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Symmetrische Polynome

Zum einschlägigen Artikel: Zwei Beweise zum Hauptsatz über symmetrische Polynome $A[X_{1},\dots ,X_{n}]^{S_{n}}=A[\sigma _{k}^{(n)},k=1,\dots ,n]$:

• mit Hilfe Induktion nach der Ordnung symmetrischer Polynome gemäß einem Grundgedanken von E. Waring (Meditationes algebraicae) und der Fortentwicklung von Gauß (Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factorem realis primi vel secundi gradus resolvi posse, Werke Band III, S. 36 (oder Seite 31?)) oder
• mit Hilfe von Induktion nach dem Symmetriegrad (Cauchy Exercices de mathématiques, 4ème année).

Siehe auch Wolfgang Krull: Elementare klassische Algebra vom modernen Standpunkt (o.ä) (= Goeschen. Band 930). Walter de Gruyter, 1937, S. 182. .

Elementarsymmetrische Polynome

(früher: Symmetrische Grundfunktionen bzw. -polynome)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.

Für den Symmetriegrad $n\geq 1$ sei $N_{n}:=\{1,\dots ,n\}$, und für eine Teilmenge $I\subset N_{n}$ bezeichne $|I|:=\#I$ die Anzahl der Elemente. Die elementarsymmetrischen Polynome zum Symmetriegrad $n$ vom homogenen (Total-)Grad $k\geq 0$ sind definiert als $\sigma _{k}^{(n)}(X_{1},\dots ,X_{n}):=\sum _{I\subset N_{n} \atop |I|=k}\prod _{i\in I}X_{i}\in R[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}2]$.

Die Anzahl der Summanden (Monome) ist demnach gleich $\#\left\{I\;|\;I\subset N_{n}\land |I|=k\right\}={\binom {n}{k}}$, also insbesondere gleich $1$ für $k\in \{0,n\}$.

Das Polynom $\sigma _{n}^{(n)}=X_{1}\cdots X_{n}$ ist $n$-stufig multilinear, d. h. linear in jeder der $n$ Unbestimmten und folglich homogen vom Grade $n$. Die übrigen elementarsymmetrischen Polynome $\sigma _{k}^{(n)}$ sind ebenfalls homogen vom Grade $k$, aber nicht multilinear.

In $R[X_{1},\dots ,X_{n}][X]$ gilt $\prod _{i=1}^{n}(X-X_{i})=\sum _{i=0}^{n}\,(-1)^{i}\sigma {(n)}_{i}X^{n-i}$. Von besonderem Interesse sind dabei $\sigma _{1}^{(n)}=X_{1}+\cdots +X_{n}$ (Spur) und $\sigma _{n}^{(n)}=X_{1}\cdots X_{n}$ (Norm).

Für $k=0$ erhält man also das leere Produkt gebildet über der leeren Indexmenge $I=\emptyset$, mithin das konstante Einspolynom $\sigma _{0}^{(n)}(X_{1},\dots ,X_{n})=1$.

Für $k>n$ liefert dies die leere Summe, also das Nullpolynom: $\sigma _{k}^{(n)}(X_{1},\dots ,X_{n})=0$.

Potenzsummen

$\pi _{k}^{(n)}(X_{1},\dots ,X_{n}):=\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}$. Für $k=0$ liefert dies das konstante Polynom $\pi _{k}^{(n)}(X_{1},\dots ,X_{n}):=\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{0}=n$.

Potenzproduktsummen

Nach Perron, Seite 157.

Newtonsche Formeln

Siehe Aufgabe bei v. d. Waerden, Hasse/Klobe. Siehe Text bei Perron, Weber, etc.pp.

Bemerkung 1: Elemetarsymmetrische Polynome und Potenzsummen sind algebraisch abhängig, denn für $N\geq 0$ gilt:

$\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}\sigma _{k}^{(n)}\pi _{N-k}=0$.

Für $N>n$ verschwinden einige Glieder der Summe, so dass diese sich zu $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sigma _{k}^{(n)}\pi _{N-k}=0$ verkürzt.

