Benutzer:Frogfol/spielwiese/In Arbeit/Zariski-Tangentialraum

Der Zariski-Tangentialraum (meist nur Tangentialraum) ist in der algebraischen Geometrie das Analogon zu dem Tangentialraum der Differentialgeometrie, in der einem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein Vektorraum zuordnet wird. Um einem Punkt einer Varietät einen affinen Unterraum des umgebenen Raumes zuzuordnen, werden die analytischen Methoden der Differentialgeometrie in eine algebraische Sprache übersetzt. In der Sprache der modernen algebraischen Geometrie wird der Tangentialraum eines Schemas intrinsisch, also ohne Bezugnahme auf einen umgebenen Raum definiert.

Tangentialraum einer affinen Hyperfläche

Sei im Folgenden $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper $\mathbb {A} _{k}^{n}$ der affine $n$-dimensionale Raum und $f\in k[X_{1},\dots ,X_{n}]$ ein irreduzibles Polynom. $H$ sei die durch $f$ definierte Hyperfläche

$H:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in A_{k}^{n}|f(x_{1},\dots ,x_{n})=0\}$

Ist $P$ ein Punkt der Hyperfläche, so ist eine Gerade eine Tangente an $H$ im Punkt $P$, wenn sie eine mehrfache Schnittpunkt mit $H$ im Punkt $P$ hat. Algebraisch ausgedrückt bedeutet das:

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei $P$ der Nullpunkt. (Nach einem Koordinatenwechsel kann man dies stets erreichen.) Ist $(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathbb {A} _{k}^{n}$ ein beliebiger Punkt, so hat die Gerade

$g:=t\cdot (a_{1},\dots ,a_{n}),$

die durch den Nullpunkt und $(a_{1},\dots ,a_{n})$ geht, genau in den Nullstellen des Polynoms $p\in k[t]$:

$p:=f(t\cdot a_{1},\dots ,t\cdot a_{n})$

Schnittpunkte mit $H$.

Das Polynom $p$ ist von der Form

$p=\alpha _{0}+\alpha _{1}x^{1}+\cdots \alpha _{1}x^{k}$

Da Null ein Schnittpunkt ist, ist $\alpha _{0}=0$. Ist nun auch $\alpha _{1}=0$, so hat die Gerade einen mehrfachen Schnittpunkt mit $H$ im Nullpunkt und ist eine Tangente an $H$. Die Vereinigung aller Tangenten ist ein affiner Unterraum und wird als der Tangentialraum von $H$ bezeichnet.

Literatur

• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9
• Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2000, ISBN 3-528-03156-5.
• Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6

Kategorie:Algebraische Geometrie