Benutzer:Kmhkmh/sandbox20

Schnittpunkte $P_{a}$,$P_{b}$,$P_{c}$, $Q_{a}$,$Q_{a}$ und $Q_{c}$ liegen auf dem dritten Lemoine-Kreis mit Mittelpunkt $M$ (rot). $K$ ist der Lemoine-Punkt und $O$ der Mittelpunkt des Umkreises von $\triangle ABC$.

Der dritte Lemoinesche Kreis eines Dreiecks ist einer der besonderen Kreise der Dreiecksgeometrie. Wie der erste und zweite Lemoinesche Kreis ist er ein Spezialfall eines Tucker-Kreises. Er ist nach dem französischen Mathematiker Émile Lemoine (1840–1912) benannt, wurde aber erst 2002 von Jean-Pierre Ehrmann entdeckt.

Definition

Betrachtet man bei einem Dreieck $\triangle ABC$ mit Lemoinepunkt $K$ die Umkreise der Teildreiecke $\triangle ABK$, $\triangle BCK$ und $\triangle ACK$, dann schneiden sie die verlängerten Dreiecksseiten von $\triangle ABC$ in je zwei weiteren Punkten. Das heißt, der Umkreis von $\triangle ABK$ schneidet $AC$ in $Q_{b}$ und $BC$ in $P_{a}$, der Umkreis von $\triangle BCK$ schneidet $AB$ in $Q_{c}$ und $AC$ in $P_{b}$ und der der Umkreis von $\triangle ACK$ schneidet $AB$ in $P_{c}$ und $BC$ in $Q_{a}$. Diese sechs Schnittpunkte $P_{a},P_{b},P_{c},Q_{a},Q_{a},Q_{c}$ haben die Eigenschaft auf einem gemeinsamen Kreis zu liegen, dieser Kreis wird als dritter Lemoine-Kreis bezeichnet.

Eigenschaften

Der Mittelpunkt $M$ des dritten Lemoine-Kreises liegt auf der Verbindungsgeraden zwischen dem Lemoine-Punkt $K$ und dem Umkreismittelpunkt $O$ des Dreiecks $\triangle ABC$, zudem ist der Abstand zwischen Umkreismittelpunkt $O$ und Lemoinepunkt $K$ doppelt so groß wie der Abstand zwischen Mittelpunkt $M$ und Lemoinepunkt$K$.

$|OK|=2\cdot |MK|$

Verwendet man orientierte Abstande oder Vektoren, so gilt:

${\vec {KM}}=-{\frac {1}{2}}{\vec {KO}}$

Der dritte Lemoine-Kreis ist ein Tucker-Kreis.

Literatur

• Darij Grinberg: Ehrmann's Third Lemoine Circle. In: Journal of Classical Geometry 1, 2012, S. 40-52.
• Sandor Nagydobai Kiss, Paul Yiu: On the Tucker Circles. In: Forum Geometricorum, Band 17 (2017), S. 157–175 (Digitalisat)

Weblinks

Commons: Erster Lemoinescher Kreis – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: First Lemoine Circle. In: MathWorld (englisch).

Kategorie:Dreiecksgeometrie

asymettrisches polyzentrisches Oval

Ein polyzentrisches Oval ist ein ausschließlich aus Kreisbögen zusammengesetztes Oval. Dabei müssen die Kreisbögen glatt aneinander sitzen,das heißt sie besitzen identische Tangenten an den Nahtstellen.

Sebastiano Serlio

Literatur

• Alexander J. Hahn: Mathematical excursions to the world’s great buildings. Princeton University Press, 2012, S. 36–39, 169–171
• Angelo Alessandro Mazzotti: All Sides to an Oval. Springer, 2017, ISBN 978-3-319-39374-2, S. 5-18
• Angelo Mazzotti: A Euclidean Approach to Eggs and Polycentric Curves. In: Nexus Network Journal, Band 16, pp. 345-387, doi 10.1007/s00004-014-0189-5
• Santiago Huerta: Oval Domes: History, Geometry, and Mechanics. In: Nexus Network Journal Architecture and Mathematics, Band 9, Nr. 2, 2007, ISSN 1590-5896, S. 211-248
• Nigel Pennick: Sacred Architecture of London. Aeon Books, 2012 ISBN 9781904658641, S. 99-103
• Jürgen Renn, Wilhelm Osthues, Hermann Schlimme (Hrsg.): Wissensgeschichte der Architektur - Band III: Vom Mittelalter bis zur Frühen Neuzeit. Max-Planck-Gesellschaf. Berlin 2014, ISBN 978-3-945561-04-1
• Esther Tamborero, Vicenta Calvo Roselló, Vicenta, M. Gómez Collado: Geometrical Analysis of Oval Domes through Architectural and Mathematical Methods. The Case of the Dome of the Camarín of the Virgin of El Puig (Valencia, Spain). In: International Journal of Architectural Heritage, Band 16, 2021, doi 10.1080/15583058.2021.1896820, S. 1-15

Weblinks

• Achim Ilchmann, Angelo Alessandro Mazzotti: Die versteckte Sch¨onheit im Korbschen Oval der Bibliothek zu Wolfenbüttel

• https://www.researchgate.net/publication/274035937_A_Euclidean_Approach_to_Eggs_and_Polycentric_Curves

• https://books.google.de/books?id=nuzyDwAAQBAJ&pg=PA102
• https://books.google.de/books?id=b1AMdNJ-v28C&pg=PA598 (auch korbbogen)
• https://books.google.de/books?id=ahdX2KpUMnsC&pg=PA300
• https://docplayer.org/66764693-11-mathematik-der-400-m-bahn.html
• http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Ovāl
• https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-8348-9604-9_11
• https://books.google.de/books?id=e-KrCQAAQBAJ&pg=PA519

• https://www.sueddeutsche.de/wissen/voegel-und-ihre-eier-die-vermessung-des-vogeleis-1.3557490
• https://www.wienerzeitung.at/nachrichten/wissen/natur/899932-Der-Flug-formte-die-Eier.html
• https://www.nationalgeographic.de/wissenschaft/2017/07/ueberraschender-zusammenhang-zwischen-flugfaehigkeit-und-eiform-bei-voegeln
• https://www.spektrum.de/news/raetsel-um-vogeleier-geloest/1470789