Hauptsatz für symmetrische Polynome

Siehe van der Waerden (nach Waring und Gauß) Lang (nach Cauchy), Weber(/Fricke) (beide Beweismethoden) und Perron (vier Beweise) etc.pp.

Oder Beweis nach Furtwängler: Hasse, HA, Aufgabensammlung: 2.V.§23, Aufgabe 3, Seite 175.

Oder als Folge der Galois-Theorie.

Wichtig dabei: Welche minimale Potenz des Leitkoeffizienten eines Polynoms $f$ kann für die Definition der Diskriminante gewählt werden, damit diese noch eine ganzrationale Polynom in den elementarsymmetrischen Polynomen ist? Dies hängt nämlich davon ab, welche Potenz beim Differenzenprodukt der Nullstellen die höchste ist, siehe dazu Weber und Eugen Netto.

Aussage über das Monom höchsten Grades bei Fricke ist von Interesse, auch abzuleiten aus dem Beweis bei vdW. Das Gewicht des darstellen Polnyoms muss gleich dem Grad des symmetrischen Polynoms sein. Genauer: Wenn das symmetrische Polynom das Monom $X_{1}^{k_{1}}\cdots X_{n}^{k_{n}}$ als Monom höchster lexikalischer Ordnung besitzt, so dass also dessen „Ordnung“ $(k_{1},\dots k_{n})$ mit $k_{1}\geq \dots \geq k_{n}$ ist, so ist das führende Monom des darstellenden Polynoms $\Xi _{1}^{k_{1}-k_{2}}\cdot \Xi _{2}^{k_{2}-k_{3}}\cdots \Xi _{n-1}^{k_{n-1}-k_{n}}\cdot \Xi _{n}^{k_{n}}$ mit Gewicht $k_{1}-k_{2}+2(k_{2}-k_{3})+\dots +(n-1)(k_{n-1}-k_{n})+nk_{n}=\sum _{i}k_{i}$. Ist das Polynom sogar homogen und symmetrisch, so haben ja alle Monome gleichen Grad (bzw. gleiches Gewicht).

Speziell für die Diskriminante, die symmetrisch und homogen vom Homogenitätsgrad $2n(n-1)$ ist, folgt …

Gewicht: Im Kontext eines Polynoms, in das elementarsymmetrische Polynome eingesetzt werden: $\operatorname {wt} (X_{1}^{n_{1}}\cdot \dots \cdot X_{k}^{n_{k}})=\sum _{i=1}^{k}i\cdot n_{i}$. Das Gewicht eines Polynoms ist das Maximum der Gewichte seiner Polynome. Haben alle Monome dasselbe Gewicht, so heißt das Polynom isobar, und bei Einsetzung der elementarsymmetrischen Polynome ergibt sich eine homogenes symmetrisches Polynom.

Zyklante oder Zirkulante

Verbindung zu Matrixkriterium für Normalbasis. Die Zyklante müsste ein neues Licht auf den zyklischen Fall einer Normalbasis werfen oder aber deutlich machen, weshalb der Artinsche Beweis im zyklischen Falle endlicher Körper nicht gelingt.

Hasse/Klobe: Aufgaben zur Zyklante.

Es bezeichne $K$ einen Körper. Betrachte die quadratische Matrix in den $n$ Unbestimmten $X_{i},\,i=0,\dots ,n-1$:

$Z(X_{0},X_{1},X_{2},\dots ,X_{n-1}):={\begin{pmatrix}X_{0}&X_{1}&X_{2}&\cdots &X_{n-3}&X_{n-2}&X_{n-1}\\X_{n-1}&X_{0}&X_{1}&\cdots &X_{n-4}&X_{n-3}&X_{n-2}\\X_{n-2}&X_{n-1}&X_{0}&\cdots &X_{n-5}&X_{n-4}&X_{n-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\X_{3}&X_{4}&X_{5}&\cdots &X_{0}&X_{1}&X_{2}\\X_{2}&X_{3}&X_{4}&\cdots &X_{n-1}&X_{0}&X_{1}\\X_{1}&X_{2}&X_{3}&\cdots &X_{n-2}&X_{n-1}&X_{0}\\\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X_{i},\,i=0,\dots ,n-1])=\operatorname {Mat} (n\times n,K)[X_{i},\,i=0,\dots ,n-1]$

