Benutzer:BroyJoerg/Herleitung Trägheitsmoment n-seitige Pyramide

Trägheitsmoment einer regelmäßigen Pyramide

Die Berechnung des Trägheitsmomentes einer regelmäßigen geraden Pyramide ist mit einer gewissen Schwierigkeit verbunden. Sie besteht darin, die richtigen Integrationsgrenzen zur Bestimmung der Masseverteilung zu finden. Um diese zu meistern, empfielt es sich, nicht über das Volumen der gesamten Pyramide zu integrieren, sondern nur über ein Teilstück. Denn jede n-seitige Pyramide lässt sich in n Pyramidenstücke zerlegen, ähnlich der Aufteilung eines Kuchens in Kuchenstücke (siehe Skizze). Berechnet man das Trägheitsmoment eines solchen Stückes und multipliziert es dann mit der Seitenzahl der Pyramide, erhält man so das Trägheitsmoment der gesamten Pyramide.Dieses Vorgehen soll im Folgenden allgemein für eine n-seitige Pyramide demonstriert werden. Die daraus resultierende Formel eignet sich zur Berechnung des Trägheitsmomentes jeder regelmäßigen geraden Pyramide.

Vorgehen bei der Herleitung:

1. Festlegung der Volumen-Integrationsgrenzen des Pyramidenstücks

2. Berechnung des Trägheitsmoments in Abhängigkeit von der Dichte $\varrho$

3. Umrechnung in das Trägheitsmoment in Abhängigkeit von der Masse $m$

Legende:

Die Skizze zeigt eine fünfseitige regelmäßige gerade Pyramide als ein Beispiel für eine n-seitige regelmäßige gerade Pyramide. Das für die Integration wichtige Teilstück ist rot hervorgehoben.

r...Radius des Umkreises um die Pyramidengrundfläche

n...Anzahl der Pyramidenseiten (in dieser Skizze fünf)

h...Höhe der Pyramide

α...Winkel zwischen den beiden Schenkeln der Dreiecks-Grundfläche des Pyramidenstücks

Wichtige Beziehungen:

α = 2π/n

d = r sinα

r = e + f

1. Die Integrationsgrenzen des Pyramidenstücks:

Damit die Integrationsgrenzen möglichst einfach werden, wird die Pyramide, bzw. das Pyramidenstück auf die Spitze gestellt, so dass (entgegen der Skizze) die Spitze im Koordinatenursprung liegt. Die Integration in z-Richtung ergibt sich dann von selbst:

$\int _{0}^{h}$.

In y-Richtung beginnt die Integration immer von der x-Achse aus, also bei y=0. Die zweite Integrationsgrenze stellt eine von der Höhe z, bzw. von ${\frac {z}{h}}$ abhängige "Verkürzung" der Länge $d=r\sin {\alpha }$ dar:

$\int _{0}^{{\frac {r\sin {\alpha }}{h}}z}$.

Die erste Integrationsgrenze in x-Richtung ist eine von y, bzw. von ${\frac {y}{d}}$ abhängige "Verkürzung" von $e$, also ${\frac {e}{d}}y=\cot {\alpha }y={\frac {cos{\alpha }}{\sin {\alpha }}}y$. Die zweite Grenze besteht aus zwei Komponenten: eine von z, bzw. ${\frac {z}{h}}$ abhängige "Verkürzung" von $r$: ${\frac {r}{h}}z$, verringert um eine von y, bzw. ${\frac {y}{d}}$ abhängige "Verkürzung" von f: ${\frac {f}{d}}y$. Es gilt: $f=r-e=r-\cos {\alpha }r=(1-\cos {\alpha })r$. Damit ist ${\frac {f}{d}}y={\frac {1-\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}}y$. Und die Integrationsgrenzen in x-Richtung lauten:

$\int _{{\frac {\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}}y}^{{\frac {r}{h}}z-{\frac {1-\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}}y}$.

