Benutzer:Horstlochner/Zwillingsparadox

Das Zwillingsparadox, 2 Beispiele

Vorwort

Hubert Goenner, Professor für theoretische Physik an der Uni Göttingen, begründet in seinem Lehrbuch Einführung in die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie auf Seite 52 anhand eines Beispiels, dass der Effekt des klassischen Zwillingsparadoxons nicht auf der Beschleunigung des umkehrenden Zwillings beruht. Im 2. Beispiel einer Reise mit Beschleunigungs- und Bremsphasen greife ich diesen Gedanken auf. Im 1. Beispiel wird der Alterungsprozess der Zwillinge in einer für Laien verständlichen Form dargestellt. Dabei wird vorausgesetzt, dass der Leser

1) die Verkürzung bewegter Strecken (Längenkontraktion) und

2) die wechselseitig gleiche Geschwindigkeit der Zwillinge (eine keineswegs selbstverständliche Annahme)

akzeptiert.

Zusammenfassung der Ergebnisse

Die Teststrecke kann nur in Bezug auf einen der Zwillinge ruhen, der andere sieht sie an sich vorbeiziehen. Hier liegt die Asymmetrie der Reise. Offenbar altert derjenige schneller, in dessen System die Teststrecke ruht. Die Beispiele zeigen, dass spontane Nachalterung nirgends beobachtet wird. Es gibt auch keine physikalisch nicht begründbaren Zeitabschnitte.

Es ist experimentell bewiesen, dass auch beschleunigte Uhren nachgehen. Bei der klassischen Formulierung des Zwillingsparadoxons werden aber die Beschleunigungsphasen durch die – durchaus unrealistische – Annahme spontaner Geschwindigkeitsänderungen gedanklich eliminiert. Beschleunigung spielt deshalb bei der Lösung des klassischen Zwillingsparadoxons offensichtlich keine Rolle.

1. Beispiel einer Reise mit spontaner Änderung der Geschwindigkeiten

Zunächst nehmen wir an, dass der Erdzwilling, wir nennen ihn Albert , die Teststrecke festlegt: Auf dieser Strecke, einer Geraden, positioniert er identisch gebaute Uhren im Start und dann alle 240000 km. Dann synchronisiert er diese Uhren auf folgende Weise: Er wählt eine Uhr UA aus und schickt von dieser zur Zeit t(A1) ein Signal an eine andere Uhr UB . Dort werde das Signal zur Zeit t(B) reflektiert und gelangt zur Zeit t(A2) zu UA zurück. Die Uhren UA und UB laufen synchron, wenn bei beliebiger Wiederholung des Versuchs immer wieder gilt: t(B) – t(A1) = t(A2) – t(B) . Auf diese Weise synchronisiert Albert alle Uhren der Teststrecke.

Aus Alberts Sicht ruhen die einzelnen Abschnitte dieser Teststrecke. Nehmen wir z. B. an, dass der andere Zwilling, wir nennen ihn Bernd , mit 80% der Lichtgeschwindigkeit weg fliegt. Der Einfachheit halber rechnen wir mit einer Lichtgeschwindigkeit von 300000 km pro Sekunde. Dann stellt Albert fest, dass Bernd 240000 / 0,8 * 300000 Sekunden = 1 Sekunde von einer Uhr zur nächsten braucht; Bernd liest also bei jeder Uhr Alberts, an der er vorbei kommt, 1 Sekunde mehr ab als bei der vorangehenden. Das heißt für Bernd, dass Albert 1 Sekunde älter wird, während eine Strecke an Bernd vorbeifliegt, die von zwei benachbarten Uhren begrenzt wird. Eine solche Strecke ist aber für Bernd eine bewegte Strecke und daher für ihn statt 240000 km nur noch 0,6 * 240000 km = 144000 km lang. Da beide Zwillinge wechselseitig dieselbe Geschwindigkeit haben, braucht Bernd nach seiner Uhr weniger Zeit zur Reise von einer Uhr Alberts zur nächsten, nämlich 144000 / 0,8 * 300000 Sekunden = 0,6 Sekunden. Bernds Uhr bleibt also auf jedem Abschnitt um 0,4 Sekunden weiter hinter den vorbeifliegenden Uhren Alberts zurück; sie geht langsamer. Bernd sieht also förmlich, wie Albert kontinuierlich schneller altert als er selbst.

