Benutzer:Bleckneuhaus/Elektronenspin

Dieser Artikel ist im Entstehen und noch nicht Bestandteil der freien Enzyklopädie Wikipedia.

Solltest du über eine Suchmaschine darauf gestoßen sein, bedenke, dass der Text noch unvollständig sein und Fehler oder ungeprüfte Aussagen enthalten kann. Wenn du Fragen zum Thema hast, nimm Kontakt mit dem Autor Bleckneuhaus auf.

Spin (von englisch spin ‚Drehung‘, ‚Drall‘) ist eine quantenmechanische Eigenschaft von Teilchen. An Elektronen wurde er 1924 erstmals entdeckt, danach auch an allen anderen Teilchenarten. Der Spin hat alle Eigenschaften eines klassischen mechanischen Drehimpulses, ausgenommen die, dass durch die Drehbewegung einer Masse hervorgerufen wird. Für jedes Elektron hat der Spin einen unveränderlichen Betrag, der durch die Spin-Quantenzahl s=1/2 angegeben wird. Selbst wenn das Elektron mit kinetischer Energie Null ruht, hat es seinen Spin, der deshalb auch als Eigendrehimpuls bezeichnet wird. Wie oder wodurch der Spin zustande kommt, bleibt in der klassischen Physik unerklärbar. Anschauliche oder semi-klassische Beschreibungen sind daher unvollständig.

Der Spin ist als feste Eigenschaft der elementaren Teilchen von fundamentaler Bedeutung für das physikalische Weltbild. Der Spin der Elektronen spielt beim Aufbau der Atomhülle und damit für die Materie bis hin zur Festlegung ihrer makroskopischen Eigenschaften eine bestimmende Rolle.

Zu weiteren grundlegenden Eigenschaften des Spins siehe Hauptartikel Spin. Der vorliegende Artikel konzentriert sich auf den Elektronenspin und die Besonderheiten, die mit seiner Quantenzahl 1/2 verknüpft sind.

Entdeckung und Rezeption des Spins

Ungelöste Probleme

Nachdem die Bewegung der Elektronen im Atom als maßgeblich für die Emission von Lichtwellen mit wohlbestimmten Frequenzen (Spektrallinien) erkannt worden war (überzeugend z. B. im bohrschen Atommodell 1913), stellte die schon lange beobachtete feine Aufspaltung vieler Linien ein weiterhin ungelöstes Problem dar. Zwar konnte eine zusätzliche Aufspaltung durch Anlegen eines starken Magnetfelds (Zeeman-Effekt, schon 1897 gefunden) im Prinzip durch eine magnetische Beeinflussung der Elektronenbewegung auf ihren stabilen Bahnen erklärt werden.

Grundlage der Erklärung ist das Larmor-Theorem: Es sagt Präzession der ganzen Bahnkurve um die Magnetfeldachse voraus, Kreisfrequenz $\omega _{Larmor}=e/mc\;B$; darin e und m Ladung und Masse des Elektrons, c Lichtgeschwindigkeit, B Magnetfeld.

Die Erklärung passte aber nur zu den Fällen, wo diese Aufspaltung dreifach war (daher „normaler Zeemann-Effekt“ genannt). Im bohr-sommerfeldschen Atommodell von 1916 konnten höhere magnetische Aufspaltungen, wenn sie ungeradzahlig waren, durch die Richtungsquantelung des Bahndrehimpulses der Elektronenniveaus erklärt werden:

Für eine Bahndrehimpuls-Quantenzahl $\,l$ stehen genau $\,(2l+1)$ verschiedene Neigungswinkel des Drehimpulses zur Richtung des Magnetfelds zur Verfügung, jede mit einer um $\,m_{l}\hbar \omega _{Larmor}$ verschobenen Energie (darin $\,\hbar$ das durch 2π dividierte plancksche Wirkungsquantum, $\,m_{l}$ die magnetische Quantenzahl mit ihren $\,(2l+1)$ verschiedenen möglichen Werten von $\,m=-l$ bis $\,m=+l$). Da $\,l$ nur ganzzahlig sein kann, ergibt sich eine stets ungerade Zahl für die Niveauaufspaltung.

