Benutzer:Leif Czerny/Beweis (Logik)

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Allgemein ist ein Beweis die gültige Herleitung der Richtigkeit (Verifikation) oder Unrichtigkeit (Falsifikation) einer Aussage aus wahren Prämissen, das heißt ein förmlicher, sich nur auf als wahr anerkannte Prämissen stützender und zumindest vom Anspruch her zwingender Nachweis dafür, dass die zu beweisende Aussage (Konklusion) zutrifft.

Gegenwärtig orientiert sich der Beweisbegriff vor allem am Beweis in der formalen Logik. Hier ist ein Beweis eine nach festgelegten Regeln durchgeführte Ableitung (auch Herleitung), in der eine zu beweisende Behauptung mit Hilfe von Schlussregeln – gegebenenfalls aus Axiomen – gewonnen wird (Schlussfolgerung). Eine auf diese Weise bewiesene Aussage wird auch Satz oder Theorem genannt, man sagt: Die Aussage ist syntaktisch gültig. Axiome und Schlussregeln werden üblicherweise formal durch einen Kalkül festgelegt.

Technisch ist es zulässig, in einer logischen Herleitung auch Annahmen zu verwenden. Werden diese nicht im Laufe des Verfahrens eliminiert, so ist der hergeleitete Satz dann kein Theorem, sondern folgt nur aus den Annahmen (hypothetisch). Eine Ableitung, bei der ein Satz aus Annahmen hergeleitet wird, wird im strengen Sinn oftmals nur Herleitung und nicht Beweis genannt; es hat sich aber eingebürgert, die Begriffe austauschbar zu verwenden. Man sagt dann, man habe bewiesen, dass aus den Prämissen die Konklusion folgt.

In der an Aristoteles orientierten traditionellen Logik und in der Wissenschaftstheorie kennt man zur Beweisführung drei Arten der Herleitung: Deduktion, Induktion und Abduktion (bzw. bei Aristoteles Apagoge). Die Herleitung unterliegt bestimmten Regeln. Werden sie nicht eingehalten, oder die Herleitung unkritisch mit einem strengen Beweis verwechselst, so können Fehlschlüsse entstehen.

Geschichte

Die Methode des strengen Beweises ist in der Geometrie zuerst bei Euklid belegt und wurde in der Philosophie durch Platon angewendet. Die erste überlieferte Beweistheorie stammt von Aristoteles. Der deutsche, ursprünglich aus der Rechtsprechung kommende Begriff „Beweis“ ist seit dem 17. Jahrhundert auch im philosophischen und mathematischen Zusammenhang zu finden.

Induktiver Beweis

Hauptartikel: Induktion (Philosophie)

Der induktive Beweis wird anhand von Beobachtungen und Erfahrung von Einzelfällen geführt und kann nicht die absolute Gewissheit eines strengen Beweises beanspruchen, wenn nicht alle Fälle berücksichtigt wurden. Dabei wird eine allgemeine Regel dadurch aufgestellt und bestätigt, dass einzelne Anwendungsfälle untersucht werden.

So kann beispielsweise die Frage „Welche Farbe haben Schwäne?“ durch die Untersuchung einzelner Schwäne beantwortet werden. Beobachtet man viele Fälle von Schwänen und stellt in jedem Fall fest: „Dieser Schwan ist weiß“, so kann man daraus die allgemeine Regel „Alle Schwäne sind weiß“ herleiten. Diese Regel wird durch weitere Beobachtung von weißen Schwänen bestätigt. Sie ist aber nicht streng bewiesen, sondern sie kann durch einen einzigen Anwendungsfall (Schwan), der nicht der Regel entspricht (der nicht weiß ist), widerlegt werden. Für endliche Mengen ist unter bestimmten Umständen eine Untersuchung jedes einzelnen Elements und damit ein Beweis der Regel möglich. So ist zum Beispiel für die Aussage „Alle Schwäne im Zoo sind weiß“ ein einfaches Nachsehen ausreichend, vorausgesetzt man traut seinen Sinnen und seinem Gehirn. Lange Zeit wurde auch die Aussage „Alle Schwäne sind weiß“ durch Beobachtung für europäische Forscher ausnahmslos bestätigt. Infolge der Entdeckung Australiens wurde diese Aussage jedoch widerlegt - dort fand man schwarze Schwäne. Hierbei handelt es sich um empirische Beweise. Ein derartiger induktiver Beweis für die Empirie wird vor allem in der Rechtsprechung (siehe Beweis im Rechtswesen) und den Naturwissenschaften angewendet.

