Benutzer:Chromate/Taylor-Formel

Es soll die Funktion

$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,~x\mapsto \exp(x_{1}-x_{2})\cdot \log(1-x_{2})$

mit $x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$ um den Punkt $a={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$ entwickelt werden.

In diesem Beispiel soll die Funktion bis zum zweiten Grad entwickelt werden. Es gilt also $k=2$. Wegen $|j|\leq k$ müssen, gemäß der Multiindexschreibweise die Tupel $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$, $(2,0)$, $(1,1)$ und $(0,2)$ berücksichtigt werden.

Die partiellen Ableitungen der Funktion lauten:
$\left.{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right|_{x=a}=\left[\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \log(1-x_{2})\right]_{x=a}=0$
$\left.{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\right|_{x=a}=\left[-\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \left(\log(1-x_{2})+{\frac {1}{1-x_{2}}}\right)\right]_{x=a}=-e$
$\left.{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}\right|_{x=a}=\left[\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \log(1-x_{2})\right]_{x=a}=0$
$\left.{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}\right|_{x=a}=\left[-\exp(x_{1}-x_{2})\cdot \left(\log(1-x_{2})+{\frac {1}{1-x_{2}}}\right)\right]_{x=a}=-e$
$\left.{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}}}\right|_{x=a}=\left[\exp(x_{1}-x_{2})\left(\log(1-x_{2})+{\frac {2}{1-x_{2}}}-{\frac {1}{(1-x_{2})^{2}}}\right)\right]_{x=a}=e$

Es folgt mit der mehrdimensionalen Taylor-Formel:

${\begin{aligned}f(x)\approx &f(x)|_{x=a}+{\frac {1}{1!}}\left.{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{1}}}\right|_{x=a}(x_{1}-a_{1})+{\frac {1}{1!}}\left.{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{2}}}\right|_{x=a}(x_{2}-a_{2})\\&+{\frac {1}{2!}}\left.{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{1}^{2}}}\right|_{x=a}(x_{1}-a_{1})^{2}+{\frac {1}{1!1!}}\left.{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right|_{x=a}(x_{1}-a_{1})(x_{2}-a_{2})\\&+{\frac {1}{2!}}\left.{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{2}^{2}}}\right|_{x=a}~(x_{2}-a_{2})^{2}\\&=0+0-e(x_{2}-0)+0-e(x_{1}-1)(x_{2}-0)+{\frac {1}{2}}e(x_{2}-0)^{2}\\&=-x_{1}x_{2}e+{\frac {1}{2}}x_{2}^{2}e\end{aligned}}$

Eine alternative Darstellung der Taylorentwicklung basiert nicht auf der Multiindexdarstellung, sondern auf einer Matizendarstellung der Taylor-Formel. So gilt auch:
${\begin{aligned}f(x)&\approx f(x)|_{x=a}+\left.J_{f}\right|_{x=a}(x-a)+{\frac {1}{2}}(x-a)^{T}\left.\operatorname {H} _{f}\right|_{x=a}(x-a)\\&=f(x)|_{x=a}+\left({\frac {\partial f(x)}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{2}}}\right)_{x=a}(x-a)+{\frac {1}{2}}(x-a)^{T}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}\\{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{2}^{2}}}\end{pmatrix}}_{x=a}(x-a)\\&=0+(0,-e){\begin{pmatrix}x_{1}-1\\x_{2}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}(x_{1}-1,x_{2}){\begin{pmatrix}0&-e\\-e&e\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}-1\\x_{2}\end{pmatrix}}\\&=-x_{1}x_{2}e+{\frac {1}{2}}x_{2}^{2}e\end{aligned}}$
mit der Jacobi-Matrix $J_{f}$ und der Hesse-Matrix $\operatorname {H} _{f}$.

Obwohl letztere Variante zunächst einfacher aussehen mag, ist es, vor allem bei Entwicklungen bis zum dritten Grad oder höher, sinnvoll die Multiindexschreibweise zu verwenden, da dort jeder Term nur einmal auftaucht. In der letzteren Darstellung sind Terme mehrfach auszurechnen. Dies zeigt sich zum ersten Mal in der Jacobi-Matrix. Dort müssen die Terme ${\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}$ und ${\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}$ berechnet werden. Bei genügend oft stetig differenzierbaren Funktionen sind diese allerdings nach dem Satz von Schwarz gleich, so dass die Berechnung unnötig doppelt auftaucht. Je weiter man die Funktion entwickelt, umso stärker fällt dies ins Gewicht.