Stellen wir uns andererseits vor, dass Bernd auf seiner Reise eine Kette von Uhren hinter sich her zieht. Das Band zwischen 2 Uhren sei nach Bernds Maßstab 240000 km lang und die Uhren nach dem oben beschriebenen Verfahren synchronisiert. Aus Bernds Sicht ruhen diese Uhren. Wenn die Erde mit 80% der Lichtgeschwindigkeit an diesen Uhren vorbei fliegt, zeigt jede Uhr 240000 / 0,8 * 300000 Sekunden = 1 Sekunde mehr an als die benachbarte Uhr, als die Erde an dieser vorbeiflog; denn die Erde braucht für die Fahrt von Uhr zu Uhr nach Bernds Eigenzeit 1 Sekunde. Die Abstände dieser Uhren sind von der Erde, also von Albert, aus gesehen aber bewegte Strecken und haben daher nur die Länge von 0,6 * 240000 km = 144000 km . Da diese Strecken mit 80% der Lichtgeschwindigkeit an der Erde vorbeiziehen, vergehen zwischen der Ankunft von 2 benachbarten Uhren auf der Erde nur 144000 / 0,8 * 300000 Sekunden = 0,6 Sekunden. Die irdische Uhr geht jetzt langsamer. Deshalb ist Albert davon überzeugt, dass Bernd schneller altert.

Bis hierher ist klar, warum jeder den anderen schneller alt werden sieht. Erst bei den Anstrengungen der Zwillinge zum Wiedersehen zeigt sich die Asymmetrie der Reise.

Wenn Bernd zurück will, muss er zunächst seine Reise mitsamt seiner Uhrenkette stoppen. Damit wechselt Bernd wieder in das Ruhsystem von Albert. Weil dieser Stop gedanklich zeitlos erfolgt, ändert sich der Stand von Bernds Uhren durch den Stop nicht. Ein Vergleich mit Alberts Uhren zeigt, dass Bernd jünger ist: Wenn an Bernd bis zum Stop seiner Reise n Uhren Alberts vorbeiflogen, ist Bernd n * 0,4 Sekunden jünger als Albert. Von da ab gehen alle Uhren gleich schnell, weil die Zwillinge relativ zueinander an den Enden einer Teststrecke ruhen, die Albert festgelegt hatte, die also aus Alberts Sicht immer unbewegt war. Natürlich verdoppelt sich der Altersunterschied, wenn Bernd genau so schnell wie beim Hinflug zurückreist.

Will Albert zu Bernd fliegen, könnte er z. B. auf die n-te Uhr Bernds aufspringen. Dann ruhen beide Zwillinge relativ zu einander an den Enden einer Teststrecke, die diesmal aber in Bernds System ruht. Alberts Sprung soll wieder zeitlos erfolgen. Daher zeigt ein Uhrenvergleich, dass Albert n * 0,4 Sekunden jünger ist als Bernd. Begibt sich Albert dann aus dem Stand mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit auf die Reise zu Bernd, so verdoppelt sich der Altersunterschied wie im obigen Beispiel bis zur Ankunft bei Bernd, der jetzt älter ist als Albert.

2. Beispiel einer Reise mit Beschleunigungs- und Bremsphasen

Bisweilen wird der Altersunterschied der Zwillinge mit der Beschleunigung begründet, die der Reisende im Wendepunkt seiner Bahn erfährt. Diese Begründung ist nicht stichhaltig. Um das einzusehen, verfolgen wir den Gedanken von Hubert Goenner aus der im Vorwort genannten Quelle und wenden seine Idee auf das obige Beispiel an.

Wir ändern die Reise in der Art ab, dass Albert seinen Bruder zunächst in einer eigenen Rakete begleitet. Beide beschleunigen nebeneinander auf 80% der Lichtgeschwindigkeit. Dann trennen sie sich: Bernd schaltet seinen Raketenmotor ab und fliegt mit unveränderter Geschwindigkeit weiter. Albert kehrt unverzüglich zur Erde zurück: Er bremst seine Rakete bis zum Stillstand gegenüber der Erde, beschleunigt wieder bis auf 80% der Lichtgeschwindigkeit in Richtung Erde und bremst dann kontinuierlich bis zur weichen Landung auf der Erde.