Eine andere Form des induktiven Beweises ist die vollständige Induktion in der Mathematik. Hier werden unendlich viele Anwendungsfälle anhand von Erzeugungsregeln untersucht. Da hier die Klasse der Anwendungsfälle auch durch formale Kriterien bestimmt werden kann, können sie vollständig betrachtet und somit ein Beweis geführt werden. Durch die Formalisierung lässt sich die vollständige Induktion jedoch auch als deduktiver Beweis bzw. als logische Ableitung innerhalb eines geeigneten Beweiskalküls verstehen.

Deduktiver Beweis

Beweise in der Formalen Logik sind im allgemeinen deduktiv. Dabei erfolgt die Ableitung einer Konklusion aus als wahr geltenden Voraussetzungen (Prämissen, Axiomen oder Definitionen) nach festen logischen Schlussregeln. Diese Schlussregeln sind wahrheitserhaltend, so dass es nicht sein kann, dass nach dieser Regel wahre Prämissen und falsche Konklusionen verbunden werden können. Der deduktive Beweis führt innerhalb des ihm zugrunde liegenden Systems, beispielsweise dem formalen System der Mathematik oder Logik, zu einer endgültigen Entscheidung über die Richtigkeit einer Aussage. Man bezeichnet diese Systeme daher als Beweiskalküle Der deduktive Beweis wird daher auch vor allem in der Logik und der Mathematik (siehe Beweis in der Mathematik) angewendet.

Der indirekte Beweis („Reductio ad absurdum“) ist eine Form des deduktiven Beweises im Rahmen jeder zweiwertigen Logik. Er besteht im Nachweis eines logischen Widerspruchs, der aus der Annahme des Gegenteils der zu beweisenden Aussage folgt. Ein Beispiel ist die Folgerung aus der Annahme, die Quadratwurzel von zwei wäre als Bruch darstellbar, also rational. Aus ihr folgt ein Widerspruch zum Fundamentalsatz der Arithmetik, daher muss sie irrational sein. Als Alibi kommt der indirekte Beweis auch in den Rechtswissenschaften vor.

Ein Paradoxon liegt vor, wenn man eine Aussage und gleichzeitig auch die Negation dieser Aussage beweisen kann, was – zumindest in der zweiwertigen Logik – ein Widerspruch ist. Ein Beispiel ist das „Barbier-Paradoxon“: In Sevilla wird ein Mann genau dann vom Barbier von Sevilla rasiert, wenn er sich nicht selbst rasiert. Rasiert sich der Barbier selbst? Paradoxien zeigen, dass das ihnen zugrundeliegende logische System unvollständig ist und präzisiert werden muss.

Gödel hat mit seinem Unvollständigkeitssatz allerdings bewiesen, dass bei widerspruchsfreien formalen Systemen, deren Leistungsfähigkeit ausreichend groß ist, um alle wahren arithmetischen Formeln herzuleiten, Vollständigkeit prinzipiell nicht erreichbar ist und dass die Widerspruchsfreiheit eines solchen Systems innerhalb seiner selbst unbeweisbar ist. Ersteres bedeutet, dass es für jedes solche formale System Aussagen gebildet werden können, die sich nicht aus den Axiomen herleiten lassen, ebenso wenig gelingt dies für ihre Negation. Diese Aussage ist somit innerhalb des Beweiskalküls unentscheidbar.(Aussagen- und Prädikatenlogik erster Stufe sind von diesem Ergebnis nicht betroffen.)

Sehr wohl aber kann man solche Sätze u. U. mit Hilfe von Sätzen beweisen, die außerhalb des Systems selbst liegen. In einem derart erweitertem System kann es dann aber wieder (andere) Sätze geben, die sich nicht ohne ein erweitertes System beweisen lassen. Es baut sich so eine unendliche Kaskade von Systemen auf. Die Vollständigkeit der Arithmetik hat Gerhard Gentzen 1938 mit Hilfe einer transfiniten Induktion bewiesen.

