Benutzer:Hagman/divergente Reihe

Eine Summationsmethode oder Summationsverfahren ist ein mathematisches Verfahren, das einer Reihe einen (Summen-)Wert zuordnet, möglicherweise sogar in Fällen, in denen die Reihe divergiert, d.h. wenn die Folge ihrer Teilsummen keinen Grenzwert hat.

Eines der bekanntesten Beispiele für eine divergente Reihe ist die harmonische Reihe

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},

deren Teilsummen nicht beschränkt sind. Je nach Kontext kann es aber durchaus sinnvoll sein, auch solch einer divergenten Reihe einen „Summen“-Wert zuzuordnen. Dieser braucht in keinem anschaulichen Zusammenhang mit den Teilsummen zu stehen, könnte beispielsweise negativ sein, obwohl alle Teilsummen positiv sind.

Beispielsweise liefert die Cesàro-Summation (s.u.) für die divergente Reihe

1-1+1-1\pm \cdots

,

deren zugehörige Teilsummen immer abwechselnd 1 und 0 sind, den Wert ${\tfrac {1}{2}}$ . Die Cesàro-Summation basiert auf einer Mittelwertbildung, andere Methoden beruhen auf der Fortsetzung zugehöriger analytischer Funktionen. Besonders in der Physik werden zahlreiche verschiedene Methoden zur Regularisierung verwendet.

Äquivalent zum Summieren einer divergenten Reihe ist es, einer divergenten Folge (nämlich der Teilsummen) einen verallgemeinerten „Grenz“-Wert zuzuordnen.

Formale Definition

Sei $K$ ein Körper (i.a. der Körper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen oder der Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen). Ein Summationsverfahren $\Phi$ ist eine partielle Abbildung von der Menge $K^{\mathbb {N} }$ der $K$ -wertigen Folgen nach $K$ , also eine auf einer Teilmenge $X\subseteq K^{\mathbb {N} }$ definierte Abbildung $\Phi \colon X\to K$ .

Bemerkung: In dieser Form besteht noch kein Zusammenhang mit der Summation konvergenter Reihen. Dies ergibt sich erst im Zusammenspiel mit weiteren Eigenschaften, insb. Regularität (s.u.).

Schreibweisen

Ein Beispiel für ein Summationsverfahren ist die in diesem Artikel mit $\Sigma$ bezeichnete gewöhnliche Summierung konvergenter Reihen:

{\begin{array}{rccl}\Sigma \colon &{\bigl \{}(a_{n})_{n=0}^{\infty }\mid \lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}a_{n}{\textrm {\ existiert}}{\bigr \}}&\to &K\\&(a_{n})_{n=0}^{\infty }&\mapsto &\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}a_{n}\end{array}}

.

Mit $D$ wird in diesem Artikel die lineare Abbildung in $K^{\mathbb {N} }$ bezeichnet, die die Glieder einer Folge in $K^{\mathbb {N} }$ um eins nach links verschiebt und das erste Glied fortlässt:

{\begin{array}{rccl}D\colon &K^{\mathbb {N} }&\to &K^{\mathbb {N} }\\&(a_{n})_{n=0}^{\infty }&\mapsto &(a_{n+1})_{n=0}^{\infty }\end{array}}

.

Eigenschaften von Summationsmethoden

Zwei Summationserfahren $\Phi \colon X\to K$ und $\Psi \colon Y\to K$ heissen konsistent, falls sie dort übereinstimmen, wo beide definiert sind, falls also $\Phi (\mathbf {a} )=\Psi (\mathbf {a} )$ für alle $\mathbf {a} \in X\cap Y$ gilt, oder kurz: $\Phi |_{X\cap Y}=\Psi |_{X\cap Y}$ . Gilt zusätzlich $Y\subseteq X$ , so heisst $\Phi$ mindestens so stark wie $\Psi$ . Dies definiert eine Halbordnung auf der Menge der Summationsverfahren.

Die folgenden Eigenschaften sind besonders wünschenswert:

Regularität: Die Summationsmethode $\Phi$ regulär, falls sie mindestens so stark wie $\Sigma$ ist, d.h. für $\mathbf {a} =(a_{n})_{n=0}^{\infty }$ gilt $\Phi (\mathbf {a} )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ , falls die Reihe konvergiert.
Linearität: Die Summationsmethode $\Phi \colon X\to K$ $\Phi \colon X\to K$ heisst linear, falls $X$ $X$ ein Untervektorraum und $\Phi$ $\Phi$ ein lineares Funktional ist, d.h.
1. falls $\Phi (\mathbf {a} )$ und $\Phi (\mathbf {b} )$ definiert sind, so ist auch $\Phi (\mathbf {a} +\mathbf {b} )$ definiert und es gilt $\Phi (\mathbf {a} +\mathbf {b} )=\Phi (\mathbf {a} )+\Phi (\mathbf {b} )$ , und
2. falls $c\in K$ ein Skalar aus dem Grundkörper ist, so ist mit $\Phi (\mathbf {a} )$ auch $\Phi (c\cdot \mathbf {a} )$ definiert und es gilt $\Phi (c\cdot \mathbf {a} )=c\cdot \Phi (\mathbf {a} )$ .
Stabilität: Die Summationsmethode $\Phi$ heisst stabil, wenn endlich viele Summanden „herausgezogen“ oder vorangestellt werden können, formal: $D^{-1}(X)=X$ und für alle $\mathbf {a} \in X$ gilt $\Phi (\mathbf {a} )=a_{0}+\Phi (D(\mathbf {a} ))$ .