Sommerfelds Modell konnte auch feine Aufspaltungen erklären, die nicht von einem Magnetfeld verursacht waren, weil es die Elektronenenergie bei gleicher Hauptquantenzahl aufgrund relativistischer Effekte auch etwas von $\,l$ abhängig macht. Unerklärt blieben aber die häufigen geradzahligen magnetischen Aufspaltungen in zwei oder mehr Niveaus, sowie die zweifache Aufspaltung eines Niveaus mit nur einem Wert $\,l$ schon ganz ohne Magnetfeld (z.B. bei der intensiven gelben Spektrallinie von Natrium, an der auch Zeeman erstmals den magnetischen Effekt hatte nachweisen können).

Einführung des Elektronenspins

Zur Lösung dieses Rätsels schlugen Samuel Goudsmith und George Uhlenbeck 1925 vor, dem Elektron einen zusätzlichen Eigendrehimpuls Spin zuzuschreiben. Er musste eine halbzahlige Drehimpulsquantenzahl $\,s={\tfrac {1}{2}}$ haben, damit die magnetische Spinquantenzahl auf zwei mögliche Werte $\,m_{s}=\pm {\tfrac {1}{2}}$ beschränkt blieb und sich somit eine zweifache oder, zusammen mit einem Bahndrehimpuls $\,l\geq 1$, eine höhere geradzahlige Aufspaltung ergab.

Zur Rezeption dieser gewagten Idee ist anzumerken, dass ihre beiden Urheber sogleich wieder zurückschraken und die schon vorbereitete Veröffentlichung noch einmal zu verhindern versuchten. Ihr Institutschef Paul Ehrenfest untersagte es ihnen aber mit der Begründung: „Sie sind beide jung genug, um sich eine Dummheit leisten zu können.“ Physikalisch gewichtige Gegenargumente waren damals:

• Damit das Elektron diesen Eigendrehimpuls durch eine schnelle Rotation um seinen Mittelpunkt entstehen lassen könnte, müsste es entweder einen unmöglich großen Radius haben oder sich am „Äquator“ mit einem Vielfachen der Lichtgeschwindigkeit bewegen.
• Der Einfluss der magnetischen Spinquantenzahl $\,m_{s}$ auf die Niveauaufspaltung muss genau doppelt so groß angesetzt werden wie der Einfluss der magnetischen Bahndrehimpulsquantenzahl $\,m_{l}$, unvereinbar mit dem gut fundierten Larmor-Theorem.

Deshalb widersprach zunächst auch Wolfgang Pauli der Idee des Eigendrehimpulses mit halbzahligem Wert, obwohl er schon im Jahr zuvor dem Elektron zusätzlich zu den drei räumlichen Quantenzahlen eine innere zweiwertige Quantenzahl zugeschrieben hatte, um die Systematik der Spektren und den Schalenaufbau der Atomhülle zu erklären und sein paulisches Ausschließungsprinzip formulieren zu können. Doch 1927 begründete er den heute noch gültigen Umgang mit dem halbzahligen Elektronenspin in der (nichtrelativistischen) Quantenmechanik.

Anomales magnetisches Moment des Elektrons

Anomaler Spin-g-Faktor des Elektrons

Alle Teilchen, die elektrische Ladung und einen Drehimpuls besitzen, haben ein magnetisches (Dipol-)Moment, oft veranschaulicht als ein kleiner Stabmagnet parallel zur Rotationsachse. Genau deswegen werden die Energieniveaus durch ein Magnetfeld beeinflusst (Zeeman-Effekt). Die klassische Physik macht zum Verhältnis zwischen der Größe des Drehimpulses und des magnetischen Moments eine eindeutige Aussage, die auch für den Bahndrehimpuls der Elektronen in der Atomhülle richtig ist. Zum Elektronenspin gehört aber ein (fast genau, s.u.) doppelt großes magnetisches Moment. Diese Korrektur wird mittels einer g-Faktor genannten Zahl berücksichtigt. Für Bahndrehimpuls gilt der klassische Wert $g_{l}=1$, für den Spin des Elektrons $g_{s}=2$. Entdeckt wurde dieser anomale g-Faktor des Spins an den Elektronen mittels der Analyse des Zeeman-Effekts.