Durch Einsetzen von $X_{i}\mapsto 1\cdot \delta (i,0)\in K$ (Kronecker Delta) wird $Z(1,0,0,\cdots ,0)=E$ die Einheitsmatrix, während mit $X_{i}:=1\cdot \delta (i,k)\in K$ Matrizen $N_{k}\in \operatorname {GL} (n,K)$ entstehen, die Potenzen der ersten unter ihnen sind, das heißt: Mit $N:=N_{1}$ gilt also:

• $N_{k}=N^{k}=Z(0,\dots ,0,{\stackrel {k{\text{-te Stelle}} \atop \downarrow }{1}},0,\dots ,0)$,
• $N^{n}=E$,
• $\det N=(-1)^{n-1}$ (durch Entwicklung nach erster Spalte oder letzter Zeile) und daher
• $\det N^{k}=(-1)^{(n-1)k}$.

Die Matrix $N$ ist die Frobeniussche Begleitmatrix (bzw. ihre Transponierte) zum Polynom $X^{n}-1$: Ihr Minimal- und ihr charakteristisches Polynom sind gleich: $\chi _{N}(X)=X^{n}-1=\mu _{N}(X)\in K[X]$. Nullstellen dieses Polynoms sind die $n$-ten Einheitswurzeln über $K$, die im $n$-ten Kreisteilungskörper $K[\zeta _{n}]$ von $K$ liegen, gegebenenfalls schon in $K$ selbst. Dabei bezeichne $\zeta :=\zeta _{n}$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, so dass ihre Potenzen die gesamte Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln ausschöpfen und die Gleichung $\prod _{i=0}^{n-1}(X-\zeta ^{i})=X^{n}-1=(X-1)\cdot \sum _{i=0}^{n-1}X^{i}$ gilt.

Daraus folgt:

$\prod _{i=1}^{n-1}(\zeta ^{k}-\zeta ^{i})=\sum _{i=0}^{n-1}\zeta ^{ki}={\begin{cases}n\cdot 1_{K}\in K,&{\text{falls }}k\equiv 0{\bmod {n}},\\0\in K,&{\text{andernfalls.}}\end{cases}}$

Da $N$ zyklisch ist und die $n$ (nur für $n\not \equiv 0{\bmod {\operatorname {Char} }}K$ notwendig verschiedenen) Eigenwerte $\zeta ^{i}\;(i=0,\dots n-1)$ besitzt, ist $N$ zu einer Matrix in Diagonalgestalt $\operatorname {diag} (\zeta ^{0},\zeta ^{1},\zeta ^{2},\dots ,\zeta ^{n-1})$ ähnlich. Die Ähnlichkeitstransformation liefert (bis auf passende Normierung) die Vandermonde-Matrix

$V:=V(\zeta ^{0},\zeta ^{1},\zeta ^{2},\dots ,\zeta ^{n-1})={\begin{pmatrix}1&1&1^{2}&\cdots &1&1&1\\1&\zeta ^{1}&\zeta ^{1\cdot 2}&\cdots &\zeta ^{1\cdot (n-3)}&\zeta ^{1\cdot (n-2)}&\zeta ^{1\cdot (n-1)}\\1&\zeta ^{2}&\zeta ^{2\cdot 2}&\cdots &\zeta ^{2\cdot (n-3)}&\zeta ^{2\cdot (n-2)}&\zeta ^{2\cdot (n-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\1&\zeta ^{n-3}&\zeta ^{(n-3)\cdot 2}&\cdots &\zeta ^{(n-3)\cdot (n-3)}&\zeta ^{(n-3)\cdot (n-2)}&\zeta ^{(n-2)\cdot (n-1)}\\1&\zeta ^{n-2}&\zeta ^{(n-2)\cdot 2}&\cdots &\zeta ^{(n-2)\cdot (n-3)}&\zeta ^{(n-2)\cdot (n-2)}&\zeta ^{(n-2)\cdot (n-1)}\\1&\zeta ^{n-1}&\zeta ^{(n-1)\cdot 2}&\cdots &\zeta ^{(n-1)\cdot (n-3)}&\zeta ^{(n-1)\cdot (n-2)}&\zeta ^{(n-1)\cdot (n-1)}\end{pmatrix}}$, jedoch nur unter der Voraussetzung, dass eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: <Nachweis? Genügt Voraussetzung? n Primzahl?>