2. Berechnung des Trägheitsmoments in Abhängigkeit von der Dichte $\varrho$:

Die allgemeine Formel zur Berechnung eines Trägheitsmomentes kann in folgender differentieller Form angegeben werden:

$I(\varrho )=\varrho \int _{z}{}\int _{y}{}\int _{x}{}r^{2}dxdydz$

In diese Formel werden nun die oben gefundenen Integrationsgrenzen für das Pyramidenstück eingesetzt, multipliziert mit der Anzahl der Pyramidenstücke n ergibt sich die Integralformel für das Trägheitsmoment der Pyramide in Abhängigkeit von der Dichte:

$I_{\mathrm {nPy} }(\varrho )=\varrho n\int _{0}^{h}\int _{0}^{{\frac {r\sin {\alpha }}{h}}z}\int _{{\frac {\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}}y}^{{\frac {r}{h}}z-{\frac {1-\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}}y}(x^{2}+y^{2})dxdydz$

Nun wird das Dreifach-Integral ausgerechnet. Man beginnt mit der Integration von $(x^{2}+y^{2})$ nach $x$ und setzt dort dann die Integrationsgrenzen in x-Richtung ein:

$I_{\mathrm {nPy} }(\varrho )=\varrho n\int _{0}^{h}\int _{0}^{{\frac {r\sin {\alpha }}{h}}z}\left({\frac {1}{3}}{\frac {r^{3}}{h^{3}}}z^{3}-{\frac {r^{2}}{h^{2}}}z^{2}{\frac {1-\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}}y+{\frac {r}{h}}z{\frac {(1-\cos {\alpha })^{2}}{\sin ^{2}{\alpha }}}y^{2}-{\frac {1}{3}}{\frac {(1-\cos {\alpha })^{3}}{\sin ^{3}{\alpha }}}y^{3}+{\frac {r}{h}}zy^{2}-{\frac {1-\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}}y^{3}-{\frac {1}{3}}{\frac {\cos ^{3}{\alpha }}{\sin ^{3}{\alpha }}}y^{3}-{\frac {\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}}y^{3}\right)dydz$

Als nächstes wird nach $y$ integriert, dann die entsprechenden Integrationsgenzen eingesetzt und ${\frac {r^{4}\sin {\alpha }}{h^{4}}}$ ausgeklammert; im zweiten Schritt wird der Term zusammengefasst:

$I_{\mathrm {nPy} }(\varrho )=\varrho n{\frac {r^{4}\sin {\alpha }}{h^{4}}}\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}(1-\cos {\alpha })+{\frac {1}{3}}(1-\cos {\alpha })^{2}-{\frac {1}{12}}(1-\cos {\alpha })^{3}+{\frac {1}{3}}\sin ^{2}{\alpha }-{\frac {1}{4}}\sin ^{2}{\alpha }(1-\cos {\alpha })-{\frac {1}{12}}\cos ^{3}{\alpha }-{\frac {1}{4}}\sin ^{2}{\alpha }\cos {\alpha }\right)\int _{0}^{h}z^{4}dz$

$I_{\mathrm {nPy} }(\varrho )=\varrho n{\frac {r^{4}\sin {\alpha }}{h^{4}}}{\frac {1}{12}}(1+\cos {\alpha }+\cos ^{2}{\alpha }+\sin ^{2}{\alpha })\int _{0}^{h}z^{4}dz$

Zuletzt wird noch nach $z$ integriert, die verbleibenden Integrationsgenzen eingesetzt und zusammengefasst. Somit ergibt sich für das Trägheitsmoment der Pyramide:

$I_{\mathrm {nPy} }(\varrho )=\varrho nr^{4}\sin {\alpha }h{\frac {1}{60}}(2+\cos {\alpha })$ (1)