In seiner subjektiven Ruhephase fliegen an Bernd n Uhren Alberts vorbei, die wie oben beschrieben von Albert im Abstand von 240000 km positioniert und synchronisiert wurden. Danach will auch Bernd wieder zur Erde zurück. Deshalb bremst er wie vorher Albert seine Rakete bis zum Stillstand gegenüber der Erde ab und beschleunigt sie wie Albert auf 80% der Lichtgeschwindigkeit in Richtung Erde. Sobald er diese Reisegeschwindigkeit erreicht hat, schaltet er den Motor nochmals ab und lässt – selbst antriebslos – wieder n Uhren Alberts vorbei fliegen. Dann bremst Bernd, wie Albert vorher, seine Rakete ab, um weich neben Albert zu landen.

Beim Wiedersehen zeigt der Vergleich der Uhren, dass Bernd 2 * 0,4 * n Sekunden jünger ist als Albert. Die Entstehung dieses Altersunterschieds hat Bernd während seiner Ruhephasen durch Beobachtung der jeweils beim Hin- und Rückflug vorbei fliegenden n Uhren Alberts kontinuierlich verfolgt, wie im 1. Beispiel beschrieben. Die Beschleunigungs- und Bremsphasen seiner Reise können den Altersunterschied nicht beeinflusst haben, weil beide Zwillinge während der Reise Bernds den gleichen Beschleunigungen – wenn auch teilweise zeitversetzt – ausgesetzt waren.

Sonstiges

Stellungnahmen zu obigen Beispielen sollten ergeben, ob ein Link auf diesen Beitrag im offiziellen Wikipedia-Artikel zum Zwillingsparadoxon erwünscht und sinnvoll wäre.

Ich habe mich mit den axiomatischen und philosophischen Grundlagen der Relativitätstheorie befasst, speziell mit dem Problem der Zeit. Die Ergebnisse habe ich in http://www.helochner.de dargestellt.

Danke für deinen Hinweis auf meiner Seite. Ich war fast ein Jahr nicht mehr hier, daher erst jetzt meine späte Reaktion:

Wenn Bernd zurück will, muss er zunächst seine Reise mitsamt seiner Uhrenkette stoppen. Damit wechselt Bernd wieder in das Ruhsystem von Albert. Weil dieser Stop gedanklich zeitlos erfolgt, ändert sich der Stand von Bernds Uhren durch den Stop nicht. Ein Vergleich mit Alberts Uhren zeigt, dass Bernd jünger ist:

Das ist richtig, nach der bisherigen Betrachtung haben wir aber gesagt, dass Albert beobachtet hat, dass Bernd der ältere ist. Das ist ja die Paradoxie! Dies muss ja wohl erklärt werden. Das gelingt aber eben nur mit Hilfe der ART unter Hinweis auf die erfolgte Beschleunigung.

Außerdem ist zu beachten, dass beim Stop die Uhrenkette wieder auf ihre ursprüngliche Länge wächst, also sich scheinbar ausdehnt.

Die unmittelbar empfangenen Signale besagen ja noch dazu, dass der andere langsamer altert. Das ist ja nun eine zusätzliche Paradoxie zwischen unmittelbarer Beobachtung und Beobachtung der Uhrenkette.

--84.154.23.201 20:30, 24. Sep 2006 (CEST)

zum Beispiel 1.

Nach meiner Ansicht kann nur die Beschleunigung das ZP erklären. Wenn man eine spontane Geschwindigkeitsänderung akzeptieren will, muss man entweder eine spontane Nachalterung akzeptieren oder einen Widerspruch im ZP akzeptieren. Das Beispiel kann dies jedenfalls nicht erklären. Beim Rückflug sehen beide den jeweils anderen langsamer altern, bzw die Uhren schneller altern, so dass beim Zusammentreffen die Paradoxie entsteht, dass jeder meint, der jeweils andere sei jünger oder seine Uhren seinen älter als die eigenen. Das wäre nur zu erklären, wenn beide in Parallelwelten landen, wobei die interessante Frage auftaucht, ob in diesen Parallelwelten beide die gleiche Erinnerung haben, dass sie gleich alt waren, als sie sich trennten. ... bla bla bla Die Annahme spontaner Geschwindigkeitsänderung ist daher dem Grunde nach abzulehnen, wenn nicht gleichzeitig spontane Altersänderung zugelassen wird.

