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Die Lorentz-Transformation, nach ihrem Entdecker Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) benannt, ist die grundlegende Gleichung der speziellen Relativitätstheorie. Mit der Lorentz-Transformation werden Koordinaten zwischen gegeneinander bewegten Systemen umgerechnet (transformiert). Kerngröße der Lorentz-Transformation ist die Lichtgeschwindigkeit c, und eine wesentliche Eigenschaft der Lorentz-Transformation ist, dass nur Transformationen erlaubt sind, die zwischen Systemen stattfinden, deren Relativgeschwindigkeit die Lichtgeschwindigkeit nicht überschreitet. Da diese letzte Eigenschaft genau diejenige ist, welche der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegt, kann man auch sagen, dass die Lorentz-Transformation die mathematischen Regeln der Speziellen Relativitätstheorie bestimmt.

Entstehung der Gleichungen

Lorentz formulierte die Transformationsgleichungen, bevor die Spezielle Relativitätstheorie bekannt war.

Elektromagnetische Wellen breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus, und die Maxwellgleichungen sind (obwohl das zur Zeit ihrer Aufstellung unbekannt war), nur als Gleichungen einer Welt sinnvoll, in der (lokal) die spezielle Relativitätstheorie gilt. Als die Maxwellgleichungen formuliert wurden, kannte man allerdings nur den absoluten Raum und die absolute Zeit der klassischen Mechanik, in der die Galilei-Transformation für Koordinatentransformationen anzuwenden ist. Unter der Galilei-Transformation lassen sich die Maxwellgleichungen jedoch nicht transformieren.

Es war Hendrik Lorentzens Erfolg, die 1900 nach ihm benannte Lorentz-Transformation als die Transformationsgleichung zu erkennen, die die Gleichungen der Elektrodynamik erhalten. Zu diesem Zeitpunkt war die Ätherhypothese Grundlage elektromagnetischer Phänomene. Es war allerdings unbekannt, woraus dieser Äther bestehen sollte. Verschiedene Experimente deuteten auf eine Mitführung des Äthers beispielsweise durch die Erde hin, andere wiederum nicht. Lorentz erkannte, dass sich verschiedene Phänomene erklären lassen, wenn man für elektromagnetische Erscheinungen eine Verkleinerung des Längenabstandes in Bewegungsrichtung des Bezugssystems und eine etwas vergrößerte Zeit, die er Ortszeit nannte, annimmt. Ihm gelang die Formulierung einer geschlossenen mathematischen Theorie. Er hielt aber an der Vorstellung des Äthers, der in einem Koordinatensystem ruhen sollte (und dieses Bezugssystem auszeichnet) fest.

Mit Albert Einsteins Formulierung der speziellen Relativitätstheorie wurde die klassische Mechanik und die Ätherhypothese abgelöst. Er leitete die Gleichungen aus dem Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in jedem Bezugssystem und des Nichtvorhandenseins eines ausgezeichneten Bezugssystems ab und wendete sie auch auf Phänomene aus der Mechanik an. Die Lorentz-Transformation ersetzte die alte Galilei-Transformation. Die Galilei-Transformation wiederum bleibt im Falle kleiner Geschwindigkeiten (in sehr guter Näherung) gültig.

Mathematische Formulierung

Die Lorentz-Transformationen bilden eine Lie-Gruppe, deren Elemente ein (pseudokartesisches) Koordinatensystem in ein anderes transformieren. Diese speziellen Koordinatensysteme werden in der Regel als Inertialsysteme bezeichnet. Die drei Raumkoordinaten x, y, und z und die Zeitkoordinate t, die ein so genanntes Ereignis in unserer Welt beschreiben, werden zu einem Vierervektor zusammengefasst, der Element des Minkowskiraumes ist (siehe auch Lorentz-Transformation und Minkowski-Raum). Auch alle anderen Vierervektoren, also nicht nur Viererortsvektoren, werden durch die gleiche Lorentz-Transformation transformiert. Im Folgenden wird die Transformation an einem Viererortsvektor exemplarisch dargestellt.

