Benutzer:FridtjofNansen/DoppelPendel

Herleitung der Bewegungsgleichung des Doppelpendels

massenlos, reibungsfrei, starr! Winkel sind wie definiert? Skizze!

Um die Bewegungsgleichung des Doppelpendels herzuleiten muss zuerst das Koordinatensystem definiert werden. Der Ursprung des Systems liegt bei (0,0) und ist auch der Ursprung des ersten Pendelarmes mit $l_{1}$. Die y-Achse ist als positiv nach oben definiert.

Die Bewegungsgleichungen werden mittels der Positionen der Massen $m_{1}$ und $m_{2}$hergeleitet. Jedoch werden dann die Winkel betrachtet, da diese die Bewegung genau so gut beschreiben jedoch die Anzahl der Gleichungen reduzieren. Die Winkel werden genutzt um die Geschwindigkeit und damit die kinetische und potentielle Energie der Massen zu bestimmen. Die beiden Energien ergeben zusammen die Lagrange-Funktion des Systems welche dann in die Euler-Lagrange Gleichung gesetzt wird und damit zwei Gleichungen geben, die Entwicklung der Winkel mit der Zeit angeben.

Gleichungen

Position m1

$x_{1}=l_{1}sin(\theta _{1})$

$y_{1}=-l_{1}cos(\theta _{1})$

Position m2

$x_{1}=l_{1}sin(\theta _{1})+l_{2}sin(\theta _{2})$

$y_{1}=-l_{1}cos(\theta _{1})-l_{2}cos(\theta _{2})$

Geschw m1

$u_{1}={\frac {\partial x_{1}}{\partial \theta _{1}}}={\dot {\theta _{1}}}l_{1}cos(\theta _{1})$

$v_{1}={\frac {\partial y_{1}}{\partial \theta _{1}}}={\dot {\theta _{1}}}l_{1}sin(\theta _{1})$

Geschw m2

$u_{2}={\frac {\partial x_{2}}{\partial \theta _{2}}}+u_{1}={\dot {\theta _{2}}}l_{2}cos(\theta _{2})+u_{1}$

$v_{2}={\frac {\partial y_{2}}{\partial \theta _{2}}}+v_{1}={\dot {\theta _{2}}}l_{2}sin(\theta _{2})+v_{1}$

Mit $L=T-V$ (der Lagrange-Gleichung) und $T_{1}={\frac {1}{2}}m_{1}(u_{1}^{2}+v_{1}^{2})$ und $T_{2}={\frac {1}{2}}m_{2}(u_{2}^{2}+v_{2}^{2})$ und $V_{1}=m_{1}gy_{1}$und $V_{2}=m_{2}gy_{2}$ folgt:

$T=T_{1}+T_{2}={\frac {1}{2}}{\dot {\theta _{1}^{2}}}l_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}(m_{2}{\dot {\theta _{2}^{2}}}l_{2}^{2}+m_{2}{\dot {\theta _{1}^{2}}}l_{1}^{2}+2m_{2}{\dot {\theta _{1}}}l_{1}{\dot {\theta _{2}}}l_{2}cos(\theta _{1}-\theta _{2}))$und

$V=V_{1}+V_{2}=-m_{1}gl_{1}cos(\theta _{1})-m_{2}gl_{1}cos(\theta _{1})-m_{2}gl_{2}cos(\theta _{2})$.

Zusammen ergibt das für die Lagrange-Funktion:

$L={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2}){\dot {\theta _{1}}}^{2}l_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\theta _{2}}}^{2}l_{2}^{2}+m_{2}{\dot {\theta _{1}}}l_{1}{\dot {\theta _{2}}}l_{2}cos(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})gl_{1}cos(\theta _{1})+m_{2}gl_{2}cos(\theta _{2})$Mittels der Euler-Lagrange-Gleichung (ist das der richtige Link???) :

${\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta _{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial \theta _{i}}}=0$

lässt sich dann erhalten:

${\ddot {\theta _{1}}}=-{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\frac {l_{2}}{l_{1}}}({\ddot {\theta _{2}}}cos(\theta _{1}-\theta _{2})+{\dot {\theta _{2}^{2}}}sin(\theta _{1}-\theta _{2}))-{\frac {g}{l_{1}}}sin(\theta _{1})$${\ddot {\theta _{2}}}=-{\frac {l_{1}}{l_{2}}}({\ddot {\theta _{1}}}cos(\theta _{1}-\theta _{2})-{\dot {\theta _{1}^{2}}}sin(\theta _{1}-\theta _{2}))-{\frac {g}{l_{2}}}sin(\theta _{2})$.

Dies sind die Winkelbeschleunigungen für die $\theta _{1}$und $\theta _{2}$und beschreibung die Evolution des Systems mit der Zeit in Abhängigkeit von den Längen, Massen und der Erdbeschleunigung.