• $V\in \operatorname {GL} (n,K[\zeta ])$ (d.h., $V$ ist regulär).
• $\det V\neq 0$.
• Das Polynom $X^{n}-1$ hat genau $n$ paarweise verschiedene Nullstellen.
• Das Polynom $X^{n}-1$ hat in seinem Zerfällungskörper keine mehrfachen Nullstellen.
• Sein Zerfällungskörper ist separabel über $K$.
• Die Charakteristik $\operatorname {Char} K=:p$ geht nicht in $n$ auf.

In diesem Fall ist also

$N=Z(0,1,0,\dots ,0)={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0&0&0\\0&0&1&\cdots &0&0&0\\0&0&0&\cdots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&0&\cdots &0&0&1\\1&0&0&\cdots &0&0&0\\\end{pmatrix}}\approx VNV^{-1}={\begin{pmatrix}\zeta ^{0}&0&0&\cdots &0&0&0\\0&\zeta &0&\cdots &0&0&0\\0&0&\zeta ^{2}&\cdots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\zeta ^{n-3}&0&0\\0&0&0&\cdots &0&\zeta ^{n-2}&0\\0&0&0&\cdots &0&0&\zeta ^{n-1}\\\end{pmatrix}}$.

Auch auf diese Weise wird klar, dass $\det N=\prod _{i=0}^{n-1}\zeta ^{i}=\zeta ^{\frac {(n-1)n}{2}}=\left.{\begin{cases}(-1)^{n-1}{\text{, falls }}n{\text{ gerade,}}\\1^{\frac {n-1}{2}}{\text{, falls }}n{\text{ ungerade.}}\end{cases}}\right\}=(-1)^{n-1}$.

Mit dem Polynom $g(X)=\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}\cdot X^{k}\in K[X_{i},\,i=0,\dots ,n-1][X]$ gilt also $Z:=Z(X_{0},X_{1},X_{2},\dots ,X_{n-1})=g(N)\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X_{i},\,i=0,\dots ,n-1])$.

Nun gilt für jedes Polynom $f\in K[X]$ und für beliebige Matrizen $A\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)$ und $B\in \operatorname {GL} (n,K)$ die Beziehung: $B\cdot f(A)\cdot B^{-1}=f(BAB^{-1})$.

Die Eigenwerte ähnlicher Matrizen $A$ und $A'=BAB^{-1}$ stimmen überein und stehen (ohne Einschränkung) in der Hauptdiagonalen von $A'$. Für $i=1,\dots ,n$ seien $\alpha _{i}$ die Eigenwerte von $A$ (also mit Vielfachheit genannt), so sind daher $f(\alpha _{i})$ die Eigenwerte von $f(A)$, und es gilt $\det A=\prod _{i}\alpha _{i}$ und $\det f(A)=\prod _{i}f(\alpha _{i})$.

Die Zyklante $Z(X_{0},\dots ,X_{n-1})$ hat also die $n$ Eigenwerte $g(\zeta ^{i})=\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}\cdot \zeta ^{ik}\in K[X_{i},i=0,\dots ,n-1]$, und zwar für jedes $i\in \{0,\dots ,n-1\}$ einen.