Die Sprache der Lorentz-Transformation ist folgendermaßen: Das Ausgangskoordinatensystem wird als S, der Vierervektor darin als $(x,y,z,ct)$ bezeichnet; das transformierte System, S' hat dann die Koordinaten $(x',y',z',ct')$. Von eigentlichem Interesse sind Transformationen zwischen zwei Systemen S und S', die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. (Transformationen zwischen Systemen, die zueinander unbewegt sind, wie etwa zueinander gedreht, lassen sich nach den bekannten Regeln der Drehgruppe berechnen. Wenn man die Lorentz-Transformation um Verschiebungen (Translationen) erweitert, erhält man die Poincarégruppe, welche die Geometrie des Minkowskiraumes definiert. Lorentz-Transformationen ohne Drehung der Bezugssysteme werden auch als "Lorentz-Boosts" bezeichnet.)

Wenn die relative Bewegung der Koordinatensysteme entlang der x-Achse mit der Geschwindigkeit v erfolgt, und der Ursprung $(0,0,0,0)$ beider Koordinatensysteme übereinstimmt, dann nimmt die Lorentz-Transformation folgende Gestalt an:

$x'=\gamma (x-vt)$

$y'=y$

$z'=z$

$t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)$

Umgekehrt ist

$x=\gamma (x'+vt')$

$y=y'$

$z=z'$

$t=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)$

wobei

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

und c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist.

Es gilt $\gamma \geq 1$. Für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit wird $\gamma$ sehr groß. Für kleine Geschwindigkeiten (im Alltagsleben beobachtete Geschwindigkeiten sind in diesem Sinne immer klein) ist $\gamma \approx 1$. Die Lorentz-Transformation wird für $c\to \infty$, und daher $\gamma =1$, zur Galilei-Transformation.

Ein allgemeiner Lorentz-Boost für zwei Bezugssysteme, die sich mit einer Relativgeschwindigkeit ${\vec {V}}$ zueinander bewegen, ist gegeben durch:

${\vec {r'}}={\vec {r}}+\left({\frac {(\gamma -1)({\vec {r}}\cdot {\vec {V}})}{V^{2}}}-\gamma t\right){\vec {V}}$

$t'=\gamma \left(-{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {V}}}{c^{2}}}+t\right)$

Dabei ist

${\vec {r}}=(x,y,z)$

Es gibt verschiedene mathematische Schreibweisen, um die Lorentz-Transformation auszudrücken. Teilweise ist die Zeitkoordinate die erste Koordinate des Vierervektors; teilweise wird in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit gerechnet, das heißt c wird gleich 1 gesetzt, und die Geschwindigkeit v ist dann eine Zahl zwischen 0 und 1; teilweise wird die Zeitkoordinate im Minkowskiraum als imaginäre Zahl behandelt.

Ganz allgemein kann man jede Lorentz-Transformation als eine Abbildung $\Lambda$ definieren, die einen Vierervektor V transformiert:

$V\rightarrow \Lambda V$

derart, dass

$\Lambda ^{T}g\,\Lambda =g$

ist. Hier bezeichnet $T$ die Matrix-Transposition. $g$ ist die Metrik (das Pseudo-Skalarprodukt) des Minkowskiraumes, und stellt sich als $4\times 4$-Matrix durch

$g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{bmatrix}}$

dar.

Eine andere Möglichkeit der Darstellung ist die invariante Länge des Lorentz 4-Vektor als Determinante einer Matrix zu schreiben.

$g=x^{0}\sigma ^{0}+{\vec {x}}{\vec {\sigma }}={\begin{bmatrix}x^{0}+x^{3}&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&x^{0}-x^{3}\\\end{bmatrix}}$

wobei ${\vec {\sigma }}$ die Paulimatrizen und $\sigma ^{0}$ die Einheitsmatrix beschreiben. Bei einer Lorentztransformation muß nun nur noch die Determinante erhalten bleiben. Die mathematische Gruppe die dies tut ist die SL(2,C) (eigentliche lineare Gruppe), mit den Pauli-Matrizen (Drehung) und den mit komplexem i multiplizierten Pauli-Matrizen (Boost) als Erzeugenden.

• Vertiefung: Lorentz-Gruppe.

Lorentzinvarianz

Größen oder Gleichungen, die sich unter der Lorentz-Transformation nicht verändern, werden als Lorentzinvarianten bezeichnet, lorentzinvariante Größen auch "Lorentzskalare".

Die einfachste lorentzinvariante Größe ist der relativistische Abstand (hier vom Koordinatenursprung)

$s={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}}}$,

der im transformierten System zu

$s'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-c^{2}t'^{2}}}$,

wird. Unter einer Lorentz-Transformation ist dieser Abstand erhalten, das heißt

$s'=s$.

