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Das Axiom der abhängigen Auswahl (Abk. DC, von englisch „Axiom of Depedent Choice“. auch „Principle of Dependent Choice“) ist ein Axiom der Mengenlehre. Es ist eine schwache Version des Auswahlaxiom, dass aber zum Beispiel in der Analysis ausreicht, um zu zeigen, dass Stetigkeit äquivalent zur Folgenstetigkeit ist. Aus dem Axiom folgt das Auswahlaxiom für abzählbare Mengen, es ist aber schwächer als das volle Auswahlaxiom. In der deskriptiven Mengenlehre wird es manchmal als Ersatz für das Auswahlaxiom gebraucht.

Das Axiom wurde 1942 von Paul Bernays formuliert.

Axiom der abhängigen Auswahl

• Wenn $E$ eine zweistellige Relation auf der nichtleeren Menge $A$ ist und es für alle $a\in A$ ein $b\in A$ mit $bEa$ gibt, dann gibt es eine unendliche Folge $\langle a_{0},a_{1},\ldots \rangle$ mit $a_{i}\in A$, so dass für alle $n\in \mathbb {N} \ a_{n+1}Ea_{n}$ gilt.

Anschaulich ausgedrückt: Wenn man von jedem Element aus eine Stufe tiefer steigen kann, dann gibt es einen Weg, der einen unendlich tief führt. Der intuitive Beweis des Axioms durch eine rekursive Definition:

• $a_{0}:=a$ (beliebig)
• $a_{n+1}:=$ ein Element der Menge $\{a\in A|aEa_{n}\}$ (nach Vorraussetzung ist diese Menge nicht leer)

benötigt das Auswahlaxiom, da unendlich oft ein Element ausgewählt werden muss.

Folgerungen

Es folgt direkt aus dem Axiom der abhängigen Auswahl, dass eine lineare Ordnung $<$ auf einer Menge A genau dann eine Wohlordnung ist, wenn es keine unendliche Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gibt mit $a_{n+1}<a_{n}$.

Abzählbare Auswahlaxiom

Die Aussage des abzählbaren Auswahlaxioms ist:

• Jede abzählbare Familie von nicht leeren Mengen besitzt eine Auswahlfunktion.

Das abzählbare Auswahlaxiom folgt aus DC, denn auf der Menge aller Auswahlfunktionen von endlichen Teilmengen der abzählbaren Familie erfüllt die Relation $\supset$ die Voraussetzungen des Axioms der abhängigen Auswahl. Eine unendliche Folge definiert dann eine Auswahlfunktion.

Literatur

• Thomas Jech: Set Theory. 3. millenium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2, S. 50f.
• Gregory H. Moore: Zermelo’s axiom of choice. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1982, ISBN 3-540-90670-3. 
• Paul Bernays: A System of Axiomatic Set Theory I-VII, in: Journal of Symbolic Logic, Teil III in Band 7 (1942) S. 65ff. Gesamtedition in: Sets and classes, on the work of Paul Bernays, Herausgeber Gert H. Müller, Amsterdam, New York, Oxford, 1976. S. 1-119

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