Es ist also

${\begin{aligned}\det Z&=\det g(N)=\det g(VNV^{-1})\\&=\det g(\operatorname {diag} (\zeta ^{i},i=0,\dots ,1))=\prod _{i=0}^{n-1}g(\zeta ^{i})\\&=\prod _{i=0}^{n-1}\left(\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}\cdot \zeta ^{ik}\right)=\sum _{k=0}^{n-1}\left(\prod _{i=0}^{n-1}\zeta ^{ik}\cdot X_{k}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{(n-1)k}\cdot X_{k}^{n}\\&=\left.{\begin{cases}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}X_{k}^{n}{\text{, falls }}n{\text{ gerade, }}\\\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}^{n}{\text{, falls }}n{\text{ ungerade.}}\end{cases}}\right\}=\sum _{k=0}^{n-1}(\pm 1)^{k}X_{k}^{n}{\text{, wobei das }}\left.{\begin{cases}{\text{Pluszeichen, falls }}n{\text{ ungerade, }}\\{\text{Minuszeichen, falls }}n{\text{ gerade}}\end{cases}}\right\}{\text{ zu wählen ist.}}\end{aligned}}$

Der Teiler $\sum X_{k}$ ist leicht zu erkennen, indem man zu einer ausgewählten Zeile alle übrigen addiert und diese nach Laplace entwickelt.

Die Beweise von Lang und Artin nutzen die Unendlichkeit des Grundkörpers, um die Existenz einer Nullstelle für das Determinantenpolynom der regulären Matrix $[X_{\sigma \tau }]_{\tau }^{\sigma }$ sicherzustellen.

Lässt sich die Existenz solcher Nullstellen auf bei endlichem Grundkörper unter bestimmten Voraussetzungen erzwingen? Wann genau schlägt die Argumentation mit dieser Matrix fehl?

Diese reguläre Matrix ist im Falle abelscher Erweiterungen symmetrisch und im Falle zyklischer Erweiterungen hängt sie mit der Zyklante zusammen. Dazu allerdings ist es besser, die reguläre Matrix $[X_{\sigma ^{-1}\tau }]_{\tau }^{\sigma }$ zu betrachten, die durch diejenige Permutation auf $G$ entsteht, welche die Inversion $\sigma \mapsto \sigma ^{-1}$ erzeugt. Auf diese Weise nämlich wechselt das Einselement $\sigma ^{0}$ von der Nebendiagonale in die Hauptdiagonale. Die Symmetrie besteht dann freilich zur Nebendiagonale, nicht zur Hauptdiagonale, die Matrix ist also eine persymmetrische Matrix:

${\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\cdots &\sigma ^{n-3}&\sigma ^{n-2}&\sigma ^{n-1}\\\sigma ^{n-1}&\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\cdots &\sigma ^{n-4}&\sigma ^{n-3}&\sigma ^{n-2}\\\sigma ^{n-2}&\sigma ^{n-1}&\sigma ^{0}&\cdots &\sigma ^{n-5}&\sigma ^{n-4}&\sigma ^{n-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\\sigma ^{3}&\sigma ^{4}&\sigma ^{5}&\cdots &\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&\sigma ^{3}&\sigma ^{4}&\cdots &\sigma ^{n-1}&\sigma ^{0}&\sigma ^{1}\\\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}&\cdots &\sigma ^{n-2}&\sigma ^{n-1}&\sigma ^{n}(=\sigma ^{0})\end{pmatrix}}$

Fasst man, wie im Beweis von Serge Lang, die Automorphismen $\sigma ^{i}$ als Unbestimmte $X_{i}$ auf, so handelt es sich also um die Zyklante, deren Determinante oben unter der Voraussetzung berechnet wurde, dass für die Charakteristik des Körpers gilt: $\operatorname {Char} K=:p\not \mid n$.

Der kritische Fall

Der Beweis von Lang grundsätzlich auch für zyklische Erweiterungen, er gerät jedoch in Gefahr bei endlichem Grundkörper: Lässt sich dann eine Nullstelle in ihm finden? in diesem Fall ist die Charakteristik notwendig positiv: $p:=\operatorname {Char} K$.

Kritisch ist insbesondere der Fall $n=p^{r}$. Welche Gestalt hat dann die Determinante der Zyklante? Ist sie vom Nullpolynom verschieden, die Zyklante regulär? Nach obigen Formeln ist dann

• $\det N=1$ und $\det N^{p^{r}}=1$.
• $\det Z=\sum _{k=0}^{p^{r}-1}X_{k}^{p}=\left(\sum _{k=0}^{p^{r}-1}X_{k}\right)^{p^{r}}$,

da die Primzahl entweder ungerade ist oder aber bei $p=2$ die Gleichheit $1=-1$ besteht. Diese Formeln lassen sich im Übrigen auch direkt herleiten. Dabei ist $1\in K$ die einzige, also eine $p^{r}$-fache Nullstelle von $X^{p^{r}}-1$.

