elemente ergibt dann das Produkt der beiden Zahlen.

Verfahren

Das allgemein übliche Verfahren besteht nun darin, diese Matrixelemente alle zu errechnen und dabei auch zeilenweise zu addieren. Diese Zeilensummen werden notiert und dann schriftlich addiert, sodass man das Gesamtergebnis erhält. Man zerteilt die Multiplikation einer mehrstelligen Zahl mit einer zweiten, mehrstelligen Zahl also in mehrere Multiplikationen der ersten Zahl mit einer einstelligen Zahl, multipliziert mit dem Stellenwert der ziffer des Multiplikators durch ergänzen der erforderlichen Anzahl an Nullen und addiert dann.

Die Ergebnisse der Zeilen sind:

$(a_{n-1}\cdot 10^{n-1}+a_{n-2}\cdot 10^{n-2}\dotsb a_{1}\cdot 10^{1}+a_{0}\cdot 10^{0})\cdot (b_{m-1}\cdot 10^{m-1})$

$(a_{n-1}\cdot 10^{n-1}+a_{n-2}\cdot 10^{n-2}\dotsb a_{1}\cdot 10^{1}+a_{0}\cdot 10^{0})\cdot (b_{m-2}\cdot 10^{m-2})$

$\dotsb$

$(a_{n-1}\cdot 10^{n-1}+a_{n-2}\cdot 10^{n-2}\dotsb a_{1}\cdot 10^{1}+a_{0}\cdot 10^{0})\cdot (b_{1}\cdot 10^{1})$

$(a_{n-1}\cdot 10^{n-1}+a_{n-2}\cdot 10^{n-2}\dotsb a_{1}\cdot 10^{1}+a_{0}\cdot 10^{0})\cdot (b_{0}\cdot 10^{0})$

Beispiel

Als Beispiel nehmen wir die Zahlen $a=8642$ und $b=9731$. Dann ergibt das die Teilschritte

$(8\cdot 10^{3}+6\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0})\cdot (9\cdot 10^{3})$

$(8\cdot 10^{3}+6\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0})\cdot (7\cdot 10^{2})$

$(8\cdot 10^{3}+6\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0})\cdot (3\cdot 10^{1})$

$(8\cdot 10^{3}+6\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0})\cdot (1\cdot 10^{0})$

also

$(8000+600+40+2)\cdot 9000$

$(8000+600+40+2)\cdot 700$

$(8000+600+40+2)\cdot 30$

$(8000+600+40+2)\cdot 1$

Mit Hilfe einer versetzten Platzierung der Werte auf bevorzugt kariertem Papier kann man das Notieren der Zehnerpotenzen (in den Grafiken rot dargestellt) einsparen. Unter Verwendung des kleinen Einmaleins und Addition erhält man für die Zeilen:

Das ganze Schema mit verkürzter Notation der Zeilen ist dann:

Damit ist die Multiplikation vollständig durchgeführt.

Dezimalstellen und Vorzeichen

Hat mind. ein Faktor Nachkommastellen, so wird die Multiplikation zunächst so durchgeführt, als ob es ganze Zahlen sind. Danach muss man das Komma so setzen, dass das die anzahl der Nachkommastellen des Ergebnises der Summe der Anzahl an Nachkommastellen der Faktoren entspricht.

Hat mind. ein Faktor ein negatives Vorzeichen, so multipliziert man zuerst die Beträge und bestimmt danach das Vorzeichen mit Hilfe der Vorzeichenregeln.