Elektronenspin und magnetische Materialien

Die mit dem Elektronenspin verbundenen magnetischen Dipole machen sich makroskopisch direkt bemerkbar in Gestalt des permanenten Magnetismus aller magnetischen Werkstoffe. Diese Werkstoffe enthalten Atome der Elemente um Eisen oder der seltenen Erden mit etwa halb gefüllten inneren Schalen (3d- bzw. 4f-Schale). Die energetisch bevorzugte Konfiguration der Elektronen darin zeigt Parallelstellung aller Spins, während alle weiteren Drehimpulse sich zu Null addieren. Makroskopisch bemerkbarer (permanenter) Magnetismus tritt bei den Materialien ein, bei denen zusätzlich gilt, dass auch benachbarte Atome die parallele Ausrichtung ihrer magnetischen Momente energetisch bevorzugen. Der Ferromagnetismus erscheint deshalb mit dem anomalen Wert $g_{s}=2$. Nachweisen lässt sich das durch den Einstein-de-Haas-Effekt, bei dem ein erst ruhender Eisenstab in Rotation gerät, wenn seine Magnetisierung umgepolt wird, also alle Spins umklappen. Hier muss zur Erhaltung des anfänglichen Gesamtdrehimpulses Null das Umklappen der Spins durch einen entgegengesetzten makroskopischen Drehimpuls des Stabes kompensiert werden. Das Experiment ist nicht einfach und ergab in den ersten Jahren vermeintlich die Bestätigung des damals erwarteten klassischen Werts $g_{l}=1$. Erst nach der Entdeckung des anomalen magnetischen Moments des Elektrons mithilfe des Zeeman-Effekts pendelten sich die Messergebnisse aus dem Einstein-de-Haas-Effekt auch bei $g_{s}=2$ ein.

Wichtige Experimente zum magnetischen Moment des Elektrons

Das magnetische Moment des Elektronenspins ermöglichte im Stern-Gerlach-Versuch den ersten direkten Nachweis der Richtungsquantelung. Die Effekte der magnetischen Elektronenspinresonanz werden zur detaillierten Untersuchung von paramagnetischen Stoffen genutzt.

Folgen für die Entwicklung der Teorie

Der Spin $s={\tfrac {1}{2}}$ und der anomale g-Faktor $g_{s}=2$ wurden 1928 von der Dirac-Theorie des Elektrons (s.u.) ohne weitere Annahme vorhergesagt, was diese Theorie schnell berühmt machte. Eine 1946 gefundene kleine Abweichung des Elektron-g-Faktors vom Wert $g_{s}=2$ wurde durch den in der Theorie der Quantenelektrodynamik möglichen Effekt der Vakuumpolarisation theoretisch vorhergesagt. Die Abweichung beträgt nur 1‰, ist aber heute bis auf 10 Dezimalstellen genau gemessen worden, um erst diese Theorie und dann das volle Standardmodell zu testen. Noch ist keine signifikante Abweichung gefunden worden.

Spinoperator für Spin 1/2

Der Operator für den Spin ${\hat {\vec {s}}}=({\hat {s}}_{x},\,{\hat {s}}_{y},\,{\hat {s}}_{z})$ hat drei Komponenten, die jede für sich genau zwei Eigenwerte $\pm {\tfrac {\hbar }{2}}$ besitzen. Da die drei Komponenten dieselben Vertauschungsrelationen wie bei jedem Drehimpulsoperator erfüllen, existieren aber keine gemeinsamen Eigenzustände. Wählt man (wie üblich) die Ausrichtung längs der z-Achse, dann werden die beiden Eigenzustände zu ${\hat {s}}_{z}$ mit den Eigenwerten $m_{s}=\pm {\tfrac {\hbar }{2}}$ als „parallel“ bzw. „antiparallel“ zur z-Achse bezeichnet. ${\hat {s}}_{x}$ und ${\hat {s}}_{y}$ haben dann die Erwartungswerte Null.

