Benutzer:DrTrigon/Entwurf/Basistransformation zur reellen JNF

Reelle jordansche Normalform

$J_{j}={\begin{pmatrix}a_{j}&b_{j}&1&0&&&&&\\-b_{j}&a_{j}&0&1&&&&0&\\&&a_{j}&b_{j}&1&0&&&\\&&-b_{j}&a_{j}&0&1&&&\\&&&&\ddots {}&&\ddots {}&&\\&&&&&\ddots {}&&1&0\\&&&&&&\ddots {}&0&1\\&0&&&&&&a_{j}&b_{j}\\&&&&&&&-b_{j}&a_{j}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}D&N&&&0\\&D&N&&\\&&\ddots {}&\ddots {}&\\&&&\ddots {}&N\\0&&&&D\\\end{pmatrix}}$

Mit $D={\begin{pmatrix}a_{j}&b_{j}\\-b_{j}&a_{j}\end{pmatrix}}$ auf der Hauptdiagonalen und $N={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$ oder $N={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\\end{pmatrix}}$ auf der Nebendiagonalen.

Beispiel

Man betrachte die Matrix $A\in M_{5}(\mathbb {R} )$, die wie folgt definiert ist

$B:={\begin{pmatrix}6&-2&6&1&1\\1&-1&2&1&-2\\-2&0&-1&0&-1\\-1&0&-2&2&-1\\-4&4&-6&-2&3\end{pmatrix}}.$

Ihr charakteristisches Polynom lautet $\chi (B)=(X-(2+i))^{2}(X-(2-i))^{2}(X-1)$. Somit besitzt diese Matrix drei Eigenwerte, nämlich $1$ und die komplexen Paare $(2+i)$ und $(2-i)$. Nun berechnen wir die $a_{s}$ für $0\leq s\leq 5$. Vorausblickend auf die Basistransformation verwenden wir hier die Kerne (und um reell zu bleiben) ${\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }([B-(a+ib)E_{5}][B-(a-ib)E_{5}])^{s}={\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }(B^{2}-2aB+(a^{2}+b^{2})E_{5})^{s}$.

$\mathrm {rg} (B^{2}-2aB+(a^{2}+b^{2})E_{5})^{0}$ ist die Einheitsmatrix, und diese hat vollen Rang, also 5. Die Dimension des Vektorraumes $V:={\mathbb {R} }^{5}$ beträgt ebenso 5. Also ist $a_{0}=\dim _{\mathbb {R} }(V)-\mathrm {rg} (B^{2}-2aB+(a^{2}+b^{2})E_{5})^{0}=5-5=0$.

$\mathrm {rg} (B^{2}-2aB+(a^{2}+b^{2})E_{5})^{1}=3$. Somit ist $a_{1}=\dim _{\mathbb {R} }(V)-\mathrm {rg} (B^{2}-2aB+(a^{2}+b^{2})E_{5})^{1}=5-3=2$.

$\mathrm {rg} (B^{2}-2aB+(a^{2}+b^{2})E_{5})^{2}=\cdots =\mathrm {rg} (B^{2}-2aB+(a^{2}+b^{2})E_{5})^{5}=1$. Damit ist $a_{2}=\cdots =a_{5}=5-1=4$.

Die Anzahl der Jordankästchen mit Größe 1 sind ${\frac {1}{2}}(2a_{1}-a_{0}-a_{2})={\frac {1}{2}}(4-0-4)=0$ Stück.

Die Anzahl der Jordanblöcke mit Größe 2 sind ${\frac {1}{2}}(2a_{2}-a_{1}-a_{3})={\frac {1}{2}}(8-2-4)=1$ Stück.

Da hier die Kästchen doppelt so gross sind, bleibt den anderen Kästchen jetzt nichts mehr anderes übrig, als die Größe 0 zu haben und das Kästchen zum Eigenwert 1 muss Grösse 1 haben.

Somit ist ${\begin{pmatrix}1&&&&\\&2&1&1&\\&-1&2&&1\\&&&2&1\\&&&-1&2\end{pmatrix}}$ beziehungsweise ${\begin{pmatrix}1&&&&\\&2&1&&\\&-1&2&1&\\&&&2&1\\&&&-1&2\end{pmatrix}}$ die reelle jordansche Normalform von $B$.

Basistransformation zur reellen jordansche Normalform

Mit $N={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\\end{pmatrix}}$ auf der Nebendiagonalen.

