Benutzer:Hederich/Vorschag

G E O R D N E T E S   P A A R

Geordnete Paare stehen im Zentrum der mathematischen Begriffswelt, sie sind die Basisbausteine vieler mathematischer Objekte (siehe unten Kapitel Verwendung geordneter Paare). Ein geordnetes Paar, auch 2-Tupel genannt, besteht aus zwei Angaben nicht notwendig voneinander verschiedener mathematischer Objekte, wobei eines der beiden ausgezeichnet ist, dieses wird seine linke, erste oder vordere Komponente genannt, das andere seine rechte, zweite oder hintere. Notiert wird ein geordnetes Paar, indem man seine Komponenten, von einem Komma getrennt, hintereinander schreibt, die linke zuerst, und das Ganze in ein geeignetes Klammerpaar, meist dem runden, einschließt.  Mit den Projektionsoperatoren  $\pi _{1},\,\pi _{2}$, erhält man die linke respektive rechte Komponente eines geordneter Paars:   $\pi _{1}(p)\!=\!a,\;\pi _{2}\!=\!b$  für $p\!:=\!(a,b)$. Gleichheit geordneter Paare Der Begriff des geordneten Paars ist durch Peanos Paaraxiom charakterisiert:  Zwei geordnete Paare gelten genau dann als gleich, wenn sowohl ihre ersten als auch ihre zweiten Komponenten gleich sind ,   formal:   $p\!=\!q\iff \pi _{1}(p)\!=\!\pi _{1}(p)\;{\boldsymbol {\wedge }}\;\pi _{2}(q)\!=\!\pi _{2}(q)$. Darstellung geordneter Paare als Mengen In der Literatur finden sich unter anderen für das geordnete Paar $(a,b)$ folgende Darstellungen als Mengen: $\{\{\emptyset ,\{a\}\},\{b\}\}$  zum Tupel-Begriff generalisierbare Darstellung $\{\{\emptyset ,\{a\}\},\{\{b\}\}\}$  (nach Norbert Wiener (1914)) $\{\{a\},\{a,b\}\}\,$  (nach Kazimierz Kuratowski (1921)) gängigste Darstellung. Eine Variante gibt die Definition $(a,b):=\{\{b\},\{a,b\}\}\,$ $\{a,\{a,b\}\}\,$   so genannte kurze Darstellung $\{\{a,{\boldsymbol {1}}\},\{b,{\boldsymbol {2}}\}\},$  wobei ${\boldsymbol {1}}$ und ${\boldsymbol {2}}$ voneinander verschiedene Objekte sind, beide auch verschieden von $a$ und $b$   (nach Felix Hausdorff (1914)) $\{\{\{x\}\}\,{\boldsymbol {\mid }}\,x\in a\}\;{\boldsymbol {\cup }}\;\{\{\emptyset ,\{x\}\}\,{\boldsymbol {\mid }}\,x\in b\}$  (nach Jürgen Schmidt (1966) in Anlehnung an Quine) $a,b$ können hier auch echte Klassen sein. Verwendung geordneter Paare Geordnete Paare sind die elementaren Bausteine vieler mathematischer Strukturen. Beispielsweise werden in der Mengenlehre kartesische Produkte, Relationen, Funktionen, Folgen, als Mengen geordneter Paare definiert, in der Analysis komplexe Zahlen als geordnete Paare mit reellen Zahlen als Komponenten, reelle Zahlen als Mengen (Äquivalenzklassen) unendlicher Folgen (Cauchy-Folgen rationaler Zahlen), rationale Zahlen als Äquivalenzklassen geordneter Paare, deren Komponenten ganze Zahlen sind, ganze Zahlen als Äquivalenzklassen geordneter Paare, deren Komponenten natürliche Zahlen sind, definiert, in der Algebra die algebraischen Strukturen, zum Beispiel Gruppen, Ringe, Körper im Wesentlichen als Funktionen (binäre Verknüpfungen) definiert. Einzelnachweise

T U P E L