Bemerkungen: Die Methode $\Sigma$ ist trivialerweise regulär, linear und stabil. Aber nicht jede in Anwendungen wichtige Summationsmethode erfüllt alle drei Kriterien. So ist die Borel-Summation nicht stabil und einige bedeutende Extrapolations-Methoden aus der Numerik sind weder regulär noch linear.

Verallgemeinerter Grenzwert

Ist $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$ eine Folge, so kann man dieser umkehrbar eindeutig eine Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}$ zuordnen, indem man $d_{0}=a_{0}$ und ansonsten $d_{n}=a_{n}-a_{n-1}$ setzt. Dann gilt

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}

und insb. konvergieren entweder beide Seiten oder keine. Wendet man auf der rechten Seite anstelle der gewöhnlichen Summation $\Sigma$ eine Summationsmethode $\Phi$ an, so ergibt sich auf diese Weise für die linke Seite eine Verallgemeinerung des Grenzwert-Begriffs. Formal ist dies ebenfalls zunächst nur eine partielle Abbildung $\Lambda \colon K^{\mathbb {N} }\to K$ . Eventuelle Eigenschaften der benutzten Summationsmethode $\Phi$ übersetzen sich in ähnliche Eigenschaften des verallgemeinerten Grenzwertes $\Lambda$ :

Ist $\Phi$ regulär, so gilt $\Lambda (\mathbf {a} )=\lim _{n\to \infty }a_{n}$ , wenn die Folge konvergiert.
Ist $\Phi$ linear, so ist auch $\Lambda$ linear
Ist $\Phi$ stabil, so gilt stets $\Lambda (\mathbf {a} )=\Lambda (\mathbf {b} )$ , wenn $\mathbf {b}$ aus $\mathbf {a}$ durch Hinzufügen, Fortlassen oder Veränderung endlich vieler Folgenglieder entsteht.

Beispiele

Cesàro-Summe

Zu einer Folge $\mathbf {a} =(a_{n})_{n=0}^{\infty }$ betrachte die Teilsummenfolge $(s_{n})_{n=0}^{\infty }$ , gegeben durch $s_{n}=a_{0}+\cdots a_{n}$ . Hierzu wiederum bilde man die Mittelwerte

t_{n}={\frac {s_{0}+\cdots +s_{n}}{n+1}}.

Setze

C_{1}(\mathbf {a} ):=\lim _{n\to \infty }t_{n},

sofern der Grenzwert existiert. Die so erklärte (gewöhnliche) Cesàro-Summe $C_{1}$ ist eine reguläre, stabile, lineare Summationsmethode und stärker als die gewöhnliche Summation. Bildet man erneut Mittelwerte

u_{n}={\frac {t_{0}+\cdots +t_{n}}{n+1}},

so gelangt man zu

C_{2}(\mathbf {a} ):=\lim _{n\to \infty }u_{n},

und durch weiteres Wiederholungen der Mittelwertbildung zu höheren Cesàro-Summen $C_{3}$ , $C_{4}$ usw., die sämtlich regulär, stabil und linear sind. Lässt man den Schritt der Mittelwertbildung aus, ergibt sich noch $C_{0}=\Sigma$ . Für $m>k$ ist dann stets $C_{m}$ stärker als $C_{k}$ .

Verallgemeinerung: Nørlund-Summation

Anstelle des arithmetischen Mittels, wie es bei der gewöhnlichen Cesàro-Summation eingesetzt wird, kann man gewichtete Mittelwerte betrachten. Sei $p_{0},p_{1},p_{2}\ldots$ eine Folge positiver Zahlen mit

\lim _{n\to \infty }{\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}=0

.

Wiederum ausgehend von der Partialsummenfolge $(s_{n})$ betrachte

t_{n}={\frac {p_{n}s_{0}+p_{n-1}s_{1}\cdots +p_{0}s_{n}}{p_{0}+\cdots p_{n}}}

und setze

N_{p}(\mathbf {a} ):=\lim _{n\to \infty }t_{n},

sofern der Grenzwert existiert. Die Nørlund-Methode ist regulär, linear und stabil und zwei zu verschiedenen $p$ gehörige Nørlund-Methoden sind konsistent. Die Cesàro-Summe $C_{k}$ ( $k>0$ ) ergibt sich als Spezialfall, wenn man

p_{n}={n+k-1 \choose n}

wählt, die gewöhnliche Summation ergibt sich mit $p_{0}=1$ und $p_{n}=0$ sonst.

Abelsche Summation

(Der Begriff ist nicht zu verwechseln mit: Abelsche partielle Summation.)