Zu beachten ist hier, dass das charakteristische Polynom nicht mehr in jedem Falle vollständig in Linearfaktoren zerfällt, allgemein zerfällt es nur in irreduzible Faktoren (im Reellen sind das lineare und quadratische Faktoren). Ein Verfahren funktioniert folgendermaßen:

• Bestimme das charakteristische Polynom und faktorisiere es in irreduzible Faktoren. Es ergibt sich

$\chi (\lambda )=\prod _{j=1}^{k}(\lambda -\lambda _{j})^{\mu _{j}}\cdot \prod _{j=1}^{l}((\lambda -a_{j})^{2}+b_{j}^{2})^{\nu _{j}}$,

wobei $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R}$ paarweise verschiedene Eigenwerte mit Vielfachheit $\mu _{j}\in \mathbb {N}$ bezeichnen. Weiter seien darin $a_{1},\ldots ,a_{l}\in \mathbb {R}$, $b_{1},\ldots ,b_{l}>0$, $\nu _{1},\ldots ,\nu _{l}\in \mathbb {N}$ und $(a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{l},b_{l})$ paarweise verschieden.

• Für jedes $j\in \{1,\ldots ,k\}$ bestimme man

$K_{j,m}:={\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }(A-\lambda _{j})^{m}$ für $m=1,2,\ldots ,m_{j}$,

worin $m_{j}\leq \mu _{j}$ die kleinste natürliche Zahl ist mit $\dim _{\mathbb {R} }K_{j,m_{j}}=\mu _{j}$. Analog bestimme man für jedes $j\in \{1,\ldots ,l\}$

$K^{j,m}:={\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }((A-a_{j})^{2}+b_{j})^{m}$ für $m=1,2,\ldots ,n_{j}$,

worin $n_{j}\leq \nu _{j}$ die kleinste natürliche Zahl ist mit $\dim _{\mathbb {R} }K^{j,n_{j}}=2\nu _{j}$. Zudem setzen wir $K_{j,0}:=K^{j,0}:=\{0\}$.

• Nun stelle man die jordansche Normalform auf. Es gilt hierbei
  • $\ \dim _{\mathbb {R} }K_{j,m}-\dim _{\mathbb {R} }K_{j,m-1}$ ist die Anzahl der Jordanblöcke zum Eigenwert $\lambda _{j}$, deren Größe größer oder gleich $m$ ist.
  • ${\frac {1}{2}}\left(\dim _{\mathbb {R} }K^{j,m}-\dim _{\mathbb {R} }K^{j,m-1}\right)$ ist die Anzahl der Jordanblöcke zum Faktor $(\lambda -a_{j})^{2}+b_{j}^{2}$, deren Größe größer oder gleich $2m$ ist.

Zudem ist $\mu _{j}$ die Summe der Jordanblockgrößen zum Eigenwert $\lambda _{j}$ und $2\nu _{j}$ die Summe der Jordanblockgrößen zum Faktor $(\lambda -a_{j})^{2}+b_{j}^{2}$. Aus diesen Angaben kann man eindeutig die jordansche Normalform $J$ bestimmen.

• Nun bestimme man die Basistransformationsmatrix $P$, das heißt, man sucht eine reelle invertierbare Matrix $P\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, so dass $J=P^{-1}AP$.

Ein gängiges Verfahren, um eine Basistransformation zu erhalten, ist das folgende:

• Man arbeite die Blöcke nacheinander ab. Dabei ist zu beachten, dass man bei Jordanblöcken zum selben irreduziblen Faktor stets vom größten Block zum kleinsten Block vorgeht. Zu jedem Block der Größe $t$ werden $t$ Spalten der Basistransformationsmatrix $v^{1},\ldots ,v^{t}$ nach einem bestimmten Schema bestimmt. Wenn der Block in $J$ die Spalten $m,\ldots ,m+t-1$ belegt, so werden die Vektoren $v^{1},\ldots ,v^{t}$ in $P$ ebenso (von links nach rechts) in die Spalten $m,\ldots ,m+t-1$ eingefügt. Die Vektoren $v^{1},\ldots ,v^{t}$ werden nun wie folgt bestimmt:
  • Zu einem Jordanblock der Größe $m$ zum Eigenwert $\lambda _{j}$ wähle man $v^{m}\in K_{j,m}\setminus [{\rm {Span}}_{\mathbb {R} }(K_{j,m-1}\cup M)]$ beliebig, worin $M$ die Menge der zuvor berechneten Spalten (das heißt Basisvektoren) der Stufe $m$ aus zuvor abgearbeiteten Jordanblöcken zum selben Eigenwert $\lambda$ (sofern vorhanden) bezeichnet. Anschließend setze man sukzessiv $v^{t-1}:=(A-\lambda _{j}I)v^{t}$ für alle $t=m,\ldots ,2$.
  • Zu einem Jordanblock der Größe $2m$ zum irreduziblen Faktor $((\lambda -a_{j})^{2}+b_{j}^{2})$ wähle man einen Vektor $v^{2m}\in K^{j,m}\setminus [{\rm {Span}}_{\mathbb {R} }(K^{j,m-1}\cup M)]$, wobei $M$ aus den bereits berechneten Hauptvektoren der Stufen $2m,2m-1$ zum selben irreduziblen Faktor $((\lambda -a_{j})^{2}+b_{j}^{2})$ besteht.