Tupel sind endliche Listen, in denen hintereinander mathematische Objekte angegeben sind. Ist $n$ die Länge so einer Liste, dann spricht man von einem $n$-Tupel und notiert es so: $()$, wenn $n$=0, andernfalls: $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ oder $(x_{i})_{i=1}^{n}$, auch mit anderen Klammern, wobei $x_{i}$ seine i-te Komponente (an i-ter Stelle angegebene Objekt) ist. Formal sind Tupel so definiert: $():=\emptyset$,   $(x_{i})_{i=1}^{n}\!:=$ $\{[i,x_{i}]\}_{i=1}^{n}$ oder $\{(x_{i})_{i=1}^{n-1},\{x_{n}\}\}$ (hier eckige Klammern für geordnetes Paar). Zwei Tupel sind genau dann gleich, wenn sie gleichlang und auch ihre korrespondierenden Komponenten gleich sind. 3-Tupel nennt man auch Tripel. In einer anderen Definition des Tupelbegriffs wird jedes mathematische Objekt als 1-Tupel angesehen und jedes geordnete Paar, dessen linke Komponente ein n-Tupel ist, als (n+1)-Tupel. Hier ist weder ein 0-Tupel noch “Länge eines Tupels” noch “i-te Komponente eines Tupels” definiert. Einzelnachweis

R E L A T I O N

Relationen gehören zu den im Zentrum der Mathematik stehenden Begriffe, sie geben Beziehungen zwischen mathematischen Objekten an. Gibt eine Relation 2-er Beziehungen an, dann spricht man von einer binären Relation, gibt sie 3-er Beziehungen an, von einer tertiären Relation und so fort, allgemein: gibt eine Relation Beziehungen zwischen n Objekten an, dann nennt man sie n-stellige Relation. Eine binäre Relation ist eine Menge geordneter Paare, welche jeweils die beiden in Beziehung stehenden Objekte als Komponenten enthalten, bei tertiären Relationen sind es Tripel, bei n-stelligen Relationen n-Tupel. Beispiel einer binären Relation ist die mit dem Symbol “<” bezeichnete Kleiner–als–Relation, das ist die Menge aller geordneten Paare (x,y) reeller Zahlen, deren Differenz negativ ist; man schreibt, wie bei binären Relationen üblich, a<b, wenn (a,b) ein Element dieser Relation ist. Definitionen Mengen gleichlanger Tupel, deren Längen größer als 1 ist, nennt man Relationen, insbesondere n-stellige Relationen, wenn n die Länge ihrer Elemente ist. Basiskonzepte $R$ bezeichnet eine n-stellige Relation. $R$ heißt in der i-ten Position eindeutig, wenn sie keine verschiedenen Elemente enthält, die sich nur in der i-ten Komponente voneinander unterscheiden. Formal:   $\forall x,y\in R\colon {\bigl (}\forall k\in \{1,\ldots ,i\!-\!1,i\!+\!1,\ldots ,n\}\colon$ $\pi _{k}(x)=\pi _{k}(y){\bigr )}\Rightarrow \pi _{i}(x)=\pi _{i}(y)$. Die Menge der i-ten Komponenten der Elemente von $R$ heißt i-ter Komponentenbereich von $R$. Formal: $\mathrm {K} _{i}(R):=\{\pi _{i}(x)\mid x\in R\}$. Ist $p$ eine Permutation des n-Tupels (1, 2 . . . n), dann nennt man diejenige Relation, die aus $R$ hervorgeht, indem in jedem ihrer Elemente die i-te Komponente gegen die $\pi _{i}(p)$–te austauscht, $p$–Inverse von $R$. Die (n, . . . 2, 1)–Inverse von $R$ nennt man einfach Inverse von $R$. Formal: $\mathrm {Inv} _{p}(R):=\{(\pi _{\pi _{i}(p)}(x))_{i=1}^{n}\mid x\in R\}.\quad R^{-1}:=\mathrm {Inv} _{(n,...2,1)}(R)$. Relationsarten Eine n-stellige Relation $R$ heißt binär, tertiär und so fort, je nachdem n = 2, 3, . . . funktional, wenn sie in der letzten (n-ten) Position eindeutig ist. Relation zwischen den Mengen $A_{1},\ldots A_{n}$, wenn $\mathrm {K} _{i}(R)\!\subseteqq \!A_{i}$  für i = 1, . . . n   (gleichbedeutend mit $R\subseteqq$ ${\color {blue}A_{1}\!\times \!\ldots \!\times \!A_{n}}$ ) homogen auf der Menge $A$, wenn $\mathrm {K} _{i}(R)\subseteqq A$  für i = 1, . . . n. Binäre Relationen Nachstehend bezeichnen $R,S,T$ binäre Relationen. Für $(x,y)\in R$ schreibt man auch $xRy$ Die Relationenverknüpfung von $R,S$ ist definiert als die Relation $S\!