zum Beispiel 2:

weil beide Zwillinge während der Reise Bernds den gleichen Beschleunigungen

Die Beschleunigungen sind nicht äquivalent, da sie in unterschiedlichen Entfernungen ausgeführt wurden. Nach meiner Formel dt = dv/c x s/c kommt es entscheidend auf die Entfernung an, wenn eine Beschleunigung durchgeführt wird. Dies führt bereits bei der Uhrenkette zu unterschiedlichen Auswirkungen bei den verschiedenen Uhren. Allerdings wird ja im Beispiel nicht die Uhrzeit abgelesen, sondern die Uhrenkette wird ja nur als cm-Maß benützt. Es kommt also nur auf die Lorentzkontraktion an und nicht auf die Zeitverschiebung.

Doch für den Vergleich von A und B kommt es auf deren Eigenzeit an, die je nach Abstand zum Zeitpunkt der Beschleunigung unterschiedlich verändert wird.

In beiden Beispielen wird nur die Beobachtung eines der beiden Probanden mit der Wirklichkeit verglichen. Die Paradoxie ergibt sich aber daraus, dass der jeweils andere Teilnehmer genau die gleichen Feststellungen bzw Beobachtungen macht, die dann gerade nicht mit der Wirklichkeit zu vereinbaren sind.

--84.154.48.69 21:00, 24. Sep 2006 (CEST)

zum Literaturbeispiel Seite 59 ff:

"In unserem Beispiel wird keines der Kinder bei der Geburt beschleunigt,"

Das verwundert nicht, da im Abstand (s=) 0 keine Zeitverschiebung stattfindet (dt = dv/c x s/c)

"und den Weg bei der Rückkehr bis zum Erreichen der Geschwindigkeit ( – v ) kann man sich, gemessen an der Weglänge der gesamten Reise, vernachlässigbar klein vorstellen."

Das mag schon sein, dass der während der Beschleunigung (egal ob sehr schnell oder fiktiv spontan) zurückgelegte Weg gering ist, aber darauf kommt es überhaupt nicht an, sondern nur auf den Abstand zum Bezugssystem (dt = dv/c x s/c) da s der Abstand vom anderen Bezugssystem und nicht der während der Beschleunigungsphase zurückgelegte Weg ist.

Diese Veränderung ist aber nur in K zu beobachten

Wieso sollte das so sein, ich muss das genauer lesen, vorerst glaube ich das nicht, nach meiner Ansicht muss diese Betrachtung spiegelbildlich sein und nur die Annahme der Beschleunigung kann das Paradoxon lösen. --rairai 12:58, 24. Sep 2006 (CEST)

Antwort auf –rairai 12:58, 24. Sep 2006 (CEST) : Das mag schon sein, dass der während der Beschleunigung (egal ob sehr schnell oder fiktiv spontan) zurückgelegte Weg gering ist, aber darauf kommt es überhaupt nicht an, sondern nur auf den Abstand zum Bezugssystem (dt = dv/c x s/c) da s der Abstand vom anderen Bezugssystem und nicht der während der Beschleunigungsphase zurückgelegte Weg ist.

Antwort

Was ist der „Abstand vom Bezugssystem“? Ist das der Abstand der Nullpunkte der Bezugssysteme? Ist die Altersdifferenz vom Abstand oder von der Beschleunigung abhängig? Ich wüsste gern die Formeln einer derartigen Abhängigkeit; denn ich kenne nur Formeln für die Abhängigkeit des Altersunterschieds von der Geschwindigkeit. Soll die obige Formel die Beschleunigung dv / dt = c x c / s beschreiben? Wodurch zeichnet sich diese spezielle Beschleunigung gegenüber anderen Beschleunigungen aus? Ich stelle Ihnen per e-mail eine Berechnung auf ART-Basis zur Verfügung, aus der sich ergibt, wie unbedeutend die Beschleunigung für den Altersunterschied der Zwillinge ist.