Über die allgemeinen Eigenschaften des quantenmechanischen Drehimpulses hinaus gibt es beim Spin ${\tfrac {1}{2}}$ zusätzlich besondere Eigenschaften. Sie beruhen darauf, dass ${\hat {s}}_{z}$ nur zwei Eigenwerte besitzt. Daher ergibt die doppelte Anwendung des Auf- oder Absteigeoperators ${\hat {s}}_{\pm }={\hat {s}}_{x}\pm i{\hat {s}}_{y}$ stets Null: ${\hat {s}}_{\pm }^{2}=0$.

Zur Vereinfachung der Formeln wurden durch

${\hat {s}}_{i}={\tfrac {\hbar }{2}}{\hat {\sigma }}_{i}$ (für $i=x,\,y,\,z$)

die drei Paulischen Spinoperatoren eingeführt. Aus ${\hat {s}}_{\pm }^{2}=0$ folgt dann (für $i,j=x,y,z;\ \ i\neq j$)

${\hat {\sigma }}_{i}^{2}=1\ ,\quad {\hat {\sigma }}_{j}{\hat {\sigma }}_{i}=-{\hat {\sigma }}_{i}{\hat {\sigma }}_{j}\;,\quad ({\hat {\vec {\sigma }}}\cdot {\hat {\vec {p}}})^{2}={\hat {\vec {p}}}\;^{2}$.

(Hinreichende Zusatzbedingung für die letzte Gleichung: die Komponenten des Vektoroperators ${\hat {\vec {p}}}$ sind untereinander und mit ${\hat {\vec {s}}}$ vertauschbar.)

Die unanschaulichen Folgerungen:

• Wegen ${\hat {\sigma }}_{i}^{2}\!=\!1$ ist ${\hat {s}}_{x}^{2}\!=\!{\hat {s}}_{y}^{2}\!=\!{\hat {s}}_{z}^{2}\!=\!({\tfrac {\hbar }{2}})^{2}$. D. h., in jedem denkbaren Zustand hat ein Spin-${\tfrac {1}{2}}$-Teilchen zum Quadrat der Komponente seines Spins in einer beliebigen Richtung einen wohlbestimmten und immer gleichen Wert, den größten, der überhaupt möglich ist. In den beiden Zuständen „(anti-)paralleler“ Ausrichtung sind die Komponenten senkrecht zur Achse dem Betragsquadrat nach zusammen also doppelt so groß wie die Komponente längs der Ausrichtungsachse. Ein normaler Vektor mit diesen Eigenschaften liegt nicht parallel zur z-Achse, sondern sogar schon näher an der dazu senkrechten xy-Ebene.
• Die Komponente des Vektors ${\hat {\vec {p}}}$ in Richtung des Spin hat immer denselben Betrag wie der Vektor selbst.

Anmerkung: Die Matrix-Darstellung der Paulischen Spinoperatoren sind die Pauli-Matrizen.

Spin 1/2 und dreidimensionaler Vektor

Die beiden Zustände $|m_{s}\rangle =|\pm {\tfrac {1}{2}}\rangle$ (im Sprachgebrauch „Spin parallel bzw. antiparallel zur z-Achse“) bilden eine Basis im zweidimensionalen Zustandsraum eines Spin-${\tfrac {1}{2}}$-Teilchens. Auch der Zustand, in dem der Spin parallel zu einer beliebigen anderen Richtung ausgerichtet ist, ist eine Linearkombination dieser Basis mit gewissen Koeffizienten. Für den Zustand mit Spin parallel zur x-Achse z.B. haben beide Koeffizienten gleichen Betrag, für den parallel zur y-Achse auch, aber mit anderer komplexer Phase. Auch wenn die Raumrichtungen zueinander senkrecht stehen, sind die entsprechend ausgerichteten Zustände nicht orthogonal (der einzige zu $|\!\!+\!{\tfrac {1}{2}}\rangle$ orthogonale Zustand ist $|\!\!-\!{\tfrac {1}{2}}\rangle$).