\circ \!R:=\{(x,y)\mid \exists \,z\colon \,xRz\land zSy\}$. Die Relationenverknüpfung ist assoziativ: $R\!\circ \!(S\!\circ \!T)=(R\!\circ \!S)\!\circ \!T$. $R$ heißt linkseindeutig, wenn sie in der 1. Position eindeutig ist. rechtseindeutig, wenn sie in der 2. Position eindeutig ist. eineindeutig, wenn sie sowohl links- als auch rechtseindeutig ist. Funktionale Relationen Eine (n+1)-stellige (n ≥ 1) funktionale Relation $f$ heißt n-stellige Funktion oder Funktion mit n Argumenten. Für $(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\in f$ schreibt man auch $f\colon x_{1},\ldots ,x_{n}\mapsto x_{n+1}$, nennt $x_{n+1}$ Wert von $f$ für die Argumente $x_{1},\ldots ,x_{n}$ und bezeichnet diesen mit $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$. $f$ heißt injektiv, wenn aus $f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(y_{1},\ldots ,y_{n})$ folgt, dass $x_{i}=y_{i}$ für i = 1, . . . n. Die Menge $\mathrm {K} _{n+1}(f)$ heißt Wertebereich von $f$ und wird so notiert $\mathrm {W} \!_{f}$. Relationen zwischen Mengen Die Aussage $R\subseteqq {A_{1}\!\times \!\ldots \!\times \!A_{n}}$ heißt in der i-ten Position total oder partiell, je nachdem $\mathrm {K} _{i}(R)=A_{i}$ oder $\mathrm {K} _{i}(R)\subset A_{i}$. Binäre Relationen zwischen Mengen Die Aussage $R\subseteqq {A\!\times \!B}$ heißt links- oder rechtstotal, wenn sie in der 1. respektive 2. Position total ist links- oder rechtspartiell, wenn sie in der 1. respektive 2. Position partiell ist bitotal, wenn sie sowohl links- als auch rechtstotal ist bipartiell, wenn sie sowohl links- als auch rechtpartiell ist Funktionale Relationen zwischen Mengen Die Aussage $f\subseteqq {A_{1}\!\times \!\ldots \!\times \!A_{n}\!\times \!A_{n+1}}$ liest man "$f$ ist eine Funktion aus $A_{1},\ldots A_{n}$ in $A_{n+1}$" und schreibt dafür $f\colon A_{1},\ldots A_{n}\longrightarrow A_{n+1}$. Bei Funktionen mit einem Argument setzt man bei Bedarf in der Aussage $f\colon A\,{\longrightarrow }B$ auf den Pfeil die Buchstaben "i", wenn $f$ injektiv ist "t", wenn $f\colon A\,{\longrightarrow }B$  linkstotal ist "p", wenn $f\colon A\,{\longrightarrow }B$  linkspartiell ist "s", wenn $f\colon A\,{\longrightarrow }B$  rechtstotal ist "b" anstelle der Kombination "is" Lesarten bei Funktionen mit einem Argument (der hinter dem Schrägstrich in der ersten Spalte angegebene Pfeil ist eine Alternative zum davorstehenden) Die Aussage liest man: $f$ ist eine alternativ auch: $f$ ist eine $f\colon A\,{\stackrel {\mathrm {t} }{\longrightarrow }}/\to B$ totale Funktion aus $A$ in $B$ Funktion von $A$ in $B$ $f\colon A\,{\stackrel {\mathrm {ti} }{\longrightarrow }}/\!\rightarrowtail B$ totale injektive Funktion aus $A$ in $B$ injektive Funktion von $A$ in $B$ $f\colon A\,{\stackrel {\mathrm {ts} }{\longrightarrow }}/\!\twoheadrightarrow B$ totale surjektive Funktion aus $A$ in $B$ Funktion von $A$ auf $B$ $f\colon A\,{\stackrel {\mathrm {tb} }{\longrightarrow }}/\!\twoheadrightarrow \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\rightarrowtail B$ totale bijektive Funktion aus $A$ in $B$ injektive Funktion von $A$ auf $B$ $f\colon A\,{\stackrel {\mathrm {p} }{\longrightarrow }}/\!