Zusammenhang der Beweise nach Lang und Artin

Zugleich enthüllt die Zyklante, wie Artins und Langs Beweis zusammenhängen: Das Lagrangesche Interpolationspolynom $p(X)=\sum _{i=0}^{n-1}p_{i}X^{i}\in L[X]$ aus Artins Beweis ist nämlich die Lösungen des Ansatzes mit der Vandermonde-Matrix $V=V(\alpha _{0},\dots ,\alpha _{n-1})$, wenn für die Stützstellen die Konjugierten $\sigma (\alpha )=\alpha _{i}$ eines primitiven Elements $\alpha =\alpha _{0}$ mit Minimalpolynom $\mu (X)$ gewählt werden:

$V\cdot {\begin{pmatrix}p_{0}\\p_{1}\\\vdots \\p_{n-2}\\p_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}}$

und für die konjugierten Interpolationspolynome $\sigma (p(X))=:p^{\sigma }(X)=\sum _{i=0}^{n-1}p_{i}^{\sigma }X^{i}$ entsprechend:

$V\cdot {\begin{pmatrix}p_{0}^{\sigma }\\p_{1}^{\sigma }\\\vdots \\p_{n-2}^{\sigma }\\p_{n-1}^{\sigma }\end{pmatrix}}={\big (}\delta (\sigma ,\tau {\big )}^{\tau \in G}$

wobei $V:=V(\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n-1})=V\left((\tau (\alpha ))^{\tau \in G}\right)={\big (}1,\alpha ^{1},\alpha ^{2},\cdots ,\alpha ^{n-3},\alpha ^{n-2},\alpha ^{n-1}{\big )}^{\tau \in G}={\big [}\tau (\alpha ^{i}){\big ]}_{0\leq i\leq n-1}^{\tau \in G}$

Für weitere interessante Dinge zur Zirkulante wie Fourier-Transformation etc. siehe den Artikel Zyklische Matrix.

Resultante

Siehe auch Oskar Perron, Algebra 1: $\deg \operatorname {ggT} (f,g)+\operatorname {Rang} (\operatorname {Sylvestermatrix(f,g)} )=\deg f+\deg g$. Für $\deg \operatorname {ggT} (f,g)>0$ folgt Resultantenkriterium. (Beweis von Perron in Sitzungsberichte der Bayer. Akademie 1928). $R(f,g)$ ist multiplikativ in beiden Argumenten, dazu mit Faktor $(-1)^{\deg f\cdot \deg g}$ (anti)symmetrisch.

Jacobson, Basic Algebra, Abschnitt 5.4 (Tarski).

Hasse/Klobe, HA2, 2.III.§11, Aufgabe 22 (elementarsymmetrische Funktionen), 23 (Resultante) und 24 (Determinantenkriterium) für $(f(X),g(X))=1$.

van der Waerden, \dots vdW verweist auch auf F. S. Macauley: Algebraic Theory of Modular Systems, §3, 1916 Cambridge, insbesonder für den Beweis von

$\mathrm {R} (f,g):=a_{0}^{m}b_{0}^{n}\prod _{i}\prod _{k}(x_{i}-y_{,})=a_{0}^{m}\prod _{i}g(x_{i})=(-1)^{nm}b_{0}^{n}\prod _{k}f(y_{k})$

Für die Diskriminante gilt:

$\pm a_{0}\Delta (f)=a_{0}^{2n-1}\prod _{i\neq k}(x_{i}-x_{k})=\mathrm {R} (f,f')$, und umgekehrt (mit $g=f'$)

$\Delta (f)=n^{n}a_{0}^{n-1}\prod _{k}f(y_{k})$.

Siehe auch Eugen Netto (Resultante des Polynoms mit den Kehrwerten der Wurzeln als Wurzeln u.v.a.m.)

Diskriminante

Auch zur Diskriminante (und ihrer Normierung) vergleiche Perron.