Zur gegebenen Folge $\mathbf {a} =(a_{n})_{n=0}^{\infty }$ wird die Potenzreihe

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}

.

betrachtet. Die Abelsche Summation $A$ setzt

A(\mathbf {a} ):=\lim _{x\to 1^{-}}f(x),

sofern die Potenzreihe für alle $x$ mit $0<x<1$ konvergiert und der Grenzwert existiert.

Die Abelsche Summation ist regulär, linear und stabil. Zudem ist sie stärker als die Cesàro-Summation $C_{k}$ für jedes $k$ .

Verallgemeinerung der Abelschen Summation

Potenzreihen sind spezielle verallgemeinerte Dirichlet-Reihen. Entsprechend kann man die Abelsche Summation verallgemeinern: Sei $\lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots$ eine unbeschränkte, streng monotone Folge nichtnegativer reeller Zahlen. Die verallgemeinerte Dirchlet-Reihe

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\exp(-\lambda _{n}x)

konvergiere für alle positiven $x$ . Dann ist die verallgemeinerte Abel-Summation $A_{\lambda }$ definiert über die stetige Fortsetzung nach 0, sofern diese existiert, also als

A_{\lambda }(a):=\lim _{x\to 0^{+}}f(x)

.

Die gewöhnliche Abelsche Summation ergibt sich als Spezialfall durch Substitution $x\leftarrow \ln x$ mit der Wahl $\lambda _{n}=n$ .

Verallgemeinerte Abelsche Summationen sind regulär, linear und stabil, aber zwei zu verschiedenen $\lambda$ -Folgen gehörige sind nicht immer konsistent.

Sätze über Summationsmethoden

Für eine gegebene Summationsmethode $\Phi$ ist der Nachweis ihrer eventuellen Regularität bedeutsam. Ein solches Resultat wird auch Abelscher Grenzwertsatz für $\Phi$ genannt, in Anlehnung an Abels ursprünglichen Grenzwertsatz für Potenzreihen. Für Summationsmethoden, die stärker als $\Sigma$ sind, kann man in der Gegenrichtung überlegen, unter welchen zusätzlichen (Wachstums-)Bedingungen an die $a_{n}$ aus der $\Phi$ -Summierbarkeit auch die Konvergenz der Reihe folgt. Ein solches Resultat wird als Tauberscher Satz für $\Phi$ bezeichnet, wiederum in Anlehnung an das entsprechende ursprüngliche Resultat Alfred Taubers betreffend Potenzreihen und die Wachstumsbedingung $a_{n}=o({\tfrac {1}{n}})$ .

Das Lemma von Zorn lässt sich auf die „stärker als“-Halbordnung anwenden, wodurch die Existenz einer regulären, linearen, stabilen Fortsetzung $\Phi$ von $\Sigma$ auf den gesamten Vektorraum $K^{\mathbb {N} }$ aller Folgen gezeigt werden kann. Aufgrund der nicht-konstruktiven Natur des Zornschen Lemmas lässt sich jedoch keine solche Fortsetzung konkret angeben, so dass die Existenzaussage für die praktische Anwendung eher bedeutungslos ist. Im Fall $K=\mathbb {R}$ kann man $\Sigma$ auf den Unterraum der Folgen mit beschränkten Partialsummen $s_{n}$ sogar derart fortsetzen, dass auch für die Fortsetzung $\liminf _{n\to \infty }s_{n}\leq \Phi (\mathbf {a} )\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}$ gilt, aber auch dies gelingt nur nicht-konstruktiv.

Axiomatischer Zugang

Nimmt man Regularität, Linearität und Stabilität als Axiome, so kann man viele divergente Reihen durch elementare Umformungen summieren. Beispielsweise ergibt sich im Fall $r\neq 1$ für die geometrische Reihe

{\begin{aligned}G(r)&=\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}&\\&=1+\sum _{k=0}^{\infty }r^{k+1}&{\mbox{ (Stabilität) }}\\&=1+r\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}&{\mbox{ (Linearität) }}\\&=1+rG(r),&{\mbox{ folglich (falls }}r\neq 1{\mbox{)}}\\G(r)&={\frac {1}{1-r}}&\\\end{aligned}}

ohne Betrachtung der Konvergenz. Dies bedeutet jedoch lediglich, dass jede stabile, lineare Summationsmethode $G(r)$ enweder den Wert ${\tfrac {1}{1-r}}$ zuweisen muss oder gar keinen (endlichen) Wert. Für welche $r$ dies aber tatsächlich der Fall ist, hängt von der Summationsmethode ab. So ist für $\Sigma$ der Wert $G(r)$ nur für $|r|<1$ definiert, für alle Mittelwert-bildenden Summationsmethoden allenfalls für $|r|\leq 1$ . In der Tat ergibt sich für die Cesàro-Summation $G(-1)=+1-1+1-1\pm \cdots ={\tfrac {1}{2}}$ . Eine Summationsmethode, die $G(1)$ einen Wert zuweist, kann hingegen nicht zugleich linear und stabil sein, da sich sonst der Widerspruch $G(1)=1+G(1)$ ergäbe.