Der relativistische Abstand ist gleich der Quadratwurzel des Skalarproduktes des Viererortsvektors mit sich selbst. Auch alle anderen Skalarproduke zwischen Vierervektoren (beispielsweise Viererortsvektor, Vierergeschwindigkeit, Viererbeschleunigung, Viererimpuls, Minkowskikraft, Vierervektorpotential) sind lorentzinvariant. Lorentzskalare können als Vierertensoren nullter Stufe angesehen werden und somit auch durch Verjüngung von Tensoren höherer Stufe entstehen.

Die Maxwellgleichungen sind ebenfalls lorentzinvariant. Sie behalten in allen Inertialsystemen die gleiche Form.

Folgerungen für spezielle Vierervektoren

Die Lorentz-Transformation vermischt, anders als die Galilei-Transformation, die ersten drei Komponenten eines Vierervektors mit der letzten Komponente. Das hat einige auf den ersten Blick unanschauliche Folgen.

Viererortsvektor

Bei der Lorentz-Transformation eines Viererortsvektors werden die Ortskoordinaten mit der Zeitkoordinate vermischt. Deshalb ist im Rahmen der Relativitätstheorie keine absolute Gleichzeitigkeit räumlich getrennter Ereignisse mehr definiert. Einzig der Viererabstand s zweier Ereignisse und damit ihre Eigenschaft, raumartig (s²>0), lichtartig (s²=0) oder zeitartig (s²<0) zueinander zu sein, bleibt durch die Transformation erhalten. Das bedeutet, dass zwei Ereignisse, die in einem Bezugssystem zum selben Zeitpunkt an unterschiedlichen Orten stattfinden, in einem dazu bewegten zu unterschiedlichen Zeitpunkten stattfinden können. Zu jedem raumartig getrennten Ereignispaar gibt es ein Bezugssystem, in dem die Ereignisse gleichzeitig stattfinden, und zu jedem zeitartig getrennten Ereignispaar gibt es eines, in dem die Ereignisse am gleichen Ort stattfinden. Lichtartig getrennte Ereignisse finden entweder in allen oder in keinem Bezugssystem zur gleichen Zeit und am gleichen Ort statt.

Zeitdilatation und Längenkontraktion sind die unmittelbaren Folgen der Lorentz-Transformation der Viererortsvektoren.

Vierergeschwindigkeit

Die vierte Komponente der Vierergeschwindigkeit ist $\gamma c$, enthält also neben der Geschwindigkeit keine weitere physikalische Größe. Die Geschwindigkeit selbst (in den ersten drei Komponenten, mulitipliziert mit $\gamma$) wird aber wiederum anders transformiert als durch die Galilei-Transformation. Die Relativgeschwindigkeit der Bezugssysteme wird nicht einfach hinzuaddiert. Falls beide Geschwindigkeiten in die selbe Richtung zeigen, addieren sich die Rapiditäten (also die Größe $\mathrm {artanh} (v/c)$, siehe auch Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten). Die sich ergebende Geschwindigkeit (auch im allgemeinen Fall unterschiedlicher Richtung) ist immer kleiner als die Lichtgeschwindigkeit, so dass diese als Grenzgeschwindigkeit anzusehen ist. Die Lichtgeschwindigkeit selbst bleibt beim Wechsel des Bezugssytems konstant, wie nicht anders zu erwarten ist, weil die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit eine Grundannahme bei der Herleitung der Lorentz-Transformation ist.

Experimentelle Nachweise

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurden viele Experimente zur Messung der Lichtgeschwindigkeit angestellt, unter anderem von Michelson und Morley, die 1888 in ihrem berühmten Experiment (Michelson-Morley-Experiment) eine Genauigkeit über 10^-5 erreichten. (Später ließen sich beispielsweise mit Hilfe des Mößbauer-Effekts noch wesentlich höhere Genauigkeiten erzielen.) Diese Experimente ergaben die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit unabhängig vom Bewegungszustand der Erde, des Beobachters usw. Hilfsannahmen wie die Mitführung des Äthers als Medium für die Ausbreitung von Licht können nicht alle Phänomene erklären.

Im Bereich der Elementarteilchen lässt sich die Zeitdilatation als Verlängerung der Lebensdauer direkt nachweisen.

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