Eine Diskriminante (lat.: discriminare, trennen, unterscheiden) ist eine Kennzahl, die einen mathematischen Untersuchungsgegenstand klassifiziert und damit eine hilfreiche Fallunterscheidung gestattet. Berühmt-berüchtigtes Beispiel ist der Diskriminante quadratischer Gleichungen $x^{2}+px+q=0$: An ihr lässt sich ablesen, ob die Gleichung genau zwei verschiedene reelle Lösungen $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$ besitzt oder nur eine $x_{1}=x_{2}\in \mathbb {R}$ oder gar keine reelle Lösung (sondern komplexe Lösungen $x_{1},x_{2}\in \mathbb {C}$).

Definition

Die Diskriminante eines (normierten) Polynoms $f(X)=X^{n}+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}X^{i}\in K[X]$ mit Nullstellen in einem Zerfällungskörper $X_{1},\dots ,X_{n}\in W\subset K$ ist definiert als $\operatorname {\Delta } (f):=\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})^{2}=(-1)^{\binom {n}{2}}\prod _{i,j}(x_{i}-x_{j})$.

Die Diskriminante lässt sich auch mit Hilfe der Resultante definieren, wenn mit $f'$ die Ableitung (Derivation) des Polynoms bezeichnet wird. Es gilt dann:

$\pm a_{0}\operatorname {\Delta } (f)=a_{0}^{2n-1}\prod _{i\neq k}(x_{i}-x_{k})=\operatorname {R} (f,f')$, und umgekehrt (mit $g=f'$)

$\operatorname {\Delta } (f)=n^{n}a_{0}^{n-1}\prod _{k}f(y_{k})$.

Auch für nicht normierte Polynome lässt sich die Diskriminante definieren, doch gibt es hier Abweichungen hinsichtlich des positiven Normierungsfaktors in der Literatur. Doch der gängige Normierungsfaktor ist so die kleinstmögliche Potenz $a_{0}^{N}$ des Leitkoeffizienten, so dass die Diskriminante ein ganzrationales Polynom in den elementarsymmetrischen Funktionen $a_{1},\dots ,a_{n}$ der Wurzeln bleibt, also ein Element von $\mathbb {Z} [a_{1},\dots ,a_{n}]$ ist und nicht etwa erst in $\mathbb {Z} [a_{0}^{-1},a_{1},\dots ,a_{n}]$ zu finden ist. Dies bedingt die Wahl von $N=2(n-1)$. Konsistenz mit dem Kontext herstellen.

Diskriminante einer quadratischen Gleichung

Für $f(X)=X^{2}+pX+q=(X-x_{1})(X-x_{2})$ mit Nullstellen $x_{1},x_{2}$ ist (mit Hilfe der quadratischen Ergänzung) $\operatorname {\Delta } (f)=(x_{1}-x_{2})^{2}=x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=(-p)^{2}-4q=p^{2}-4q$.

Damit ist $x_{i}={\frac {-2p\pm {\sqrt {\Delta }}}{4}}$.

Alternativ gerechnet mit Nullstelle $y=-{\frac {p}{2}}$ von $f'(X)=2X+p$:

$\operatorname {\Delta } (f)=-f(y)$ bzw.

$\operatorname {\Delta } (f)=f'(x_{1})f'(x_{2})$, alles verifizieren, incl. Vorzeichen.

Diskriminante eines Polynoms

Diese obige elementare Beispiel zur Mitternachtsformel zeigt bereits Wesentliches: Ohne die Wurzeln (Lösungen) einer Gleichung zu kennen, möchte man anhand der Diskriminante Aussagen über die Lösungen treffen können: Sind sie paarweise voneinander verschieden oder fallen zwei in einer zusammen?

$f(X)=X^{n}+a_{1}X^{n-1}+a_{1}X^{n-1}+\dots +a_{n-1}X+a_{n}\in K[X]$

Zerfällt das Polynom in einem Erweiterungskörper $L$ von $K$ in Linearfaktoren $f(X)=\prod _{i}(X-x_{i})$, so sind diese $x_{i}\in L$ also Lösungen der Gleichung $f(x)=0$ in $L$. Dabei sind die Koeffizienten $a_{i}$ symmetrische Polynome in den Lösungen: $a_{i}=(-1)^{i}\sigma _{i}(x_{1},\dots x_{n})$.