Evaluierung des chaotischen Verhaltens

Zur Betrachtung des chaotischen Verhaltens des Doppelspendels gibt es eine Reihe von Möglichkeiten. Oft kann mittels einfachster Berechnungen eine Aussage über chaotisches Verhalten getroffen werden.

MLE

Der MLE ist der sog. maximaler/größter Ljapunow-Exponent (maximum Lyapunov exponent) und beschreibt die "Stärke" des chaotischen Verhaltens. Er ist Bestandteil des Ljapunow-Spektrums welches alle Ljapunow-Exponenten (je einer pro Freiheitsgrad). Man geht davon aus, dass das System eine Störung in der Richtung des MLE hat und da er das größte Wachstum zeigt, ist zu erwarten, dass der MLE nach einer gewissen Zeit die Evolution des Systems dominiert. Ein positiver MLE zeigt normalerweise ein chaotisches System an. Er wird approximiert mit:

$\lambda _{max}(t)={\frac {1}{t}}\ln \left({\frac {||\delta (t)||}{||\delta (t=0)||}}\right)$.

Bei zwei Experimenten mit einer anfänglichen Separation von ${\textstyle \delta (t=0)\backsim {\mathcal {O}}(10^{-8})}$ in den Anfangsbedingungen oder sogar weniger, verstärkt sich diese Differez exponetiell und lässt die Trajektorien divergieren. Die Separation (der natürliche Logarithmus der obigen Gleichung) kann dann in einem halblogarithmischen Diagramm gegen die Zeit aufgetragen werden. Dann wird mittels linearer Regression die Steigung bestimmt und diese gibt dann den approximierten MLE.

Bifurkationsdiagram

Bifurkationsdiagramme sind eine Möglichkeit komplexe Informationen über den Phasenraum eines dynamischen Systems in einen zweidimensionalen, visualisierbaren Plot zu komprimieren. Üblicherweise wird die qualitative Änderungen des Verhaltens eines Systems mittels der Variation eines geeigneten Parameters untersucht. So können für das Doppelpendel bspw. das Verhältnis der Massen, das Verhältnis der Längen, die Erdbeschleunigung oder die Anfangsbedingungen herangezogen werden. Durch die kontinuierliche Veränderung des gewählten Bifurkationsparameters wird das System auf Stabilität (periodische, quasi-periodische Lösungen) bzw. auf Chaos geprüft.

Darstellung der Bifurkation eines Doppelpendels mit gleichen Längen, gleichen Massen, ${\textstyle g=9.81{\frac {m}{s^{2}}}}$ für $\theta _{1}=\theta _{2}$bei ${\dot {\theta _{2}}}=0$. Die rote Linie zeigt die Bifurkation des Doppelpendels von harmonischen Oszillationen zu chaotischen Ozillationen.

Wenn man die anfänglichen Winkel ${\textstyle \theta _{1}=\theta _{2}}$als den Bifurkationsparameter wählt, lässt sich das qualitativ veränderliche Verhalten des Doppelpendels sehr gut veranschaulichen. Dazu werden die beiden Winkel simultan Stück für Stück erhöht und für jedes Inkrement wird das Doppelpendel erneut integriert (berechnet). Mit diesen Daten lässt sich dann veranschaulichen, wie das System schwingt. Man hat also einen vier-dimensionalen Phasenraum der sich aus ${\textstyle \theta _{1},\theta _{2},{\dot {\theta _{1}}},{\dot {\theta _{2}}}}$zusammensetzt. Praktischerweise oszillieren die Winkelgeschwindigkeiten ${\textstyle {\dot {\theta _{1}}},{\dot {\theta _{2}}}}$, obwohl mit unbestimmter Amplitude, um Null. Daher ist zu erwarten, dass beide immer wieder die Null überqueren. Für ein harmonisch schwingendes System (periodische Lösung) sind die Nullüberquerungen von ${\dot {\theta _{1}}},{\dot {\theta _{2}}}$ an festen Punkten, da das System immer an bestimmten Punkten (${\textstyle \theta _{1},\theta _{2}}$) seine Auf- und Abwärtsbewegung beendet und zurückschwingt. Das ist vergleichbar mit einem normalen starren Pendel. Daher ist im Umkehrschluss zu erwarten, dass das chaotisch schwingende System an allen möglichen Punkten (${\textstyle \theta _{1},\theta _{2}}$) die Winkelgeschwindigkeit Null zeigt. Wenn man dann eine "Scheibe" aus dem Phasenraum gesondert betrachtet, bspw. Winkelgeschwindigkeit ${\textstyle {\dot {\theta _{2}}}=0}$, kann man die Bifurkation des Verhaltens zwei-dimensional darstellen indem man die Winkelgeschwindigkeit ${\textstyle {\dot {\theta _{1}}}}$ gegen die veränderliche Anfangsbedingung aufträgt (siehe rechts).