3. Das Trägheitsmoment der Pyramide in Abhängigkeit von der Masse $m$:

Die bisher erhaltene Formel gibt das Trägheitsmoment einer n-seitigen Pyramide in Abhängigkeit von der Dichte ${\varrho }$ an. Benötigt wird aber in der Regel das Trägheitsmoment in Abhängigkeit von der Masse $m$. Wir erhalten diese über die Beziehung $m=\varrho V$. Zur Berechnung von $V$ dienen wieder die bereits verwendeten Integrationsgrenzen für ein Pyramidenstück:

$V_{\mathrm {nPy} }=n\int _{0}^{h}\int _{0}^{{\frac {r\sin {\alpha }}{h}}z}\int _{{\frac {\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}}y}^{{\frac {r}{h}}z-{\frac {1-\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}}y}dxdydz$

Nach dreimaliger Integration und Einsetzung der Integrationsgrenzen erhalten wir:

$V_{\mathrm {nPy} }=n{\frac {1}{6}}r^{2}h\sin {\alpha }$

Nun kann ${\varrho }$ in (1) durch ${\frac {m}{V_{\mathrm {nPy} }}}$ ersetzt werden:

$I_{\mathrm {nPy} }(m)={\frac {m}{n{\frac {1}{6}}r^{2}h\sin {\alpha }}}nr^{4}\sin {\alpha }h{\frac {1}{60}}(2+\cos {\alpha })$

Diese Gleichung zusammengefasst ergibt das Trägheitsmoment einer n-seitigen regelmäßigen geraden Pyramide:

$I_{\mathrm {nPy} }(m)={\frac {1}{10}}(2+\cos {\alpha })mr^{2}$.

Trägheitsmoment eines regelmäßigen Prismas

Beim regelmäßigen Prisma ist das Vorgehen analog zur Pyramide. Nur die Integrationsgrenzen sind entsprechend einfacher:

In z-Richtung:$\int _{0}^{h}$, in y-Richtung:$\int _{0}^{r\sin {\alpha }}$und in x-Richtung: $\int _{{\frac {\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}}y}^{r-{\frac {1-\cos {\alpha }}{\sin {\alpha }}}y}$.

Da das Prisma in jeder Höhe den gleichen Querschnitt hat, sind die Integrale nicht mehr von der Höhe abhängig und so fallen alle von z abhängigen "Verkürzungen" weg. In die Formel

$I(\varrho )=\varrho \int _{z}{}\int _{y}{}\int _{x}{}r^{2}dxdydz$

werden wieder die Integrationsgrenzen eingesetzt, dann über alle Richtungen integriert. Das Trägheitsmoment wird dann noch durch

$V_{\mathrm {nPr} }=n{\frac {1}{2}}r^{2}h\sin {\alpha }$

(das Volumen eines n-seitigen Prismas) geteilt. So lautet das Trägheitsmoment eines n-seitigen regelmäßigen geraden Prismas:

$I_{\mathrm {nPr} }(m)={\frac {1}{6}}(2+\cos {\alpha })mr^{2}$.

Beispiele für die Trägheitsmomente von Pyramiden und Prismen:

Seitenzahl	Trägheitsmoment Pyramide	Trägheitsmoment Prisma
3	${\frac {3}{20}}mr^{2}$	${\frac {1}{4}}mr^{2}$
4	${\frac {1}{5}}mr^{2}$	${\frac {1}{3}}mr^{2}$
5	${\frac {1}{40}}(7+{\sqrt {5}})mr^{2}$	${\frac {1}{24}}(7+{\sqrt {5}})mr^{2}$
6	${\frac {1}{4}}mr^{2}$	${\frac {5}{12}}mr^{2}$
8	${\frac {1}{5}}\left(1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)mr^{2}$	${\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)mr^{2}$
10	${\frac {1}{40}}(9+{\sqrt {5}})mr^{2}$	${\frac {1}{24}}(9+{\sqrt {5}})mr^{2}$
12	${\frac {1}{5}}\left(1+{\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}\right)mr^{2}$	${\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}\right)mr^{2}$

(Quelle: Mathematica 5.1)