Benutzer:Blaues-Monsterle/Zur Heisenbergschen Unschärferelation

Beispiel: freies Teilchen

Als Beispiel, wie sich in der Wellenmechanik Ort und Impuls als nicht gleichzeitig beliebig genau messbare Größen manifestieren, sei ein freies Teilchens in einem Impulseigenzustand $|p\rangle$ im Ortsraum betrachtet. Aus der Darstellung des Impulsoperators im Ortsraum ${\hat {p}}=-\mathrm {i} \hbar \partial _{x}$ folgt für dessen Eigenzustände die Wellenfunktion

$\langle x|p\rangle \sim e^{-\mathrm {i} kx}$ mit $\langle x|{\hat {p}}|p\rangle \sim \hbar ke^{-\mathrm {i} kx}$

mit scharf definiertem Impuls $p=\hbar k$. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens in einem solchen Zustand ist

$\left|\langle x|p\rangle \right|^{2}\sim 1$,

also konstant. Wo man das Teilchen bei einer Ortsmessung antreffen wird, ist rein zufällig. Andererseits, nachdem der Ort bestimmt wurde, und sich das Teilchen in einem Ortseigenzustand $|x'\rangle$ befindet, lautet dessen Wellenfunktion

$\langle x|x'\rangle \sim \delta (x-x')\sim \int {\frac {\mathrm {d} k}{2\pi }}e^{-\mathrm {i} k(x-x')}$.

Durch die Fourier-Darstellung der Delta-Distribution wird deutlich, dass jeder mögliche Impulseigenzustand zu gleichen Anteilen in der Wellenfunktion beiträgt und eine nachfolgende Impulsmessung daher ebenfalls einen rein zufälligen Wert ausgibt.