Benutzer:Filomusa/Dualität endlicher abelscher Gruppen und DFT

Gruppencharaktere und diskrete Fouriertransformation (DFT)

iDFT = Dualität (Spezialfall Pontrjagin, siehe LitHinweis in vdW) Quelle: vdW und Artin (GalTheorie)

Charaktere von Gruppen

→ Hauptartikel: Charakter (Mathematik)

Definition

$G\to K^{*}$.

Punktweise Verknüpfung von Charakteren liefert Gruppenstruktur auf Charakteren ${\hat {G}}$.

Spezialfall

Das Bild endlicher Gruppen besteht aus Einheitswurzeln. Es genügt die Gruppe der Einheitswurzeln zu betrachten, deren Ordnung gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen der Gruppenelemente ist. Dies darf kein Vielfaches der Körpercharakteristik sein.

Spezialfall

Bei zyklische Gruppe $G=\langle \sigma \rangle$ der Orndnung legt schon $\chi (\sigma )$ den Charakter $\chi$ vollständig fest. Die Abbildung $h_{\sigma }\colon {\widehat {G}}\to \mu _{n}(K),\,\chi \mapsto \chi (\sigma )$ ist (gemäß der punktweisen Verknüpfung auf ${\widehat {G}}$) ein Homomorphismus, zwar aus Anzahlgründen ein Isomorphismus.

Spezialfall

Zyklische Gruppen liefern beidseitig nicht entartete Paarung $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon {\hat {G}}\times G,\,\langle \sigma ,x\rangle \mapsto \sigma (x)$. Diese induziert also eine kanonische Isomorphie $G\to {\hat {\hat {G}}}$.

Verallgemeinerung

Da abelsche Gruppen Moduln über dem Hauptidealring $\mathbb {Z}$ sind, liefert der Elementarteilersatz eine Verallgemeinerung auf endlich erzeugte abelsche Torsionsgruppen, also endliche abelsche Gruppen.

Summenformel (Charakterrelation)

Nach dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind spannt ${\widehat {G}}$ den $n$-dimensionalen Vektorraum $V$ der Abbildungen $f\colon G\to K$ über $K$ auf. Mit Hilfe der Charakterformel gilt

Umformulierung als Matrixgleichung

Spezialfall $K=\mathbb {C}$

$V$ ist Hilbert-Raum vermöge $...$. Die obige Gleichung ist die Zerlegung bezüglich einer Hilbert-Basis (Fourier-Zerlegung).

Verallgemeinerungen

Siehe auch: Orthogonalitätsrelationen , Pontrjagin-Dualität und Darstellungstheorie endlicher Gruppen