Umgekehrt gilt, dass es zu jedem beliebigen Spinzustand (also zu jeder beliebigen Linearkombination von $|\!\!+\!{\tfrac {1}{2}}\rangle$ und $|\!\!-\!{\tfrac {1}{2}}\rangle$) eine Richtung im dreidimensionalen Raum gibt, zu der der Spin dann so parallel liegt wie im Zustand $|\!\!+\!{\tfrac {1}{2}}\rangle$ zur z-Achse. Das immerhin entspricht der Vorstellung von einem normalen Vektor im dreidimensionalen Raum. Dies gilt unter allen quantenmechanisch möglichen Drehimpulsen nur für die Quantenzahl $s={\tfrac {1}{2}}$. Insofern kommt unter allen quantenmechanischen Drehimpulsen der Spin ${\tfrac {1}{2}}$ der Vorstellung von einem Vektor am nächsten.

Spin 1/2 als Äquivalent aller 2-Zustands-Systeme

Hat ein physikalisches System nur zwei Basiszustände (zumindest in näherungsweiser Betrachtung, z.B. bei zwei benachbarten Energieniveaus, während die anderen, weiter entfernten, vernachlässigt werden), ist es formal ein genaues Abbild des 2-Zustands-Systems für den Spin ${\tfrac {1}{2}}$. Für dies System können ohne Rücksicht auf ihre physikalische Bedeutung drei Operatoren definiert werden: Ein Aufsteigeoperator und ein Absteigeoperator verwandelt den zweiten Basiszustand in den ersten bzw. umgekehrt, und ergibt sonst Null. Der dritte Operator gibt dem ersten Basiszustand den Eigenwert $+{\tfrac {1}{2}}$ und dem zweiten $-{\tfrac {1}{2}}$. Nennt man diese Operatoren der Reihe nach ${\hat {s}}_{+},\,{\hat {s}}_{-},{\hat {s}}_{z}$, erfüllen sie dieselben Gleichungen wie die gleichnamigen Operatoren für den Spin ${\tfrac {1}{2}}$. Sie können auch in den Vektoroperator ${\hat {\vec {s}}}=({\hat {s}}_{x},\,{\hat {s}}_{y},{\hat {s}}_{z})$ umgeschrieben werden, der wie jeder Drehimpulsoperator aufgrund seiner Vertauschungsrelationen die infinitesimalen Drehungen in einem (abstrakten) dreidimensionalen Raum beschreibt.

Mathematischer Hintergrund dieser Äquivalenz ist die Tatsache, dass die Basistransformationen im zweidimensionalen Hilbertraum eine Darstellung der Gruppe SU(2) bilden, die eine erweiterte Form der Gruppe SO(3) der Drehungen im reellen dreidimensionalen Raum ist. Der Unterschied zu den „normalen“ Drehungen im dreidimensionalen Raum liegt darin, dass die vom Spinoperator erzeugte Drehung beim Drehwinkel 360° nicht durch die Einheitsmatrix $\mathbf {1}$ wiedergegeben wird, sondern durch $-\mathbf {1}$. Erst eine 720°-Drehung bringt wieder denselben Zustandsvektor hervor.

Nimmt man für die zwei Basiszustände verschiedene Elementarteilchen, etwa Proton und Neutron, oder Elektron und Elektronneutrino, wird die durch dies Vorgehen definierte physikalische Größe als Isospin des Teilchens bezeichnet. Dies bewährt sich auch für Mehrteilchensysteme, d. h. ihre Zustände lassen sich danach klassifizieren, wie die Isospins ihrer einzelnen Teilchen sich zum Gesamtisospin addieren, wobei die Regeln der Addition von quantenmechanischen Drehimpulsen volle Gültigkeit haben. In der Entwicklung der Elementarteilchenphysik hat dies Isospinkonzept eine bedeutende Rolle gespielt.

