Benutzer:Charly Whisky/Versuchslabor

Motiv für diese Seite sind zwei Fragen:

1. Bin ich wirklich so doof, wie der mir hier und dort einreden will?
2. interessiert es mich tatsächlich, wie hängt das Drehmoment innerhalb eines DC-Selsyns vom Drehwinkel ab.

Rainald62 behauptet, dass im Indikatorprinzip das Drehmoment etwa sinusförmig vom Differenzwinkel abhängt, bei etwa 90° ein Maximum hat und bei 0° langsam gegen Null strebt. Er beruft sich dabei ausschließlich auf die Vektorrechnung und setzt voraus, dass die Anziehungskraft konstant sei.

Ich dagegen wusste aus praktischer Erfahrung, dass ein Drehmelder bei angelegten Spannungen sich bei 90° am leichtesten drehen ließ und je näher er zur Nullstelle kam, mehr Kraft gebraucht wurde, ihn zurückzuhalten.

Gedankenexperiment

Schaun wir mal:

technische Voraussetzungen

Ich weiß jetzt zwar nicht, wieso er auf seiner Diskussionsseite von magnetischen Monopolen redet, in der Praxis gibt es die wirklich nicht, deswegen wird immer der erfolgreiche Trick mit dem Weicheisen angewendet, welches die magnetischen Feldlinien konzentriert und umlenkt. Man könnte für dieses Gedankenexperiment natürlich auch einen Hufeisenmagneten verwenden.

Die Magnetfelder von Rotor und Stator sollen konstant sein und werden hier mit Permanentmagneten symbolisiert. Wie groß genau die Anziehungskraft ist, das ist nebensächlich, da hier nur das Verhältnis gesucht wird zwischen Winkeln in der Nähe des Nullpunktes (das ist dort, wo sich Nordpol vom Rotor und Südpol vom Stator genau gegenüberstehen) und einem Differenzwinkel von etwa 90°.

mathematische Voraussetzungen

Trigonometrie

Wie im nebenstehenden Bild gezeigt, befindet sich zwischen dem Rotorkreis und dem Stator ein Spalt mit der Größe s. Um die Geometrie zu vereinfachen, nehme ich mal an, dass s sehr viel kleiner als der Radius r ist und vernachlässigt werden kann. (Später muss auf diesen Spalt wieder zurückgekommen werden.) Dadurch wird das betrachtete Dreieck zu einem gleichschenkligen Dreieck, was die Berechnung des Abstandes stark vereinfacht.

Die Kraft, die auf den Magneten des Rotors wirkt, soll an dessen äußersten Enden wirken. Diese Kraft setzt sich aus vier Komponenten zusammen, da Nord- und Südpol des Rotors mit dem Nord- und Südpol des Stators jeweils als Anziehung und Abstoßung zusammenwirken. Ich möchte erst mal nur mit einer dieser Kräfte beginnen. Alle vier Komponenten entstehen auf die gleiche Weise und wirken in die gleiche Richtung, sie können am Ende also einfach addiert werden.

Herleitung

Direkt am Magnetpol ist die Anziehungskraft am stärksten und wird hier als F_max bezeichnet. Das Magnetfeld und somit die Anziehungskraft wird mit zunehmendem Abstand l vom Pol gemäß Abstandsgesetz stark abnehmen. Dieser Abstand ist abhängig vom Winkel x:

$F(x)={\frac {F_{max}}{l^{2}}}$

Das Gleichheitszeichen ist hier eigentlich nicht korrekt, denn das Abstandsgesetz ist nur eine Proportion 1/l², aber da uns die absoluten Werte (und somit ein zusätzlicher Faktor) nicht interessieren, ist es zulässig, diesen Faktor als 1 zu setzen. Das gleichschenklige Dreieck kann ich jetzt mit einem Lot h auf den Abstand l teilen und erhalte ein rechtwinkliges Teilstück für die Berechnung:

$l=2r\sin {\frac {x}{2}}$

Der Abstand l wird eingesetzt:

$F(x)={\frac {F_{max}}{\left(2r\sin {\frac {x}{2}}\right)^{2}}}$

Das ist die Kraft, die abhängig von der Winkeldifferenz x auf den einen Pol des Rotors entlang der Linie l wirkt. Aus dieser Kraft muss nun durch Vektorrechnung die tangential wirkende Komponente F_tang berechnet werden. Vektorrechnung nur in einer Ebene ist einfach:

$F_{tang}=F(x)\sin {\frac {180^{\circ }-x}{2}}=F(x)\cos {\frac {x}{2}}$

$F_{tang}={\frac {F_{max}\cos {\frac {x}{2}}}{\left(2r\sin {\frac {x}{2}}\right)^{2}}}$

Das Drehmoment M ist diese Kraft multipliziert mit ihrem „Hebel“, dem Radius, der gleich gekürzt werden kann:

$M=rF_{tang}={\frac {F_{max}\cos {\frac {x}{2}}}{4r\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}$

Kurvendiskussion

Für die Konstanten r und F_max setze ich einfach den Einheitswert „1“ ein, somit fallen sie hier heraus und es verbleibt lediglich das Verhältnis der Drehmomentänderung in Abhängigkeit vom Winkel:

$M\sim {\frac {\cos {\frac {x}{2}}}{4sin^{2}{\frac {x}{2}}}}$

Nun mache ich es mir einfach: es gibt eine nette Softwarelösung für einen Plot für genau solche Anwendungen bei WolframAlpha und das Ergebnis ist genau das, was ich erwartet habe: in der Nähe der Nullstellung ist das Drehmoment am größten, bei einer Winkeldifferenz von 90° hat das Drehmoment ein Minimum.

In diesem Plot ist eine Polstelle genau bei der Nullstelle, an der eigentlich auch das Drehmoment Null sein sollte. Das liegt daran, dass der Abstand zwischen Nord- und Südpol jetzt Null ist und in der Gleichung wird durch diesen Abstand zum Quadrat geteilt. Eine Division durch Null ist nicht definiert wodurch in dem Plot die Kurve ins Unendliche strebt. Hier kommt jetzt wieder der Spalt s ins Spiel. Dieser würde verhindern, dass der Abstand zwischen den Polen Null wird.

Als zweite Ungenauigkeit muss genannt werden, dass die Magnetpole nicht wie hier stillschweigend angenommen punktförmig sind, sondern auch eine geometrische Dimension haben. Schon wenn sich nur Teile des Nordpols mit dem Südpol überdecken, verringert sich die wirkende Anziehungskraft, aus der ein Drehmoment folgen kann.

Wenn jetzt zum Beispiel die Kraftkomponente die durch Abstoßung gleichnamiger Pole entsteht addiert wird, wird eine zusätzliche Polstelle bei einer Winkeldifferenz von 180° entstehen.

Ich breche hier ab. Der Rest ist nur noch Fleißarbeit und (Dank Stephen Wolfram) Spielerei mit dem Plotter.

Was ich wissen wollte, ist jetzt völlig klar:
In der Nähe der Nullstelle hat das Drehmoment ein Maximum.
q.e.d.

Konsequenzen

Diese Berechnung hat direkte Auswirkungen auf die Konstruktion von Drehmeldeempfängern. Jetzt ist mir völlig klar, warum (im Gegensatz zu Drehmeldegebern mit stabförmigem, also I-förmigem Kern des Rotors) die Drehmeldeempfänger meist einen H-förmigen Rotorkern haben. Der I-förmige Kern ist genauer in der Positionierung. Der sehr breite Polkopf im Drehmeldeempfänger bewirkt dagegen ein gleichmäßigeres Drehmoment, da schon bei Differenzwinkeln von etwa 30  bis 60 Grad eine Überdeckung von Nord- und Südpol beginnt und somit das entstehende Drehmoment in kleineren Differenzwinkeln abgeschwächt wird. Das verhindert zuverlässig ein Überschwingen und Vibrieren des Drehmeldeempfängers. Gleichzeitig erhöht sich die Anziehungskraft außerhalb dieses Bereiches, da der Abstand von Polkante zu Polkante nicht mehr so groß werden kann.

(Diese Erkenntnis freut mich!) --≡c.w. 21:50, 6. Jan. 2013 (CET)