Ob zwei Lösungen $x_{k},x_{l}$ zusammenfallen (also gleich sind $x_{k}=x_{l}$), lässt sich an folgendem Differenzenprodukt ablesen: $\prod _{i\neq j}(x_{i}-x_{j})$. Es verschwindet, sobald nur zwei der $x_{i}$ gleich sind. Dieses Produkt lässt sich aufspalten in zwei Faktoren: $\prod _{i\neq j}(x_{i}-x_{j})=\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})\cdot \prod _{i>j}(x_{i}-x_{j})$. Beide Faktoren unterscheiden sich möglicherweise um ihr Vorzeichen: $\prod _{i>j}(x_{i}-x_{j})=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})$, je nachdem ob $4|n(n-1)=n^{2}-n$ oder nicht. Also ist

${\begin{aligned}\prod _{i\neq j}(x_{i}-x_{j})&=\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})\cdot \prod _{i>j}(x_{i}-x_{j})\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\left(\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})\right)^{2}\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\left(\prod _{i>j}(x_{i}-x_{j})\right)^{2}\end{aligned}}$

Man definiert die Diskriminante als Polynom in den Unbestimmten $X_{1},\dots ,X_{n}$ als $D(X_{1},\dots ,X_{n}):=\left(\prod _{i<j}(X_{i}-X_{j})\right)^{2}=\prod _{i<j}\left(X_{i}-X_{j}\right)^{2}$.

Zusammenhang mit der Vandermonde-Determinante

Für die Vandermonde-Determinante gilt die Polynomidentität in den Unbestimmten $X_{i}\;(i=1,\dots ,n)$: $\det V(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})=\det V((X_{i}))=\det {\begin{pmatrix}1&X_{1}&X_{1}^{2}&\cdots &X_{1}^{n-1}\\1&X_{2}&X_{2}^{2}&\cdots &X_{2}^{n-1}\\1&X_{3}&X_{3}^{2}&\cdots &X_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&X_{n}&X_{n}^{2}&\cdots &X_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i})$

Also gilt $D((X_{i}))=\left(\det V((X_{i}))\right)^{2}$, so dass $\prod _{i\neq j}(X_{i}-X_{j})=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\cdot D(X_{i})=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\cdot (\det V(X_{i}))^{2}$

Andererseits ist $\left(\det V((X_{i}))\right)^{2}=\det \left(V(X_{i})^{t}\cdot V(X_{i})\right)=\det \left(\pi _{i+j}^{(n)}\right)_{0\leq j<n}^{0\leq i<n}$, wobei $\pi _{i}^{(n)}=\sum _{k=1}^{n}X^{i}$ die $i$-te Potenzsumme in $n$ Unbestimmten bezeichne.

Es ist also $D(X_{i})=\left(\det V(X_{i})\right)^{2}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\cdot \prod _{i\neq j}(X_{i}-X_{j})=\det \left(\pi _{i+j}^{(n)}\right)_{0\leq j<n}^{0\leq i<n}=\det {\begin{pmatrix}\pi _{0}^{(n)}&\pi _{1}^{(n)}&\pi _{2}^{(n)}&\cdots &\pi _{n-1}^{(n)}\\\pi _{1}^{(n)}&\pi _{2}^{(n)}&\pi _{3}^{(n)}&\cdots &\pi _{n}^{(n)}\\\pi _{2}^{(n)}&\pi _{3}^{(n)}&\pi _{4}^{(n)}&\cdots &\pi _{n+1}^{(n)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\pi _{n-1}^{(n)}&\pi _{n}^{(n)}&\pi _{n+1}^{(n)}&\cdots &\pi _{2n-2}^{(n)}\end{pmatrix}}$

Die Diskriminante ist offensichtlich ein symmetrisches Polynom $X_{i}$.

Partielle Ableitungen

Aufgabe bei vdW, vorgerechnet bei Weber/Fricke und Netto.