Benutzer:Lantani/Grenzprozess

Unter einem Grenzprozess oder Grenzübergang versteht man in der Mathematik die Festlegung eines mathematischen Objektes als Grenzwert einer Folge oder einer Funktion, wobei die Folgenglieder oder Funktionswerte nur Näherungen an das festzulegende Objekt sind – zwar Näherungen beliebiger Güte, aber im Allgemeinen nicht das Objekt selbst. Dabei müssen zwei Situationen unterschieden werden:

• Man kann Grenzprozesse zur Definition der mathematischen Objekte verwenden, die als Grenzwerte auftreten sollen. Oft muss man dazu den Raum vervollständigen, in dem die Grenzwerte liegen sollen (siehe ++++Beispiele).
• Ist der Grenzwertbegriff im betreffenden Raum bereits definiert, so wird die Bestimmung eines Grenzwerts mitunter ebenfalls als Grenzübergang oder Grenzprozess bezeichnet.

Die deutschen Begriffe „Prozess“ oder „Übergang“ bezeichnen fortschreitende Veränderungen. „Grenzprozess“ soll das Fortschreiten von einem Folgenglied zum nächsten oder von einem Funktionswert in der Nähe des gesuchten zu einem noch näheren bezeichnen, und „Grenzübergang“ den Übergang von Näherungen an den Grenzwert zum Grenzwert selbst. Diese anschaulichen Begriffe sind aber mathematisch kaum fassbar: Eine Folge wird oft den Grenzwert nie erreichen, selbst wenn sie einen hat – dann endet der „Grenzprozess“ nie und der „Grenzübergang“ findet nie statt. Man sollte diese Begriffe also nie anstelle exakter Definitionen verwenden, sondern nur dort, wo eine exakte Definition entweder schon vorliegt oder gerade im Entstehen ist. Sie bezeichnen selbst keine mathematischen Objekte, sondern Vorgehensweisen zu ihrer Definition.

Die geforderten exakten Definitionen verwenden vor allem:

• $\varepsilon$-Umgebungen, wenn zwischen den Objekten, die als Näherungen und Grenzwerte auftreten, ein Abstand definiert ist und
• Mengenfilter in anderen Situationen.

Beispiele

Rationale Folge ohne rationalen Grenzwert

Die Folge $(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }=a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc$  sei definiert durch $a_{0}=2$ und $a_{i+1}={\tfrac {a_{i}}{2}}+{\tfrac {1}{a_{i}}}$ . Die ersten Folgenglieder sind $2,{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {17}{12}},{\tfrac {577}{408}},{\tfrac {665857}{470832}},{\tfrac {886731088897}{627013566048}},\dotsc$  . Es sind Näherungswerte bei der Berechnung von ${\sqrt {2}}$ nach dem Newton-Verfahren; sie sind alle rational. Ihre Quadrate sind größer als $2$, nähern sich aber sehr rasch an $2$ an: $(a_{i}^{2}-2)_{i\in \mathbb {N} }$ hat nacheinander die Werte $2,{\tfrac {1}{2^{2}}},{\tfrac {1}{12^{2}}},{\tfrac {1}{408^{2}}},{\tfrac {1}{470832^{2}}},{\tfrac {1}{627013566048^{2}}},\dotsc$  .

In welcher Weise im Zusammenhang mit dieser Folge Grenzbetrachtungen eine Rolle spielen, ist davon abhängig, welche Mengen von Zahlen man zugrundelegt:

• Betrachtet man die Folge innerhalb der Menge $\mathbb {Q}$ der rationalen Zahlen, so hat die Folge $(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ keinen Grenzwert, denn es gibt keine rationale Zahl, der die Folgenglieder beliebig nahe kommen. Die Folge $(a_{i}^{2})_{i\in \mathbb {N} }$ hat dagegen den Grenzwert $2$.