Benutzer:Jobu0101/Der grundlegendste Beweis

Hier wird mit Hilfe der Quotientenregel bewiesen, dass die Ableitung von $f(x)=x\,$ trotz mancher Zweifel $f'(x)=1\,$ ist.

$f(x)=x={\frac {x^{2}}{x}}$ für $x\neq 0$

$f'(x)={\frac {(2x)(x)-(x^{2})(1)}{x^{2}}}={\frac {2x^{2}-x^{2}}{x^{2}}}={\frac {x^{2}}{x^{2}}}=1$

Damit ist es bis auf die Stelle $x=0\,$ bewiesen. Die Beweisführung für diese Stelle ist so komplex, dass wir gerne darauf verzichten und es lieber einfach nur glauben. Falls sie trotzdem einen von euch interessieren sollte, will ich sie diesem natürlich nicht vorenthalten:

Der Trick, mit dem wir auch $f'(0)\,$ bestimmen können, ist folgender: Wir erweitern $f(x)\,$ nicht wie eben mit $x\,$, sondern mit $x+1\,$. Damit beweisen wir $f'(x)=1$ für alle $x\in \mathbb {R} \setminus \lbrace -1\rbrace$, also insbesondere für 0.

$f(x)=x={\frac {x(x+1)}{x+1}}={\frac {x^{2}+x}{x+1}}$ für $x\neq -1$

$f'(x)={\frac {(2x+1)(x+1)-(x^{2}+x)(1)}{(x+1)^{2}}}={\frac {2x(x+1)+1(x+1)-(x^{2}+x)}{(x+1)(x+1)}}={\frac {2x^{2}+2x+x+1-x^{2}-x}{x(x+1)+1(x+1)}}$

$={\frac {(2x^{2}-x^{2})+(2x+x-x)+(1)}{x^{2}+x+x+1}}={\frac {x^{2}+2x+1}{x^{2}+2x+1}}=1$

Damit ist auch der Fall $x=0\,$ abgedeckt und bewiesen, dass die Ableitung von $f(x)=x\,$ ohne Zweifel $f'(x)=1\,$ ist.