Benutzer:Frogfol/spielwiese/In Arbeit/Modallogisches System

Ein modallogisches System ist eine Erweiterung der Aussagenlogik oder auch der Prädikatenlogik um modallogische Symbole. Die Sprache wird um die modalen Operatoren $\Box$ und $\Diamond$ erweitert, die die Begriffe Notwendigkeit beziehungsweise Möglichkeit formalisieren. Ebenfalls erweitert werden die Ableitungsregeln und die Semantik. Es gibt unterschiedliche gebräuchliche Systeme wie zum Beispiel K, T, B, S4 und S5.

Formale Definition

Symbole

Die Sprache besteht aus folgenden Zeichen:

• Abzählbar vielen Symbolen für Sätze: $p,r,\ldots$
• Die vier Symbole: $\neg ,\vee ,(,)$
• Die modallogischen Symbole: $\Box ,\Diamond$

Satzbildungsregeln

• Jede Satzvariable ist eine Aussage
• Sind $\phi$ und $\psi$ Aussagen, dann auch:
  • $\neg \phi$
  • $(\phi \vee \psi )$
  • $\Box \phi$

Als Abkürzung werden verwendet:

• $(\phi \wedge \psi ):=(\neg \phi \vee \neg \psi )$
• $(\phi \to \psi ):=(\neg \phi \vee \psi )$
• $\Diamond \psi :=\neg \Box \neg \phi$

Ableitungsregeln

Es gibt folgende Axiomschemata:

• A1: $(\alpha \to (\beta \to \alpha ))$
• A2: $(\alpha \to (\beta \to \gamma ))\to ((\alpha \to \beta )\to (\alpha \to \gamma ))$
• A3: $(\alpha \to (\neg \alpha \to \beta ))$
• A4: $(\alpha \to \beta )\to ((\neg \alpha \to \beta )\to \beta )$

Folgende Regeln gibt es:

• K: $\Box (\alpha \to \beta )\to (\Box \alpha \to \Box \beta )$
• MP: $\alpha ,(\alpha \to \beta )\vdash \beta$
• NR: $\alpha \vdash \Box \alpha$

Literatur

• Ulf Friedrichsdorf: Einführung in die klassische und intensionale Logik. Vieweg, ISBN ISBN 3-528-06489-7(?!). 
• George Edward Hughes, Max Cresswell: Einführung in die Modallogik. De Gruyter, ISBN ISBN 3-11-004609-1(?!). 
• George Edward Hughes, Max Cresswell: A new introduction to modal logic. Routledge, London 1996, ISBN 0-415-12599-5 (gebunden) 0-415-12600-2 (Taschenbuch)(?!). 

Kategorie: Philosophische Logik