Abduktion bzw. Beweistheorie von Peirce

Charles Sanders Peirce spricht nur der Induktion und der Abduktion die Fähigkeit zu, zu neuem Wissen führen zu können. Peirce verwendet zur Illustration das berühmte Beispiel von einem Sack Bohnen auf einem Tisch und einer Handvoll Bohnen, die daneben ausgestreut liegen.

• Peirce schlägt für die Deduktion folgenden Syllogismus vor: Die Schlussfolgerung schließt von einer wahren Regel und der Subsumtion eines Falls unter diese Regel auf eine mögliche Fall-Beobachtung.

Prämisse (Regel)	–	Alle Bohnen aus diesem Sack sind weiß.
Prämisse (Fall)	–	Diese Bohnen sind aus diesem Sack.
Konklusion (Beobachtung)	–	Diese Bohnen sind weiß.

Die Konklusion ergibt sich zwingend, wenn die Prämissen wahr sind. Somit kann die Deduktion zur Vorhersage der Beobachtung verwendet werden, so lange sichergestellt ist, dass die Regel gilt und das der in Frage stehende Fall ein Regelfall ist.

• Die Induktion leitet aus einem bekannten Beobachtungen und ihrer Subsumtion als Fälle eines Begriffs eine Regel her:

Prämisse (Fall)	–	Diese Bohnen sind aus diesem Sack.
Prämisse (Beobachtung)	–	Diese Bohnen sind weiß.
Konklusion (Regel)	–	Alle Bohnen aus diesem Sack sind weiß.

Diese Konklusion gilt nicht zwingend, selbst wenn beide Prämissen wahr sind. Sobald ein Widerlegungsfall beobachtet wird, muss sie als falsch betrachtet werden.

• Die Abduktion, die Peirce einführt, stellt bei einer vorliegenden Beobachtung die Beziehung zu einer bekannten oder sogar spontan gebildeten Regel her, in dem sie die Beobachtung als auf einen Fall unter die Regel subsumiert).

Prämisse (Beobachtung)	–	Diese Bohnen sind weiß.
Prämisse (Regel)	–	Alle Bohnen aus diesem Sack sind weiß.
Konklusion (Fall)	–	Diese Bohnen sind aus diesem Sack.

Hier kann zunächst nicht von einer regelgeleiteten Herleitung gesprochen werden, da sich die Konklusion danach richtet, unter welche Regel die Beobachtung subsumiert werden soll und diese Regel nach Peirce nicht nur aus bekannten und evidenten allgemeinen Sätzen gewählt werden kann, sondern auch spontane Hypothesen möglich sind. In einer späteren Phase unterschied Peirce dann auch terminologisch zwischen Heuristiken zum Finden einer allgemeinen Regel, die er als Hypothese zusammenfasst, und der eigentlichen Abduktion (dem Auffinden der geeigneten Subsumtion).

Siehe auch

Zu dem, was in einzelnen Disziplinen als Beweis anerkannt wird, siehe

• Beweis (Mathematik)
• Beweis (Rechtswesen)

• Analogismus (Analogieschluss)
• Computerbeweis
• Beweistheorie
• Induktion (Philosophie)
• Kritischer Rationalismus
• Logischer Empirismus
• Progressiver Beweis
• Schlussfolgerung
• Natürliches Schließen

Literatur

• Charles Sanders Peirce: Collected Papers Bd. 2: Elements of Logic. hrsg. v. Charles Hartshorne/Paul Weiss, Cambridge, Mass., Harvard University Press, 2. Aufl., The Belknap Press, Cambridge, Mass. 1960. (CP), S. 2.622 ff
• Antoine Arnauld und Pierre Nicole: Die Logik oder die Kunst des Denkens, 2., durchgesehene und um eine Einleitung erweiterte Auflage, Darmstadt 1994 ISBN 3-534-03710-3
• Angar Beckermann: Einführung in die Logik. Berlin u.a., De Gruyter 2003 ISBN 3110179652
• Bertrand Russell: Einführung in die mathematische Philosophie. Hamburg, Meiner 2006 ISBN 3787318283
• Willard Van Orman Quine: Grundzüge der Logik. Suhrkamp, Frankfurt 1981 ISBN 3518076655

Wikiquote: Beweis – Zitate

Wiktionary: Beweis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

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