Zwei Teilchen mit Spin 1/2

Der Gesamtspin kann hier die Werte $\,S=1$ und $\,S=0$ haben. Mit der Bezeichnung $\left|\uparrow \right\rangle \ ,\left|\downarrow \right\rangle$ für die Basiszustände jedes der Teilchen werden die Zweiteilchenzustände so gebildet:

$\left|\upuparrows \right\rangle \ ,\ {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\left|\uparrow \downarrow \right\rangle +\left|\downarrow \uparrow \right\rangle )\ ,\ \left|\downdownarrows \right\rangle \quad \cdot$ für $\,S=1\;,\ M_{S}=+1,\,0,\,-1$ (Triplett)

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle )\quad \cdot$ für $\,S=0,\;M_{S}=0$ (Singulett)

Die beiden Fälle zu $M_{S}=0$ sind die einfachsten Beispiele für einen verschränkten Zustand. In jedem der beiden Summanden kombinieren die z-Komponenten der Spins miteinander zu Null. Dies gilt nicht nur für die beiden Spins, sondern auch für alle anderen Vektoroperatoren, selbst wenn sie für die beiden Teilchen unterschiedliche Größe haben, z.B. die magnetischen Momente von Elektron und Proton im H-Atom. Wenn für das Elektron mit seinem ca. 700mal größeren Moment zur Verdeutlichung $|\!\!\Uparrow \rangle$ bzw. $|\!\!\Downarrow \rangle$ geschrieben wird, ist an jedem der beiden $(M_{S}=0)$-Zuständen ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\left|\Uparrow \downarrow \right\rangle \pm \left|\Downarrow \uparrow \right\rangle )$ zu sehen, dass erst die gleichzeitige Präsenz beider Summanden $\left|\Uparrow \downarrow \right\rangle$ und $\left|\Downarrow \uparrow \right\rangle$ darin das Gesamtergebnis Null für die z-Komponente der Vektorsumme der Momente ergeben kann.

Zwei gleiche Teilchen mit Spin 1/2

Vertauschungssymmetrie in Spin- und Orts-Koordinaten

Der Triplettzustand ist symmetrisch, der Singulettzustand antisymmetrisch hinsichtlich der Spins, denn die Vertauschung der zwei Teilchen bedeutet hier, die beiden Pfeile für ihren Spinzustand in den obigen Formeln in umgekehrter Reihenfolge zu schreiben. Da bei Vertauschung aller Koordinaten zweier gleicher Fermionen der vollständige Zustandsvektor das Vorzeichen wechselt, muss sein ortsabhängiger Teil $|\psi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})\rangle$ auch eine definierte Symmetrie haben, antisymmetrisch im Triplett, symmetrisch im Singulett. Die Ladungsverteilungen beider Elektronen bleiben bei Vertauschung dieselben. Wenn sie sich überlappen, ergibt sich dennoch für die elektrostatische Abstoßung im symmetrisch verschränkten Ortszustand ein größerer Energiebetrag als im antisymmetrischen, weil die Aufenthaltswahrscheinlichkeit beider Elektronen am gleichen Ort im antisymmetrischen Ortszustand sicher Null ist, im symmetrischen nicht. Dieser rein quantenmechanische Effekt wird Austauschwechselwirkung genannt. Er begründet den starken Einfluss des Gesamtspins der Elektronen auf die Energieniveaus ihres Atoms, obwohl von den Spins selbst überhaupt keine elektrostatische (und nur geringe magnetische) Wechselwirkung ausgeht.

Der kugelsymmetrische Singulett-Zustand

Bildet man den Zustandsvektor für den Singulettzustand nicht mit den in z-Richtung ausgerichteten Spinzuständen $\left|\uparrow \right\rangle \ ,\left|\downarrow \right\rangle$ sondern mit den in x-Richtung ausgerichteten $\left|\leftarrow \right\rangle \ ,\left|\rightarrow \right\rangle$, ist der Zustand doch ein- und derselbe (denn es gibt ja nur einen):

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\;(\,\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle \,)\quad \equiv \quad {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\;(\,\left|\leftarrow \rightarrow \right\rangle -\left|\rightarrow \leftarrow \right\rangle \,)\cdot$

Formal ist das eine Folge von $|\!\!\rightarrow \rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\;(\,|\!\uparrow \rangle +|\!\downarrow \rangle \,)$ und $|\!\!\leftarrow \rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\;(\,|\!\uparrow \rangle -|\!\downarrow \rangle \,)$.