Dann setze man für $t=2m,\ldots ,2$ sukzessiv $v^{t-1}:=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{b_{j}}}(A-a_{j}I)v^{t}\ ,&{\textrm {falls}}\ t\ {\textrm {gerade}}\ ,\\(A-a_{j}I)v^{t}+b_{j}v^{t+1}\ ,&{\textrm {falls}}\ t\ {\textrm {ungerade}}\ .\\\end{array}}\right.$

Schließlich setzt man $P$ wie gehabt aus den Vektoren $v^{1},\ldots ,v^{2m}$ zusammen.

• Nachdem man auf obige Weise alle Jordanblöcke abgearbeitet hat, werden am Ende alle Spalten von $P$ aufgefüllt. Es gilt: $P$ ist regulär und erfüllt $P^{-1}AP=J$, und ihre Spalten bilden eine Basis, bezüglich derer $A$ die Darstellung $J$ besitzt.

Beispiel

Als erläuterndes Beispiel betrachte man hierzu die Matrix

$B:={\begin{pmatrix}6&-2&6&1&1\\1&-1&2&1&-2\\-2&0&-1&0&-1\\-1&0&-2&2&-1\\-4&4&-6&-2&3\end{pmatrix}}$

wie oben. Es gilt

${\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }(B-1I)^{0}=\emptyset$ und ${\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }(B-1I)={\rm {Span}}_{\mathbb {R} }(\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\-1\\0\\\end{pmatrix}}\})$

und

${\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }((B-2E)^{2}+1^{2}E)={\rm {Span}}_{\mathbb {R} }(\{{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\\-1\\-1\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\\-1\\\end{pmatrix}}\})$ und ${\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }((B-2E)^{2}+1^{2}E)^{2}={\rm {Span}}_{\mathbb {R} }(\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\-1\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\-1\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\-1\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\0\\\end{pmatrix}}\})$.

Ihre Jordannormalform lautet

$J={\begin{pmatrix}1&&&&\\&2&1&&\\&-1&2&1&\\&&&2&1\\&&&-1&2\end{pmatrix}}$.

Man beginne mit dem ersten reellen Eigenwert und da mit dem ersten Jordanblock der Dimension 1. Hier gibt es nicht viele Möglichkeiten, man nehme

$u^{1}\in {\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }(B-1I)^{1}\setminus {\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }(B-1I)^{0}$

"beliebig", also $u^{1}:={\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\-1\\0\\\end{pmatrix}}$. Daraus erhält man $P:={\begin{pmatrix}1&*&*&*&*\\-1&*&*&*&*\\-1&*&*&*&*\\-1&*&*&*&*\\0&*&*&*&*\end{pmatrix}}$.

Nun gehe man zum ersten komplexen Eigenwert und da zum Jordanblock der Größe 2 über. Dazu wähle man

$v^{4}\in {\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }((B-2E)^{2}+1^{2}E)^{2}\setminus {\rm {Span}}_{\mathbb {R} }({\rm {Kern}}_{\mathbb {R} }((B-2E)^{2}+1^{2}E)^{1}\cup \{u^{1}\})$

beliebig, beispielsweise $v^{4}:={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\0\\\end{pmatrix}}$. Dann ist $v^{3}:={\frac {1}{1}}(B-2E)v^{4}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\\-2\\\end{pmatrix}}$, $v^{2}:=(B-2E)v^{3}+bv^{4}={\begin{pmatrix}0\\2\\0\\2\\-2\\\end{pmatrix}}$ und $v^{1}:={\frac {1}{1}}(B-2E)v^{2}={\begin{pmatrix}-4\\0\\2\\2\\2\\\end{pmatrix}}$ zu wählen. Daraus erhält man $P:={\begin{pmatrix}1&-4&0&1&0\\-1&0&2&1&0\\-1&2&0&0&0\\-1&2&2&0&1\\0&2&-2&-2&0\end{pmatrix}}$ eine reguläre Matrix mit $J=P^{-1}BP$.