\rightsquigarrow B$ partielle Funktion aus $A$ in $B$ –––––– $f\colon A\,{\stackrel {\mathrm {pi} }{\longrightarrow }}/{\stackrel {i}{\rightsquigarrow }}\,\,B$ partielle injektive Funktion aus $A$ in $B$ –––––– $f\colon A\,{\stackrel {\mathrm {ps} }{\longrightarrow }}/{\stackrel {s}{\rightsquigarrow }}\,\,B$ partielle surjektive Funktion aus $A$ in $B$ partielle Funktion aus $A$ auf $B$ $f\colon A\,{\stackrel {\mathrm {pb} }{\longrightarrow }}/{\stackrel {b}{\rightsquigarrow }}\,\,B$ partielle bijektive Funktion aus $A$ in $B$ partielle injektive Funktion aus $A$ auf $B$ Binäre homogene Relationen auf einer Menge Die Identitätsrelation auf einer Menge $A$ ist die Relation $\mathrm {I} _{A}:=\{(x,x)\mid x\in A\}$. Die Universalrelation auf einer Menge $A$ ist die Relation $\mathrm {U} _{A}:=\{(x,y)\mid x,y\in A\}\;(=\,A\times A)$. Im Kontext einer vorgegebenen Menge verzichtet man bei der Identitätsrelation und der Universalrelation auf die Angabe der Menge, schreibt also einfach nur $\mathrm {I}$ respektive $\mathrm {U}$. Beispiele: Gewöhnliche Vergleichsrelationen auf der Menge $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen ${\leq }\;:=\;\{(x,y)\in {\text{U}}\mid \exists \,z\in \mathbb {R} \colon y\,{\text{I}}\,(x+z^{2})\}$ ${\geq }\;:=\;\,\leq ^{-1}$ ${<}\;:=\;{\leq }\setminus {\text{I}}$ ${>}\;:=\;{<}^{-1}$ ${=}\;:=\;{\text{I}}$ ${\not =}\;:=\;{\text{U}}\setminus {\text{I}}$ Eine binäre homogene Relation $R$ auf $A$ heißt wenn $\forall x,y,z\in A$ in Worten rechtskomparativ $xRz\wedge yRz\Rightarrow xRy$ Ist z sowohl von x als auch von y Partner, dann sind x und y Partner voneinander linkskomparativ $zRx\wedge zRy\Rightarrow xRy$ Sind x und y beide Partner von z, dann sind x und y Partner voneinander transitiv $xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz$ Ist y Partner von x und z Partner von y, dann ist auch z Partner von x intransitiv $xRy\wedge yRz\Rightarrow \neg xRz$ Ist y Partner von x und z Partner von y, dann ist z kein Partner von x reflexiv $xRx$ Jedes x ist Partner seiner selbst irreflexiv $\neg xRx$ Kein x ist Partner seiner selbst symmetrisch $xRy\Rightarrow yRx$ Ist y Partner von x, dann ist auch x Partner von y asymmetrisch $xRy\Rightarrow \neg yRx$ Ist y Partner von x, dann ist x kein Partner von y antisymmetrisch $xRy\wedge yRx\Rightarrow x=y$ Ist y Partner von x und x Partner von y, dann sind x und y gleich vollständig $xRy\lor yRx$ y ist Partner von x oder x ist Partner von y konnex $x\not =y\Rightarrow xRy\lor yRx$ Ist y verschieden von x, dann ist y Partner von x oder x Partner von y trichotom wenn $R$ konnex und asymmetrisch ist quasigeordnet wenn $R$ transitiv und reflexiv ist äquivalent wenn $R$ transitiv, reflexiv und symmetrisch ist teilgeordnet wenn $R$ transitiv, reflexiv und antisymmetrisch ist linear geordnet wenn $R$ vollständig und teilgeordnet ist striktgeordnet wenn $R$ transitiv, irreflexiv und antisymmetrisch ist streng vollgeordnet wenn $R$ konnexe und teilgeordnet ist wohlgeordnet wenn $R$ linear geordnet ist und jede nichtleere Teilmenge von $A$ ein kleinstes Element besitzt Verallgemeinerung Relationen können echte Klassen gleichlanger Tupel, sein Beispiel: Substring-Relation ( $a\oplus b$ ist die Verkettung der Tupel $a,b$ ) $\Subset \;:=\{(x,y)\mid x,y\in {\mathfrak {T}}\;\wedge \;\exists ~u,v\in {\mathfrak {T}}\colon y~\mathrm {I} ~u\oplus x\oplus v\}$.   Z.B. gilt $(3,4,5)\Subset (1,2,3,4,5,6,7,8,9)$. Einzelnachweise und Anmerkungen