Hierzu gibt es ein Gedankenexperiment, das die Schwierigkeiten der Anschauung beim Verstehen der Superposition unteilbarer Teilchen beleuchtet:

• In einem He-Ion mit dem 1s-Elektron im Zustand $|\!\!\leftarrow \rangle$ wird die Ausbeute gemessen, mit der ein Elektron im Zustand $|\!\!\uparrow \rangle$ extrahiert werden kann. Antwort: 50%.
• Das He-Ion fängt nun ein zweites Elektron in den 1s-Zustand ein. Wegen gleicher Ortswellenfunktionen beider Elektronen ist der Zustand hinsichtlich des Orts symmetrisch, hinsichtlich des Spins antisymmetrisch. Das neue Elektron stellt seinen Spin nicht einfach nur entgegengesetzt zum vorhandenen ($|\!\!\leftarrow \rightarrow \rangle$), sondern es bildet sich automatisch die richtige Verschränkung für das Singulett (lt. Formel oben). Dieser Singulettzustand ist aber derselbe, der sich aus zwei Elektronen in den Zuständen $\left|\uparrow \right\rangle ,\left|\downarrow \right\rangle$ gebildet hätte.
• Infolgedessen zeigt die gleiche Messung (Extraktion von $|\!\!\uparrow \rangle$) nun eine Ausbeute von 100%. Das ist mit der an makroskopischen Verhältnissen geschulten Anschauung nur verträglich, wenn beide Elektronen sich aufgeteilt und mit den jeweils richtigen Hälften über Kreuz zusammengefügt haben könnten.

Spin und Diracgleichung

Die theoretische Begründung des Elektronenspins beruht auf der 1928 von Paul Dirac entdeckten Diracgleichung, die als relativistisch korrekte Wellengleichung an die Stelle der nichtrelativistischen Schrödingergleichung tritt. Eine Bedingung für relativistische Invarianz der zugehörigen Gleichung für die Energie ist, dass der Impuls linear darin vorkommt. Das ist bei der Schrödingergleichung nicht der Fall, denn sie beruht nach der klassischen Mechanik auf $E={\tfrac {p^{2}}{2m}}$. Dirac fand in

${\hat {\vec {\sigma }}}\cdot {\hat {\vec {p}}}=|{\hat {\vec {p}}}|$.

den gesuchten linearen Operator, wobei in der weiteren Ausformulierung dieses Ansatzes die $2\!\!\times \!\!2$-Matrizen ${\hat {\vec {\sigma }}}$ gemäß

${\hat {\vec {\alpha }}}={\begin{pmatrix}0&{\hat {\vec {\sigma }}}\\{\hat {\vec {\sigma }}}&0\end{pmatrix}}$

zu $4\!\!\times \!\!4$-Matrizen erweitert werden müssen. Damit zeigte sich, dass für ein freies Teilchen nicht der Bahndrehimpuls ${\hat {\vec {l}}}={\hat {\vec {r}}}\!\!\times \!\!{\hat {\vec {p}}}$ eine Konstante der Bewegung ist, sondern ein „Gesamtdrehimpuls“ ${\hat {\vec {j}}}={\tfrac {\hbar }{2}}{\hat {\vec {\sigma }}}+{\hat {\vec {r}}}\!\!\times \!\!{\hat {\vec {p}}}$. Das konstante Zusatzglied ${\hat {\vec {s}}}={\tfrac {\hbar }{2}}{\hat {\vec {\sigma }}}$ ist der Spin.

Einzelnachweise und Fußnoten

Kategorie:Quantenphysik