---

---

Notizen (nicht beachten, dient nur der Erstellung des Entwurfes)

$J_{\mathbb {C} }:={\begin{pmatrix}1&&&&\\&2+i&1&&\\&&2+i&&\\&&&2-i&1\\&&&&2-i\end{pmatrix}}$ ist äquivalent zu $J_{\mathbb {R} }:={\begin{pmatrix}1&&&&\\&2&1&1&\\&-1&2&&1\\&&&2&1\\&&&-1&2\end{pmatrix}}$ und mit Basistransformation $P_{\mathbb {R} }:={\begin{pmatrix}1&1&1&0&1\\1&1&0&0&1\\0&0&1&-1&0\\1&-1&1&1&0\\0&1&-1&0&1\end{pmatrix}}$ folgt $A:=(P_{\mathbb {R} })^{-1}J_{\mathbb {R} }P_{\mathbb {R} }={\begin{pmatrix}6&-2&6&1&1\\1&-1&2&1&-2\\-2&0&-1&0&-1\\-1&0&-2&2&-1\\-4&4&-6&-2&3\end{pmatrix}}$ äquivalent zu den vorigen.

Mit $P_{\mathbb {C} }:={\begin{pmatrix}-2&-2&-2&0&-2\\-3+4i&2-i&-3+4i&-2+i&1+2i\\-2+i&3+i&-3-i&-2+i&1+2i\\-3-4i&2+i&-3-4i&-2-i&1-2i\\-2-i&3-i&-3+i&-2-i&1-2i\end{pmatrix}}$ folgt $A:=(P_{\mathbb {C} })^{-1}J_{\mathbb {C} }P_{\mathbb {C} }={\begin{pmatrix}6&-2&6&1&1\\1&-1&2&1&-2\\-2&0&-1&0&-1\\-1&0&-2&2&-1\\-4&4&-6&-2&3\end{pmatrix}}$

$Q_{\mathbb {R} }=(P_{\mathbb {R} })^{-1}={\begin{pmatrix}-1&2&0&0&-1\\1&0&-1&-1&-1\\1&-1&0&0&0\\1&-1&-1&0&0\\0&-1&1&1&2\end{pmatrix}}$, $Q_{\mathbb {C} }=c(P_{\mathbb {C} })^{-1}={\begin{pmatrix}5&-4-2i&5&-4+2i&5\\-5&-1+2i&0&-1-2i&0\\-5&2+i&-3+i&2-i&-3-i\\-5&1+3i&-4-2i&1-3i&-4+2i\\0&3-i&-2-i&3+i&-2+i\end{pmatrix}}$

---

$J_{\mathbb {C} }:={\begin{pmatrix}2+i&1&&&\\&2+i&&&\\&&2-i&1&\\&&&2-i&\\&&&&1\end{pmatrix}}$ ist äquivalent zu $J_{\mathbb {R} }:={\begin{pmatrix}2&1&1&&\\-1&2&&1&\\&&2&1&\\&&-1&2&\\&&&&1\end{pmatrix}}$ und mit Basistransformation $P:={\begin{pmatrix}1&0&0&1&1\\0&1&-1&0&0\\-1&1&1&0&1\\1&-1&0&1&0\\1&1&0&1&1\end{pmatrix}}$ folgt $A:=P^{-1}J_{\mathbb {R} }P={\begin{pmatrix}-1&2&1&-2&1\\0&-1&0&-1&-2\\0&-2&2&-1&-1\\4&-6&-2&3&-4\\-2&6&1&1&6\end{pmatrix}}$ äquivalent zu den vorigen.

---

$B:={\begin{pmatrix}3&-7&-7&-7&-7&-7&-7&-7&-1\\-2&8&4&2&2&2&2&2&2\\-1&-1&5&3&1&1&1&1&1\\1&1&-1&3&1&-1&-1&-1&-1\\-2&-2&-2&-2&4&2&2&2&2\\7&7&7&7&5&9&-5&-7&-7\\-1&-1&-1&-1&-1&-1&13&1&1\\-3&-3&-3&-3&-3&-3&-3&11&9\\-6&-6&-6&-6&-6&-6&-6&-6&2\\\end{pmatrix}}$

$J_{\mathbb {C} }:={\begin{pmatrix}14&&&&&&&&\\1&14&&&&&&&\\&&10&&&&&&\\&&&4+2i&&&&&\\&&&1&4+2i&&&&\\&&&&&4-2i&&&\\&&&&&1&4-2i&&\\&&&&&&&2+6i&\\&&&&&&&&2-6i\\\end{pmatrix}}$

$J_{\mathbb {R} }:={\begin{pmatrix}14&1&&&&&&&\\&14&&&&&&&\\&&10&&&&&&\\&&&4&2&&&&\\&&&-2&4&1&&&\\&&&&&4&2&&\\&&&&&-2&4&&\\&&&&&&&2&6\\&&&&&&&-6&2\\\end{pmatrix}}$